由于光路可逆，此时分别在点 B 和点 C 处发光，光线在平面③内，光线经过平面③和
旋转抛物面的交线，反射到线光源上，在交线上取 1000 个点，通过计算机扫描，分别如下 图所示：
2002 年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖
国防科技大学：陈俊英、刘春明、刘亮，指导教师：毛紫阳
由图中可以看出： 对于 B 点：
− 1.3)⎥⎦
< 0.0362
，可解得：
−1.9059904 ×10−3 < y1 < −7.8021187 ×10−4 ； 在 C 点 处 ， y2 = 2.6 米 ， 即 有
2
0
<
0.06⎜⎜⎛ ⎝
25 y1 y1 − 2.6
−
0.015⎟⎟⎞ ⎠
−
⎡
⎢ ⎣
4
×
3 y1
2.6( y1
−
⎤
2.6)⎥⎦
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国防科技大学：陈俊英、刘春明、刘亮，指导教师：毛紫阳
设任一个点光源ｉ能通过旋转抛物面上的点集｛ＤｉＢ｝、｛ＤｉＣ｝反射到Ｂ和Ｃ点，我们 可以通过求出点集｛ＤｉＢ｝｛ＤｉＣ｝的大小来确定点光源ｉ在Ｂ、Ｃ两点上的照度的相对大 小，然后采用在线光源的长度ｌ上的定积分的黎曼和形式求出长ｌ的线光源对Ｂ、Ｃ点的照 度的相对大小。通过比较后确定ｌ的取值，然后根据ｌ画出屏上反射光的亮区。
线 ， 显 然 DF 为 角 平 分 线 。 DF 的 矢 量 方 向 为 (0.03,− y0 ,−z0 ) ， 故 设
F (x0 + 0.03t, y0 − y0t, z0 − z0t) ，由于 F 在 SE 上，则 z0 − z0t = 0 ，从而 t = 1 ，可得
F (x0 + 0.03,0,0) 。 根 据 三 角 形 的 角 平 分 线 定 理 可 得 ：
综上所述，不同的 y1 值，通过旋转抛物面上反射到Ｂ点和 C 点的点集分别为：
对于 B 点：
当-0.03m<y1<-0.001906m 时，
｛ＤＢ｝=2；
当-0.001906m<y1<-0.000779m 时， ｛ＤＢ｝=4；
当 y1=-0.000779m 时，
｛ＤＢ｝=1；
当-0.000779m<y1<0.008m 时，
问题（１）的实质是一个在一定约束条件下的线性规划问题。针对问题本身 的特点，我们提出了两种假设：ａ．假设单位长度的线光源辐射功率一定；ｂ． 假设线光源的总功率一定。在假设ａ的前提下，线光源的总功率最小即转化为总 长度最小，我们经过分析Ｂ点和Ｃ点各自的相对光照度随光源长度变化的规律便 可以求出满足条件的线光源的长度。在假设ｂ的前提下，通过同样的方法求出一 个较优的解。经过比较，我们最终选定ｌ＝４．４ｍｍ为线光源的优化设计长度。
y
=
y2 − y1 25
(x − 0.015) +
y1 ，从而可设在三维空间中，过此直线的平面（即入射面）方程
为：
y2 − y1 25
(x
−
0.015) −
(y
−
y1 ) +
kz
=
0（
k
为一常数）②，或
z
=
0 ③。
先考虑 z ≠ 0 时的情况（即入射面为②）
⑴、显然，由光的反射定律，入射点 D (x0 , y0 , z0 ) 一定位于过 SE 的平面内，故必有：
｛ＤＢ｝=0；
当 0.008m<y1<0.0153m 时，
｛ＤＢ｝=1；
当 0.0153m<y1<0.03m 时，
｛ＤＢ｝=2；
对于 C 点：
当-0.03m<y1<-0.003812m 时，
｛ＤC｝=2；
当-0.003812<y1<-0.0016m 时，
｛ＤC｝=4；
当 y1=-0.0016m 时，
< 0.0362
，可解得：
− 3.8119807 ×10−3 < y1 < −1.5609236 ×10−3 。
相应地，
对于 B 点：当 −1.9059904 ×10−3 < y1 < −7.8021187 ×10−4 时，这样的 D 点有两个；
当 y1 = −1.9059904 ×10−3 或 y1 = −7.8021187 ×10−4 时，这样的 D 点有一个；当 y1 为其 它值时，这样的 D 点有零个。
Eb
B 点光照度
Ec
C 点光照度
E0
额定值
四、问题分析
这是一个在一定的约束条件下求总功率最小的车灯线光源的优化设计问题。由于线光源 的均匀分布，为简化问题的求解，我们将其视为由无数个各向同性且发光强度相等的点光源 组成。对于一个点光源来说，由它发出的光线经过旋转抛物面上的一点反射后的反射光线是 唯一确定的，这样一个点光源的反射光射在屏幕上便形成一个光斑。
