例5 任何人违反了交通规则都要处以罚款，如 果没有罚款，就没有人违反交通规则。
解：S(x, y)：x违反了y（x的论域是人） Ｍ(y)：y是交通规则， P(z)：z是罚款 R(x, z)：x受到z 。
则问题符号化为： Ｈ：( x)((y)(S(x,y)∧M(y))→( z) (P(z) ∧ R(x,z)))
第6讲 §2—7 谓词演算的推理理论
要求：熟练掌握谓词的推理理论与推理方法， 会用谓词的推理理论与推理方法进行推理。 重点：应用谓词的推理理论与推理方法进行 推理。 难点：正确理解和运用有关量词规则。
谓词逻辑是命题逻辑的进一步深化和发展，谓 词演算的推理方法，可以看作是命题演算推理方法 的扩张。因此命题逻辑的推理理论在谓词逻辑中几 乎可以完全照搬，只不过这时涉及的公式是谓词逻 辑的公式罢了。
方法（２）：用CP规则
原题可转为： (x)(P(x)∨Q(x))┐(x)P(x)(x)Q(x)
(要证SRC ，也就是证明(S∧R)C。)
(1) ┐(x)P(x) (2) (x)┐P(x) (3) ┐P(c) (4) (x)(P(x)∨Q(x)) (5) P(c)∨Q(c) (6) Q(c)
(4) 全称量词产生规则(称为全称推广规则，简称UG规则) A(c)(y)A(y)
若能证明对论域中每一个客体c断言A(c)都成立，则全称推广 规则可得到结论(y)A(y)成立。
二、Lp中推理实例：
Lp的推理方法是Ls推理方法的扩展，因此在Lp中利用的推理 规则： （1）T规则、P规则和CP规则 （2）已知的等价式，蕴含式 （3）有关量词的消去和产生规则。
无论顺序如何，ＥＳ或ＵＳ后，常元必不同
例题3 证明 (x)(P(x)∨Q(x))(x)P(x)∨(x)Q(x) 方法（１）：用反证法（假定┐C为T，推出矛盾）
(1) ┐((x)P(x)∨(x)Q(x)) P(附加前提) (6) ┐Q(c)
US(4)
(2) (x)┐P(x)∧(x)┐Q(x) T(1)E
（举例说明）
(2) 存在量词消去规则(称为存在指定规则，简称ES规则) (x)A(x)A(c) ：
其中c为论域中的某些特定的个体常元，它不是任意的。 c不得在前提中或者居先推导公式中出现或自由出现。
（举例说明：存在一些人是男生，存在一些人是女生）
量词产生规则（证后加量词）： (3) 存在量词产生规则(称为存在推广规则，简称EG规则) A(c)(y)A(y) 其中c为论域中特定个体常元
(7) (x前提） T（1）E ES(2)
P
US(3) T(3)(5)I
EG(6)
CP
例题4 构造下面推理的证明： 每个学术会的成员都是专家并且是工人，有些成员是青年人，所以有些成员是
青年专家。
证明 设 P(x)： x是学术会的成员。 Q(x)： x是专家。
在谓词逻辑中，某些前提和结论可能受到量词 的约束，为确立前提和结论之间的内部联系，有必 要消去量词和添加量词，因此正确理解和运用有关 量词规则是谓词逻辑推理理论中十分重要的关键所 在。
一、有关量词消去和添加规则
量词消去规则（证前去量词）：
(1) 全称量词消去规则(称为全称指定规则，简称US规则) (x)A(x)A(c)： 其中c为论域中任意个体常元
s：苏格拉底。
故苏格拉底论证可符号化为：
(x)(H(x) →M(x)) ∧H(s)M(s)
证明
(1) (x)(H(x) →M(x))
P
(2) H(s)→M(s)
US(1)
(3) H(s) (4) M(s)
P T(2)(3)I
例题2 证明
(x)(C(x)→W(x)∧R(x))∧(x)(C(x)∧Q(x))(x)(Q(x)∧R(x))
R(x) ：x是工人。
则本题要证明：
S(x) ：x是青年人。
(x)(P(x)→Q(x)∧R(x))，(x)(P(x)∧S(x))(x)(P(x)∧Q(x)∧S(x)) 证明过程如下：
(1) (x)(P(x)∧S(x))
P
(6) P(a)→Q(a)∧R(a) US(5)
(2) P(a)∧S(a)
T(6)I
T(7)(8)I EG（9）
注意（3）（4）两条次序不能颠倒。
（1）原来的作用变元相同：
若先用ES后用US，可用同一常元也可用不同常元 （按需决定） ； 若先用US后用ES，必用不同常元; 若几个ES在一起，必用不同常元． 若几个US在一起，可用相同常元也可用不同常元 （按需决定）
（2）原来作用变元不同：
证明 (1) (x)(C(x)→W(x)∧R(x)) P
(2) (x)(C(x)∧Q(x))
P
(3) C(a)∧Q(a) (4) C(a)→W(a)∧R(a)
ES(2) US(1)
(5) C(a) (6) W(a)∧R(a)
T(3)I T(4)(5)I
(7) Q(a)
T(3)I
(8) R(a)
(9) Q(a)∧R(a) (10) (x)(Q(x)∧R(x))
ES(1)
(7) Q(a)∧R(a)
T(3)(6)I
(3) P(a)
T(2)I
(4) S(a)
T(2)I
(5) (x)(P(x)→Q(x)∧R(x)) P
(8) Q(a)
T(7)I
(9) P(a)∧Q(a)∧S(a) T(3)(4)(8)I
(10) (x)(P(x)∧Q(x)∧S(x)) EG(9)
(7) ┐P(c)∧┐Q(c) T(5)(6)I
(3) (x)┐P(x)
T(2)I
(8) ┐(P(c)∨Q(c)) T(7)E
(4) (x)┐Q(x)
T(2)I
(9) (x)(P(x)∨Q(x)) P
(5) ┐P(c)
ES(3)
(10) P(c)∨Q(c)
US(9)
(11) ┐(P(c)∨Q(c)) ∧(P(c)∨Q(c)) (矛盾)T(8)(10)I
使用的推理方法是：直接构造法和间接证法（不能用真值表）。
所有谓词的推理，均可先忽略量词，按命题逻辑中分析基本思 路及所用方法，然后再注意证前去量词，证后加量词，并注意 次序即可
例题1 证明苏格拉底论证： 所有的人都是要死的。 苏格拉底是人。 所以苏格拉底是要死的。
解 设 H(x)：x是一个人。
M(x)：x是要死的。