周练数学10注意事项：1．本试卷共160分、考试时间120分钟．2．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题卡上．考试结束后，交回答题卡． 参考公式：棱锥的体积：V ＝13Sh ，其中S 为底面积，h 是棱锥的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．记函数f (x )＝x －1的定义域为A ，集合B ＝{x ∈Z |x ＋6＞0}，则(∁R A )∩B 中的元素个数为▲ ． 2．已知复数z ＝3－i1－2i，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为▲_________． 3．执行右图算法流程图，则输出的值n 为▲_________．4．为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中若干株树木的底部周长(单位：cm)，其数据绘制的频率分布直方图如图，则估计该片经济林中底部周长在[100，104)中的树木所占比例为▲_________．5．已知函数f (x )＝2sin(2x ＋π4)，其中x ∈[0，π2]，则函数f (x )的最小值为 ▲ ．6．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x ＜0，bx －1，x ＞0是奇函数，则不等式f (x )＜0中x 的取值范围为 ▲ ．7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋pn ，a 7＝11．若a k ＋a k ＋1＞12，则正整数k 的最小值为 ▲ ． 8．在集合A ＝{x |0≤x ≤2}中随机取出两个数a ，b ，则a －b ≤1的概率是▲_________．（第3题图）(cm)（第4题）9．已知θ∈(0，π)，|cos θ|＝－cos θ，若sin θ＝35，则tan(θ＋π4)的值为 ▲ ．10．已知正三角形ABC 的边长为23，O 为△ABC 内一点，若→OA ＋→OB ＋2→OC ＝0，则｜→OA ＋→OB ｜ ＝▲_________．11．如图，是一个四棱锥的平面展开图，其中中间是边长为2的正方形，上面三角形是等边三角形，12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0上有且只有两点到直线l ：3x ＋4y ＋m ＝0的距离为1，则实数m 的取值范围为 ▲ ．13．已知a ＞b ＞0，则a 2＋b 2b (a －b )的最小值为 ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (－6，0)，A (－3，2)，B (4，4)．直线l 过点P ，且将△AOB分成面积相等的两部分，则直线l 的方程为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ． （1）若a ＝2b ，cos A ＝－14，求sin C 的值；（2）若A ＝π6，且3tan B ＋tan C ＝0，求角B 的度数．16．(本小题满分14分)如图，已知P A ⊥矩阵ABCD 所在平面，AD ＝2AB ，E 为线段PD 的中点． （1）求证：PB ∥平面AEC ； （2）求证：BD ⊥CE ．ABCEP（第16题）17．(本小题满分14分)如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD )的池底水平铺设污水净化管道（R t △FHE ，H 为直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H 是AB 的中点，E ，F 分别在BC ，AD 上．已知AB ＝20米，AD ＝103米，记∠BHE ＝θ．（1）将污水净化管道长度L 表示为θ的函数；（2）当θ为何值时，污水净化效果最好，并求此时管道长度．18．(本小题满分16分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且2a n ＋1＝S n ＋2(n ∈N *)． （1）求a 2，a 3的值，并求数列{a n }的通项公式；（2）设b n ＝1a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ．若3T n ＞S n ，求n 的最大值．19．(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为6，且过点(103，313)．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上不同的两点，点P 的坐标为(0，92)，PM →＝λPN →．①当λ＝12时，求点N 的坐标；②求λ的取值范围．20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝ax 2＋12bx ，a ≠0，b ＞0．