k 0
I n ( % Ak %, f) fk
k 0
n
对任给 0, 若存在 0，只要 f) 就有 | I n ( f ) I n ( % | 则称求积公式是稳定的。
max 0k n | f ( xk ) %| f
• 定理：若 Ak 0 证明
，
n
(t k ) dt
n even, n/2 integer, let t u n / 2, we have R[ f ] hn2
n/2 n n / 2
(u n / 2 k ) du 0
k 0
因为被积函数为奇函数。
梯形公式的余项
• 定理 若f(x) C2[a,b] ,则梯形公式余项为
xk
(k 0,L , m)
Ak b a, k 0 m 1 2 Ak xk (b a 2 ) L 2 k 0 m 1 m Ak xk (b m 1 a m 1 ), m 1 k 0
• 2）若系数和节点都不确定，则解关于 xk 和 Ak (k 0,L , m) 的非线性方程 组。 • 3）用简单函数的积分代替被积函数的积分。
Cotes系数性质:
(1) 对称性,即
( ( Ck n ) Cnn )k
(2) Cotes系数之和等于1,即
( Ck n ) 1 k 0 n
证明：令 f ( x) 1 代人求积公式俩边得 到。 3）当 n 8 柯特思系数出现负值。
• 对于n阶的Newton-Cotes求积公式
2） l ( x)dx k
a

b
A l (x ) A
j 0 j k j
n
k
求积公式的余项，收敛性，稳定性
若求积公式代数精度为
b n
m
，则可设
R( f ) f ( x)dx Ak f ( xk ) Kf ( m1) ( )
a k 0
求出K即可。K不依赖于函数f。令 f ( x) xm1 n b 得到 1 m 1 m 1
0 x 3 dx A0 A2 0
1 1

1
1
x 4 dx
2 2 1 [( 1) 4 4 0 14 ]. 5 3 3
所以该求积公式具有3次代数精度。
容易验证: • 梯形公式 • 中矩形公式
1 次代数精度 1 次代数精度
求积公式的构造
• 1）若已经选定求积节点 则解线性方程组 m
余项
解：1）确定代数精度是2. 2）设 f ( x) x3 3）令 R[ f ] kf ''' ( ) 求得
1 1 3 2 1 1 ' 1 k ( x dx ( f (0) f (1) f (0))) 3! 0 3 3 6 72
1 ''' R[ f ] f ( ) 72
则
( Ak (b a)Ck n )
于是 有求积分公式
a
b
( f ( x)dx (b a) Ck n ) f k k 0
n
(2)
称为n阶牛顿 柯特斯(Newton- Cotes)公式 C(kn ) 称为Cotes系数 ， .
C
(n) k
n n (1)n k 0 (t i)dt (k 0,1,L , n) n k !(n k )! i 0 ik
k ( m 1)! ( x
a
dx Ak xk
k 0
)
n 1 1 ( (b m 2 a m 2 ) Ak xkm 1 ) ( m 1)! m 2 k 0
• 梯形公式余项
1 1 3 3 ba 2 1 2 k ( (b a ) (a b )) (b a)3 2 3 2 12
RT [ f ]
b
a
ba (b a)3 f ( x)dx [ f (a) f (b)] f ( ) 2 12
[a, b]
Simpson公式的余项
• 定理 为 若f(x) C4[a,b] ,则Simpson公式余项
ba ab f ( x)dx f (a) 4 f ( 2 ) f (b) 6
收敛性定义
在

b
a
f ( x)dx Ak f ( xk )
k 0
n
中，若 limn,h0 Ak f ( xk ) f ( x)dx a
b k 0
n
则称求积公式是收敛的。
稳定性定义
• 设
f ( xk ) % k fk
n
I n ( f ) Ak f ( xk ),
1 3 '' R[ f ] (b a) f ( ) 12
• 中矩形公式余项
1 1 3 ab 2 (b a)3 k ( (b a 3 ) (b a)( ) ) 2 3 2 24
(b a)3 '' R[ f ] f ( ) 24
• 例：求 0
1
2 1 1 ' f ( x)dx f (0) f (1) f (0) 3 3 6
解决办法
1)

