第二章 电磁场基本方程
vv
蜒 v
F
0
4
l
Idl (I 'dl ' rˆ)
l'
r2
rˆ 式中, r是电流元I′dl′至Idl的距离, 是由dl′指向dl的单位矢量, μ0是
真空的磁导率:
0 4 107 H / m
v
vv
F Ñl Idl B
蜒 v
B
0
4
v
l
I
'dl ' r2
rˆ
0 4
I
v ' dl
I A U
d t
I C U t
式中C=εA/d为平板电容器的电容。
第二章 电磁场基本方程
§2 .3 麦克斯韦方程组
2 .3 .1 麦克斯韦方程组的微分形式与积分形式
图 2-5 麦克斯韦
第二章 电磁场基本方程 表2-1 麦克斯韦方程组及电流连续性方程
第二章 电磁场基本方程
这四个方程的物理意义可简述如下: ; (a) 时变磁场将激发电场; ; (b) 电流和时变电场都会激发磁场; ; (c) 穿过任一封闭面的电通量等于此面所包围的自由电荷电量; ; (d) 穿过任一封闭面的磁通量恒等于零。
常数:
0
8.854 1012
1
36
109 F
/m
设某点试验电荷q所受到的电场作用力为F, 则该点的电场强度为
v E
v F
(V
/
m)
q
由库仑定律知, 在离点电荷q距离为r处的电场强度为
v E
rˆ
q
4 0r
2
(2-4)
第二章 电磁场基本方程
2 .1 .2 高斯定理, 电通量密度
除电场强度E外, 描述电场的另一个基本量是电通量密度D, 又称为电位移矢量。 在简单媒质中, 电通量密度由下式定义:
一定的电位能。 从而可引入v电位函数φ:
E
第二章 电磁场基本方程
静电场既然是无旋场, 则必然是有散场, 它的通量源就是电
荷。电力线起止于正负电荷。静磁场的特性则正好相反。因为
在自然界中并不存在任何单独的磁荷, 磁力线总是闭合的。这样,
闭合的磁力线穿进封闭面多少条, 也必然要穿出同样多的条数,
结果使穿过封闭面的磁通量恒等于零, 即
第二章 电磁场基本方程
把式(2-30)两端用体积分表示, 对静止体积V有
v Jdv
V
t
V
vdv
V
c dv
t
上式对任意选择的V都成立, 故有
v J
v
这是微分形式的电流连续性方程。
t
麦克斯韦首先注意到上述微分形式的基本方程不符合电流
连续性方程， 因为
v
v
( H ) 0 J
对于静态场是成立的，但对于时变场则不成立。故应 用于时变场时需加以修正。
第二章 电磁场基本方程
麦氏方程组中的四个方程并不都是独立的。 表2-1中两个散
度方程(c) , (d)可由两个旋度方程(a) , (b)导出。例如, 对式(b)取散
度, 得
v J
v D t
0
将连续性方程(e)代入上式, 有
v
v ( D) 0
t t
则
v
v D
C (常n
)
第二章 电磁场基本方程
应用斯托克斯定理, 上式左端的线积分可化为面积分。同时,
如果回路是静止的, 则穿过回路的磁通量的改变只有由于B随时
间变化所引起的项。 因而得
(
v E)
dsv
v B dsv
S
因为S是任意的, 从而有
v E
S vt B
t
这是法拉第电磁感应定律的微分形式。其意义是, 随时间变化的
磁场将激发电场。这导致极重要的应用。我们称该电场为感应电
第二章 电磁场基本方程
(
v H
)
0
v J
v
t
(
v H
)
v J
v D t
v H
v J
v D
t
D / t的量纲是(库仑/米2)/秒=安/米2, 即具有电流密度的量纲,
故称之为位移电流密度(
displacemevnt current density)Jd, 即 v D J d t
第二章 电磁场基本方程
第二章 电磁场基本方程
式(2-26)可写成
d m
dt
(2-26)
vv
Ñl E dl
v
S
B t
dsv
d dt
S
v B
dsv
Ñl (vv
v B)
v dl
右边第一项是磁场随时间变化在回路中“感生”的电动势; 第二 项是导体回路以速度v对磁场作相对运动所引起的“动生”电动 势.