（1）①讨论函数f (x )的单调性；②设a ＞0，若x 1，x 2满足|x i |＞1a(i ＝1，2)，且x 1＋x 2＞0，x 2＞0，求证：f (x 1)＋2f (x 2)＞a b ．（2）设a ＞0，函数g (x )＝12ax 2－ln x ．若对任意x 1，x 2∈(0，1a )，x 1≠x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|＞|g (x 1)－g (x 2)|，求b －a 的最大值．ABC DHEF（第17题）数学参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．6 2．1 3．4 4．55% 5．－ 2 6．(－∞，－12)∪(0，12) 7．68．78 9．17 10．3 11．433 12．(－13，7) 13．22＋2 14．y ＝13x ＋2 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ． （1）若a ＝2b ，cos A ＝－14，求sin C 的值；（2）若A ＝π6，且3tan B ＋tan C ＝0，求角B 的度数．解：（1）由余弦定理， a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得4b 2＝b 2＋c 2＋12bc ，解得c ＝32b ．………3分所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝1116．因为0＜C ＜π，所以sin C ＝31516．………………………………………………………7分 （2）因为A ＝π6，3tan B ＋tan C ＝0，所以3tan(5π6－C )＋tan C ＝0，即3(tan 5π6－tan C )1＋tan 5π6tan C＋tan C ＝0．……………………………10分化简，得tan 2C ＋23tan C ＋3＝0，解得tan C ＝－3，…………………………………12分 因为0＜C ＜π，所以C ＝2π3，所以B ＝π6． ………………………………………………14分16．(本小题满分14分)证明：（1）设AC ，BD 的交点为O ，连接EO ． 因为ABCD 是矩形，所以OB ＝OD ．因为EP ＝ED ，所以EO 是△PBD 的中位线，所以PB ∥EO ， ………………3分ABCDEF P（第16题）OPB /⊂平面AEC ，EO ⊂平面AEC ，所以PB ∥平面AEC ． …………………6分 （2）取AD 中点F ，连接EF ，FC ．因为PE ＝DE ，所以EF 为△P AD 的中位线，所以P A ∥EF ．因为P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥BD ，所以BD ⊥EF ．①…………………9分因为ABCD 是矩形，AD ＝2AB ，E 为PD 的中点， 所以tan ∠DCF ＝DF DC ＝22，tan ∠DBC ＝DC BC ＝22， 所以∠DCF ＝∠DBC ．因为∠DBC ＋∠BDC ＝90°，所以∠DCF ＋∠BDC ＝90°，即BD ⊥CF ．②…………………12分因为EF ∩CF ＝F ，所以BD ⊥平面CEF ，CE ⊂平面CEF ，所以BD ⊥CE ． ………14分 17．(本小题满分14分)解：（1）EH ＝10cos θ，FH ＝10sin θ，所以EF ＝EH 2＋FH 2＝10sin θcos θ． …………………4分所以L ＝10cos θ＋10sin θ＋10sin θcos θ，其中θ的取值范围为[π6，π3]． …………………6分说明：不写定义域扣1分．（2）令sin θ＋cos θ＝t ，所以sin θcos θ＝t 2－12．因为θ∈[π6，π3]，所以t ∈[3＋12，2]．………………………………………………………8分所以L ＝10cos θ＋10sin θ＋10sin θcos θ＝10(sin θ＋cos θ＋1)sin θcos θ＝10(t ＋1)t 2－12＝20t －1． …………………11分因为函数L ＝20t －1在上是减函数，所以当t ＝3＋12，即θ＝π3时，L 最大＝20(3＋1)．答：当θ＝π3或π6时，污水净化效果最好，此时管道长度为20(3＋1)米． …………………14分说明：不下结论，或得到最大值没有说明理由，扣1分．ABC DHEF （第17题）18．(本小题满分16分)解：（1）因为2a 2＝S 1＋2＝a 1＋2＝3，所以a 2＝32．因为2a 3＝S 2＋2＝a 1＋a 2＋2＝92，所以a 3＝94．……………………………………………2分因为2a n ＋1＝S n ＋2，所以2a n ＝S n －1＋2(n ≥2)，两式相减，得2a n ＋1－2a n ＝S n －S n －1，即2a n ＋1－2a n ＝a n ，所以a n ＋1＝32a n (n ≥2)． ……………………………………………………………………4分因为a 2＝32a 1，所以a n ＋1＝32a n (n ∈N *)，a 1＝1．所以数列{a n }为等比数列，所以a n ＝(32)n －1．