虹口区2014学年第一学期高三期终教学质量监测试卷2015.1.8一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1、椭圆2214x y +=的焦距为 .2、在91x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数之和为 .3、若复数z 满足22zii i=-+（i 为虚数单位），则复数z = . 4、若正实数a b ，满足ab =32，则2a b +的最小值为 .5、行列式()3sin tan 4cos tan()2x x x x ππ-+的最小值为 .6、在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若75,60,A B b =︒=︒，则c = .7、若()22sin 00x x f x x x π≤≤⎧=⎨<⎩，，，，则方程()1f x =的所有解之和等于 .8、若数列{}n a 为等差数列，且12341,21a a a a =++=，则122limnn a a a n →∞+++= .9、设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若12,,n n n S S S ++成等差数列，则q = .10、已知12,l l 是分别经过()()2102A B ,，,两点的两条平行直线，当12,l l 之间的距离最大时，直线1l 的方程是 .11、若抛物线24y x =上的两点A 、B 到焦点的距离之和为6，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 .12、10件产品中有8件正品，2件次品，从中任取3件，则恰好有一件次品的概率为 .（结果用最简分数表示）13、右图是正四面体的平面展开图，M N G 、、分别为DE BE FE 、、的中点，则在这个正四面体中，MN 与CG 所成角的大小为 .E14、右图为函数()()=sin (0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ+>><<的部分图像，M N 、是它与x 轴的两个交点，D C 、分别为它的最高点和最低点，()0,1E 是线段MD 的中点，且28MD MN π⋅=，则函数()f x 的解析式为 .二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分. 15、设全集(){}{},ln 1,11U R A x y x B x x ===-=-<，则()U C A B = （ ）.A.()2,1-B.(]2,1-C.[)1,2D.()1,216、设,a b 均为非零向量，下列四个条件中，使a b ab=成立的必要条件是 （ ）.A.a b =-B.//a bC.2a b =D.//a b 且a b =17、关于曲线42:1C x y +=，给出下列四个命题： ①曲线C 关于原点对称； ②曲线C 关于直线y x =对称 ③曲线C 围成的面积大于π ④曲线C 围成的面积小于π上述命题中，真命题的序号为 （ ）A.①②③B.①②④C.①④D.①③18、若直线1y kx =+与曲线11y x x x x=+--有四个不同交点，则实数k 的取值范围是 （ ）.A.11,0,88⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B.11,88⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ C.11,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D.11,88⎛⎫- ⎪⎝⎭三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要步骤.19、（本题满分12分）已知3cos ,424x x πππ⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求sin ,sin ,cos 24x x x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值20、（本题满分14分）本题共2个小题，每小题7分一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知圆锥底面面积是这个球面面积的316，设球的半径为R ，圆锥底面半径为r .（1）试确定R 与r（2）求出两个圆锥的体积之和与球的体积之比.21、（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分 已知函数()f x 和()g x 的图像关于原点对称，且2()f x x x =+ （1）求函数()y g x =的解析式；（2）若()()()3h x g x m f x =-⋅+在[]1,1-上是增函数，求实数m 的取值范围.22、（本题满分16分）本题共3小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分. 已知各项均不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()141n n n S a a n N *+=⋅+∈，其中11a =. （1）求证：135,,a a a 成等差数列； （2）求证：数列{}n a 是等差数列； （3）设数列{}n b 满足()121n b nn N a *=+∈，且n T 为其前n 项和，求证：对任意正整数n ，不等式212log n n T a +>恒成立.23、（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题5分，第2小题7分，第3小题6分.已知12F F 、为为双曲线22221x y C a b-=：的两个焦点，焦距12=6F F ，过左焦点1F 垂直于x 轴的直线，与双曲线C 相交于,A B 两点，且2ABF ∆为等边三角形. （1）求双曲线C 的方程；（2）设T 为直线1x =上任意一点，过右焦点2F 作2TF 的垂线交双曲线C 与,P Q 两点，求证：直线OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点）；（3）是否存在过右焦点2F 的直线l ，它与双曲线C 的两条渐近线分别相交于,R S 两点，且使得1F RS ∆的面积为l 的方程；若不存在，请说明理由.2015年虹口区高三一模数学试卷理科（参考答案）一．填空题1. 2. 1； 3. 5i -； 4. 16； 5. 5-； 6.7. 1π-；8. 1.5； 9. 2-； 10. 230x y --=； 11. 3； 12.715；13. arccos 3； 14. 2sin(2)4y x π=+；二．选择题15. C ； 16. B ； 17. D ； 18. A ； 三．解答题19. 解：(,)442x πππ-∈，在第一象限，∴sin()410x π-==； 4s i ns i n ()s i n ()c o s c o s ()s i n 4444445x x x x ππππππ=-+=-+-=； 27c o s 212s i n 25xx =-=-；20. （1）解：223416r R ππ=⨯，r =；::3:1V V h h ==大小大小； （2）解：22232321143():()::3338h r V V V r h r h R r h R R R πππ+=+==⋅=小大小球大小小；21. （1）解：2()g x x x =-+；（2）解：2()(1)(1)3h x m x m x =--+-+， 当10m -->，即1m <-时，对称轴112(1)mx m -=≤-+，∴31m -≤<-；当10m --=，即1m =-时，()23h x x =+，符合题意，∴1m =-； 当10m --<，即1m >-时，对称轴112(1)m x m -=≥+，∴113m -<≤-；综上，133m -≤≤-； 22. （1）解：141n n n S a a +=+ ①；1141n n n S a a --=+ ②；①－②得114n n a a +--=，得证；（2）解：由11a =，得23a =，结合第（1）问结论，即可得{}n a 是等差数列； （3）解：根据题意，22log 21n n b n =-，22462log 13521n nT n =⨯⨯⨯⨯-…； 要证2122log log (21)n n T a n +>=+，即证246213521nn ⨯⨯⨯⨯>-… 当1n =时，2> 假设当n k =时，246213521kk ⨯⨯⨯⨯>-…成立； 当1n k =+时，24622222135212121k k k k k k ++⨯⨯⨯⨯⨯>-++…=；>2(22)(21)(23)k k k +>++，展开后显然成立， 所以对任意正整数n ，不等式212log n n T a +>恒成立；23. （1）3c =，∵等边三角形，∴2AF =，1AF =a =22136x y -=； （2）解：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，中点为00(,)T x y '，然后点差法，即得2121212122()1312()PQ PF T Tx x y y k y y x x k y y +--===-==+-， ∴001TOT OT y y k k x '===，即点T '与点T 重合，所以T 为PQ 中点，得证； （3）解：假设存在这样的直线，设直线:3l x my =+，(,)R R R x y ，(,)S S S x y联立3y x my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得R y =；联立3y x my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得S y =；116()22F R S RS Sy y =⨯⨯-()R S y y -==l .。