b
a
f ( x)dx f ( )(b a)
我们用不同的办法近似 f ( ) 可得到不同的 积分公式。 2）用简单曲线的积分代替复杂曲线的积分。
求积公式举例
1）梯形公式

b
a
1 f ( x)dx (b a)( f (a) f (b)) 2
1 f ( ) ( f (b) f (a)) 2
• 例 设有求积公式

1
1
f ( x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
求A0，A1，A2，使其代数精度尽量高，并问此时求积公 式的代数精度 • 解：（3个未知系数需三个方程） 令求积公式分别对f(x) = 1、x、x2准确成立。即
2 1dx A0 A1 A2
将区间 [a,b]分成 n等分,步长 h b a ,
特殊的求积公式——Newton-Cotes公式
x a时t 0; x b时t n。 因此
n n t i x xi Ak lk ( x)dx dx h dt a a 0 i 0 xk xi i 0 k i b b n ik ik

b
a
f ( x)dx Ln dx I n
a
b a
b
Ak lk ( x)dx,
(k 0,L , )
定理 求积公式至少具有 n 次代数精度的充分必 要条件是它是插值型的。
证明：1） ( f ) ( f ( x) Ln ( x))dx R
a b b a
f ( n 1) ( ) wn 1 ( x)dx (n 1)!
k 0
n
xk 求积节点，Ak 求积系数，也称为节点 xk 的
权，权仅与节点的选取有关，不依赖于被积函数 的具体形式。 这种数值积分方法称为机械求积，特点是积 分问题转变为被积函数值的计算。
求积公式的代数精度 • 定义 若求积公式对所有次数不超过 m 的代数多项 式都精确成立，而对于某个 m+1次多项式不能精确 成立，则称此求积公式具有m次代数精度. • 上述定义等价于：若求积公式对 f(x)=1,x,x2,…,xm 均 精确成立，而对 f(x)=xm+1 不精确成立,则称此求积公 式具有 m 次代数精度. • 求积公式的代数精度概念是衡量公式逼近好坏的标 准之一.
第四章
数值积分和数值微分
为什么要数值积分？
Newton-Leibniz 公式：

b
a
f ( x)dx F ( x) b F (b) F (a) a
f ( x ) 的原函数。
其中， F ( x ) 是被积函数
要求被积函数f(x)
☞ 有解析表达式； ☞ f(x)的原函数F(x)为初等函数．
例1 判别下列求积公式的代数精度
1 1 f x dx 2 f 1 2 f 0 f 1
1
例2 试确定一个具有3次代数精度的公式
f x dx A f 0 A f 1 A f 2 A f 3
3 0 0 1 2 3
2）中矩形公式

b
a
ab f ( x)dx (b a) f ( ) 2
ab f ( ) f ( ) 2
3）一般公式

b
a
f ( x)dx Ak f ( xk )
k 0
n
f ( )
A
k 0
n
k
f ( xk )
ba

b
a
f ( x)dx Ak f ( xk )
问题
1) f(x)没有解析表达式，只有数表形式
e.g.
x f(x)
1 4
2 4.5
3 6
4 8
5 8.5
2) f(x)有表达式，但原函数不是初等函数 sin x e.g.， x dx

e dx
2

x
它们的原函数都不是初等函数。
3) f ( x ) 本身形式并不复杂，而原函数 F ( x ) 推导 十分冗长，且表达式复杂，给计算结果带来十分不 便。
• 当n=1时， Newton-Cotes公式(2)为梯形公式

b
a
ba f ( x)dx [ f (a) f (b)] T 2
• 当n=２时， Newton-Cotes公式(2)为辛普森 （Simpson）公式