第二章 电磁场基本方程
过一个球面的相同,仍为q。如果在封闭面内的电荷不止一个, 则利
用叠加原理知, 穿出封闭面的电通量总和等于此面所包围的总电
量
v
ÑS D
dsv
Q
这就是高斯定理的积分形式(1839
K .F .Gauss导出), 即
穿过任一封闭面的电通量, 等于此面所包围的自由电荷总电量。
对于简单的电荷分布, 可方便地利用此关系来求出D。
v
R ˆ zˆ(z z '), R [ 2 (z z ')2 ]1/2
vv
dl ' R zˆdz '[ˆ zˆ(z z ')] ˆdz '
v
B
ˆ
0 I
4
l
dz '
l 2 (z z ')2 3/2
ˆ
0 I
lz
lz
4 2 (z l)2 2 (z l)2
对无限长直导线, l→∞, 有
因为
v H
v J
v D
t
v ( H ) 0
vvv (Jc Jv Jd ) 0
对任意封闭面S有
Ñ S
v (Jc
v Jv
v Jd
) dsv
V
v (Jc
v Jv
v Jd
)dv
0
即
Ic Iv Id 0
第二章 电磁场基本方程
穿过任一封闭面的各类电流之和恒为零。这就是全电流连续 性原理。将它应用于只有传导电流的回路中, 得知节点处传导电 流的代数和为零(流出的电流取正号, 流入取负号)。这就是基尔霍 夫(G .R .Kirchhoff, 德)电流定律: ΣI=0。
vv
Ñl H dl I
这一关系式最先由安培基于实验在1823年提出, 故称之为安培环
路定律。它表明, 磁场强度H沿闭合路径的线积分等于该路径所
包围的电流I。这里的I应理解为传导电流的代数和。利用此定律
可方便地计算一些具有对称特征的磁场分布。
s
(
v H
)
dsv
S
v J
dsv
因为S面是任意取的, 所以必有
v
ÑS B
dsv
0
将左端化为▽·B的体积分知
v B 0
第二章 电磁场基本方程
§2 .2 法拉第电磁感应定律和全电流定律
2 .2 .1 法拉第电磁感应定律
静态的电场和磁场的场源分别是静止的电荷和等速运动的电荷 (恒定电流)。 它们是相互独立的, 二者的基本方程之间并无联系。 但是随时间变化的电场和磁场是相互关联的。这首先由英国科学家 法拉第在实验中观察到。 他发现, 导线回路所交链的磁通量随时间 改变时, 回路中将感应一电动势, 而且感应电动势正比于磁通的时间 变化率。 楞次(H .E .Lenz, 俄)定律指出了感应电动势的极性, 即它在 回路中引起的感应电流的方向是使它所产生的磁场阻碍磁通的变化。 这两个结果的结合就是法拉第电磁感应定律, 其数学表达式为
全部采用1960年国际计量大会通过的国际单位制(SI制), 基本单位
是米(m) , 千克(kg) , 秒(s)和安培(A)。 电磁学中其他单位都可由之
导出, 今已列在附录C中, 以供查用。在SI制中, 库仑定律表达为
v F
rˆ
q1q2
4 0r 2
(N)
第二章 电磁场基本方程
式中, q1和q2的单位是库仑(C), r的单位是米(m), ε0是真空的介电
力为qE, 因此, 当点电荷q以速度v在静止电荷和电流附近时, 它所
受的总力为
v F
q(
v E
vv
v B)
第二章 电磁场基本方程 例 2 .1 参看图2-3, 长2l的直导线上流过电流I。 求真空中P点 的磁通量密度。
图 2-3 载流直导线
第二章 电磁场基本方程
［解］ 采用柱坐标, 电流Idz′到P点的距离矢量是
'
rv
l' r3
第二章 电磁场基本方程
矢量B可看作是电流回路l′作用于单位电流元(Idl=1 A·m)的磁场 力, 它是表征电流回路l′在其周围建立的磁场特性的一个物理量, 称为磁通量密度或磁感应强度。它的单位是
N Am
V s m2
Wb m2
T
毕奥-萨伐(J .B .Biot-F .Savart, 法)定律, 于1820年独立地基于磁
第二章 电磁场基本方程 例 2 .2 设平板电容器两端加有时变电压U, 试推导通过电容 器的电流I与U的关系。
图 2-4 平板电容器
第二章 电磁场基本方程
［解］
由全电流连续性原理可知，传导电流应等于 二平板间的位移电流。
I
Id
AJd
A D t
A E
t
设平板尺寸远大于其间距, 则板间电场可视为均匀, 即E=U/d, 从而得