当 y1<-0.00077911m 时， 当-0.00077911m<y1<0.0080m 时， 当 y1=0.0080m 时， 当-0.0080m<y1<0.0153m 时， 当 0.0153m<y1<0.03m 时， 对于 C 点：
｛ＤＢ｝=2； ｛ＤＢ｝=0； ｛ＤＢ｝=1； ｛ＤＢ｝=1； ｛ＤＢ｝=2；
国防科技大学：陈俊英、刘春明、刘亮，指导教师：毛紫阳
A题
车灯线光源的优化设计
陈俊英 刘春明
刘亮
指导教员：毛紫阳
国防科技大学机电工程及自动化学院 2002 年 9 月 22 日
2002 年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖
国防科技大学：陈俊英、刘春明、刘亮，指导教师：毛紫阳
车灯线光源的优化设计
摘要
本文讨论了在满足一定的设计规范的条件下求线光源长度，使其发光功率最 小的优化模型。
2
0
<
0.06⎜⎜⎛ ⎝
25 y1 y1 − y2
− 0.015⎟⎟⎞ − ⎠
⎡ 3y1
⎢ ⎣
4
y2
( y1
−
⎤
y2 )⎥⎦
< 0.0362 ，在 B 点处， y2 = 1.3 米，即有
2
0
<
0.06⎜⎜⎛ ⎝
25 y1 y1 −1.3
−
0.015 ⎟⎟⎞ ⎠
−
⎡
⎢ ⎣
4
3 y1
× 1.3( y1
⎤
针对问题（２），我们采用Ｃ语言中的像素灰度法及Ｍａｔｌａｂ中的颜色 映像法，在满足较高的精度的情况下，通过像点、计数及拟合求得测试屏上反射 光的亮区。
此外，我们又结合现实生活中的实际情况及车灯设计一般应满足的要求，对 该设计规范的合理性作了一番探讨，认为该设计规范还是较为符合实际要求的。
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源吸收的情况。 5． Ｃ点光照度的额定值为１ｌｘ。
三、符号说明
ｌ Ｐ Ｉ Ｆ Ｅ θ ｛Ｄ｝
线光源长度 （单位：ｍｍ）
线光源功率 （单位：Ｗ）
光强
（单位：ｃｄ）
光通量
（单位：ｌｍ，１ｌｍ＝１／６８３Ｗ）
光照度
（单位：ｌｘ，１ｌｘ＝１ｌｍ／ｍ２）
光线照到测试屏上的入射角
点光源通过旋转抛物面上反射到（如Ｂ）点的点集
对于 C 点：当 − 3.8119807 ×10−3 < y1 < −1.5609236 ×10−3 时，这样的 D 点有两个；
当 y1 = −3.8119807 ×10−3 或 y1 = −1.5609236 ×10−3 时，这样的 D 点有一个；当 y1 为其
它值时，这样的 D 点有零个。 再考虑 z = 0 时的情况（即入射面为③）
五、模型的建立与求解
（一）、设计线光源的长度 这一问题实质上是一个在一定约束条件下的非线形规划问题。
设线光源的发光功率为 P ，长度 l ，线光源上各个点光源的发光强度为 I ，则显然
P = P(l, I ) 。
设 B 点的光照度为 Eb ， C 点的光照度为 Ec ，额定值为 E0 ，则需满足的约束条件为： Eb ≥ 2E0 且 Ec ≥ E0 。
于是我们建立模型如下： min p = P(l, I )，
s.t. ， Eb ≥ 2E0 ， Ec ≥ E0
根据问题的分析可知：首先必须求出线光源上任一点光源 S 经过抛物面上的一点 D 反 射后到达 B （或 C ）点，这样的点 D 有多少个。
现以抛物面的顶点为原点，以其对称轴指向的正前方为 x 轴，建立如下图所示的笛卡尔
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国防科技大学：陈俊英、刘春明、刘亮，指导教师：毛紫阳
(x0
−
0.015)2
+
(y0
−
)y1 2
+
z
2 0
=
(x0
−
25.015)2
+
(y0
−
y2
)2
+
z
2 0
x0 + 0.015
25 − x0 − 0.015
经过推导可得
y0=
3 y1
4 y2 (y1 −
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国防科技大学：陈俊英、刘春明、刘亮，指导教师：毛紫阳
当 y1<-0.0016m 时，
｛ＤC｝=2；
当-0.0016<y1<0.0134m 时，
｛ＤC｝=0；
当 y1=0.0134m 时，
｛ＤC｝=1；
当 0.0134m<y1<0.03m 时，
｛ＤC｝=1；