………………………………………………7分（2）b n ＝1a n ＝(23)n －1，所以数列{1a n }是首项为1，公比为23等比数列．……………………………………………9分所以T n ＝1－(23)n1－23＝3－3×(23)n ．又S n ＝1－(32)n1－32＝2×(32)n －2．………………………………………………………………11分当n ≥5时，3T n ＜9，S n ≥9，所以3T n ＞S n 中的n ≤4．…………………………………14分 因为n ＝4时，3T n ＜S n ，当n ＝1，2，3时，3T n ＞S n ，所以n 的最大值为3．……………………………………………………………………16分 19．(本小题满分16分)解：（1）由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3，1009a 2＋319b 2＝1，a 2－b 2＝c 2．…………………………3分 解得a 2＝18，b 2＝9，c ＝3．所以椭圆C 的方程为x 218＋y 29＝1． …………………………5分（2）①设N (x 1，y 1)，因为点P 的坐标为(0，92)，且PM →＝12PN →，所以点M 的坐标为(12x 1，12y 1＋94)．因为点M ，N 都在椭圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2118＋y 219＝1，(12x 1)218＋(12y 1＋94)29＝1，…………………………7分解得x 1＝±304，y 1＝34． 所以点N 的坐标为(±304，34)．…………………………………………………………9分 ②设N (x 1，y 1)，因为点P 的坐标为(0，92)，且PM →＝λPN →，所以点M 的坐标为(λx 1，λy 1＋92(1－λ))． ……………………………11分因为点M ，N 都在椭圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2118＋y 219＝1，(λx 1)218＋[λy 1＋92(1－λ)]29＝1， ②－①×λ2，得19×[2λy 1·92(1－λ)＋814(1－λ)2]＝1－λ2． …………………13分因为λ≠1时，所以上式可化为y 1＝13λ－54λ．因为点N 在椭圆上，所以|y 1|≤3，即|13λ－54λ|≤3，解得15≤λ≤5．所以实数λ的取值范围为[15，1)∪(1，5]． ………………………………16分20．(本小题满分16分) 解：（1）①f ′ (x )＝ax 2－12bx 2．当a ＜0时，因为b ＞0，所以f ′ (x )＜0，所以f (x )在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数． ………………………………1分 当a ＞0时，解f ′ (x )＜0，得－1a ＜x ＜0或0＜x ＜1a ，解f ′ (x )＞0，得x ＜－1a 或x ＞1a， 所以f (x )在区间(－1a ，0)和(0，1a )上为减函数，在区间(－∞，－1a )和(1a，＋∞)上是增函数． ……………………………………3分 ②因为x 1＋x 2＞0，x 2＞0，所以x 1＞0，或x 1＜0． 若x 1＞0，因为|x i |＞1a (i ＝1，2)，所以x 1＞1a ，x 2＞1a， 由①，知f (x )在(1a ，＋∞)上是增函数，所以f (x 1)＋2f (x 2)＞f (1a )＋2f (1a)＝3a b ＞a b ．① ②………………………………………5分 若x 1＜0，由|x 1|＞1a ，得x 1＜－1a， 因为x 1＋x 2＞0，x 2＞0，所以x 2＞－x 1＞1a， 由①，知f (x )在(1a，＋∞)上是增函数，所以f (x 1)＋2f (x 2)＞f (x 1)＋2f (－x 1)＝f (－x 1)＝a b ．综上，f (x 1)＋2f (x 2)＞ab． ………………………………………8分 （2）g ′ (x )＝ax －1x ＝ax 2－1x ，x ∈(0，1a )，所以g ′ (x )＜0，所以函数g (x )在(0，1a)上是减函数．不妨假设x 1＜x 2． 由（1），知f (x ) 在(0，1a)上是减函数， 所以不等式|f (x 1)－f (x 2)|＞|g (x 1)－g (x 2)|等价于f (x 1)－f (x 2)＞g (x 1)－g (x 2)，……………10分 即[f (x 1)－g (x 1)]－[f (x 2)－g (x 2)]＞0． 令M (x )＝f (x )－g (x )，x ∈(0，1a)，则M (x )为减函数． 因为M ′ (x )＝f ′ (x )－g ′ (x )＝ax 2－12bx 2－ax ＋1x ＝(ax 2－1)(1－2bx )2bx 2，所以(ax 2－1)(1－2bx )2bx 2≤0在区间(0，1a )上恒成立，即1－2bx ≥0在区间(0，1a )上恒成立， 所以1－2b a≥0，即b ≤a2． ……………………………14分所以b －a ≤a 2－a ＝－(a －14)2＋116≤116． 所以b －a 的最大值为116． ……………………………………16分。