弹性学制数学讲义
集合（4课时）
★知识梳理
一：集合的含义与表示
1、一般地，指定的某些对象的全体称为集合，标记：A ，B ，C ，D ，…
集合中的每个对象叫做这个集合的元素，标记：a ，b ，c ，d ，…
2.集合中元素与集合的关系： 文字语言
符号语言 属于
∈ 不属于 ∉
即：a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ， 记作 a ∈A ，
a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ， 记作 a A
3.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性;
元素的确定性：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

元素的互异性：任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。

比如：book 中的字母构成的集合
元素的无序性：集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。

4.常见集合的符号表示 数集
自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 符号 N *N 或+N Z Q R C
5、集合的分类 原则：集合中所含元素的多少
①有限集 含有限个元素，如A={-2，3}
②无限集 含无限个元素，如自然数集N ，有理数
③空 集 不含任何元素，如方程x 2
+1=0实数解集。

专用标记：Φ
注：∅与{}∅不同，∅∈{}∅
6.集合的3
种表示方法：列举法、描述法、图示法；
列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。

例:“中国的直辖市”构成的集合，写成{北京,天津,上海,重庆}
描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。

格式：{x∈A| P（x）} 含义：在集合A中满足条件P（x）的x的集合。

例:不等式12
x+<-的解集可以表示为：{|12}
x R x
∈+<-或{|3,}
x x x R
<-∈图示法：
韦恩图(Venn图)：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。

数轴法：{x∈R|3<x<10}、{x∈R|3≤x<10}、{x∈R|3≤x≤10} 可用数轴表示为：二：集合间的基本关系
表示
关系
文字语言符号语言
相等集合A与集合B中的所有元
素都相同
B
A⊆且A
⊆
B⇔B
A=
子集A中任意一元素均为B中的
元素，称集合A是集合B的
子集（subset）
B
A⊆或A
B⊇读作：A包含于（is contained in）B，或B包含（contains）A
真子集A中任意一元素均为B中的
元素，且B中至少有一元素
不是A的元素称集合A是集
合B的真子集（proper
subset）A B读作：A真包含于B （或B真包含A）
空集空集是任何集合的子集，是
任何非空集合的真子集
A
⊆
φ，φB（φ
≠
B）
注：集合A 中元素的个数记为n ，则它的子集的个数为：2n
真子集的个数：2n -1，非空真子集个数：2n -2
三：集合的基本运算
① 两个集合的交集:A B = {}x x A x B ∈∈且;
一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集 记作：A ∩B 读作：“A 交B ” 即： A ∩B={x|∈A ，且x ∈B}
说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的公共元素组成的集合。

② 两个集合的并集: A B ={}x x A x B ∈∈或;
一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集记作：A ∪B 读作：“A 并B ” 即： A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B}
说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合
（重复元素只看成一个元素）。

③全集U
S 包含我们要研究的各个集合，这时S 可以看作一个全集。

全集通常用字母U 表示 ④补集（余集）
设U 是全集，A 是U 的一个子集（即A ⊆U ），则由U 中所有不属于A 的元素组成的集
合，叫作“A 在U 中的补集”，简称集合A 的补集，记作C U A ，即U C A ={}
x x U x A ∈∉且 交集
并集 补集 {|,}A B x x A x B =∈∈且 {|,}A B x x A x B =∈∈或 U C A ={}x x U x A ∈∉且
★重、难点突破
1．集合的表示法
（1）列举法要注意元素的三个特性；（2）描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，如{})(x f y x =、{})(x f y y =、{}
)(),(x f y y x =等的差别，如果对集合中代表元素认识不清，将导致求解错误：
2．集合间的关系的几个重要结论
（1）空集是任何集合的子集，即A ⊆φ
（2）任何集合都是它本身的子集，即A A ⊆
（3）子集、真子集都有传递性，即若B A ⊆，C B ⊆，则C A ⊆
4．集合的运算性质
（1）交集：①A B B A =；②A A A = ；③φφ= A ；④A B A ⊆ ，B
B A ⊆ ⑤B A A B A ⊆⇔= ；
（2）并集：①A B B A =；②A A A = ；③A A =φ ；④A B A ⊇ ，B
B A ⊇ ⑤A B A B A ⊆⇔= ；
（3）交、并、补集的关系：
①()U A C A U ⋃=，()U A C A ⋂=Φ， A A C C U U =)(
②B C A C B A C U U U ⋂=⋃)(，B C A C B A C U U U ⋃=⋂)(
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