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研究生矩阵论课后习题答案全习题三

习题三1.证明下列问题:(1)若矩阵序列{}m A 收敛于A ,则{}Tm A 收敛于T A ,{}m A 收敛于A ;(2)若方阵级数∑∞=0m m m A c 收敛,则∑∑∞=∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛00)(m mT m Tm m m A c A c .证明:(1)设矩阵,,2,1,)()( ==⨯m a A n n m ij m则,)()(n n m ji Tm a A ⨯=,)()(n n m ij m a A ⨯=,,2,1 =m设,)(n n ij a A ⨯=则n n ji T a A ⨯=)(,,)(n n ij a A ⨯=若矩阵序列{}m A 收敛于A ,即对任意的n j i ,,2,1, =,有ij m ij m a a =∞→)(lim ,则ji m ji m a a =∞→)(lim ,ij m ij m a a =∞→)(lim ,n j i ,,2,1, =,故{}T m A 收敛于TA ,{}m A 收敛于A .(2)设方阵级数∑∞=0m m mA c的部分和序列为,,,,21m S S S ,其中mm m A c A c c S +++= 10.若∑∞=0m m mA c收敛,设其和为S ,即S A cm m m=∑∞=0,或S S m m =∞→lim ,则T Tm m S S =∞→lim .而级数∑∞=0)(m mTmA c的部分和即为T mS ,故级数∑∞=0)(m m T m A c 收敛,且其和为T S ,即∑∑∞=∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛00)(m m T m Tm m m A c A c .2.已知方阵序列{}m A 收敛于A ,且{}1-m A ,1-A 都存在,证明:(1)A A m m =∞→lim ;(2){}11lim --∞→=AA mm .证明:设矩阵,,2,1,)()( ==⨯m a A n n m ij m ,)(n n ij a A ⨯=若矩阵序列{}m A 收敛于A ,即对任意的n j i ,,2,1, =,有ij m ij m a a =∞→)(lim .(1) 由于对任意的n j j j ,,,21 ,有,lim )(k kkj m kj m a a =∞→ n k ,,2,1 =, 故∑-∞→nn n j j j m nj m j m j j j j m a a a 2121)()(2)(1)()1(limτ=∑-nn n j j j nj j j j j j a a a 21212121)()1(τ,而∑-=nnn j j j m nj m j m j j j j m a a a A 2121)()(2)(1)()1(τ,∑-=nn n j j j nj j j j j j a a a A 21212121)()1(τ,故A A m m =∞→lim .(2) 因为n n m ij m m A A A ⨯-=)(1)(1,n n ij A AA ⨯-=)(11. 其中)(m ij A ,ij A 分别为矩阵m A 与A 的代数余子式.与(1)类似可证明对任意的n j i ,,2,1, =,有ij m ij m A A =∞→)(lim ,结合A A m m =∞→lim ,有n n m ij m m A A ⨯∞→)(1lim)(=n n ij A A⨯)(1, 即{}11lim --∞→=A A m m .3.设函数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3201sin cos sin )(t t e t t t t t t A t , 其中0≠t ,计算),(),(lim 0t A dt d t A t →),(22t A dtd ,)(t A dt d)(t A dt d . 解:根据函数矩阵的极限与导数的概念与计算方法,有(1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=→→→→→→→→→→001011010lim 0lim 1lim lim lim sin limlim cos lim sin lim )(lim 300200000t t e ttt tt t A t t t t tt t t t t t ;(2)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡'''''''''=22323002sin cos 1sin cos )(01)()()sin ()(cos )(sin )(t t e t t t t t tt t e t t t t t t A dt d t t ; (3)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----==t e t t t t t t t A dtd dt d t A dt d t 6002cos 2sin )2(0cos sin ))(()(222; (4)=)(t A dt d '3201sin cos sin t t e tt t t tt)2cos 2(sin )sin cos 2(]1)cos (sin sin 3[32t t t t t t t t t t t t t e t +--+--++=(5))(t A dt d =22302sin cos 1sin cos t t e t t t t t tt -- )sin cos (sin 3cos 32t t t t t e t t -+=.4.设函数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-00302)(222x e e x xe e x A x xx x , 计算⎰10)(dx x A 和⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰20)(x dt t A dx d . 解:根据函数矩阵积分变限积分函数的导数的概念与计算方法,有(1)⎰10)(dx x A =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎰⎰⎰⎰⎰⎰-00302101211210102xdx dx e dxe dx x dx xe dx e x x xx ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-0023011311)1(21212e e e ; (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰20)(x dt t A dx d =)(22x xA =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-00302224222222x e ex e x e x x xx. 5.设,))(,),(),((21T n t y t y t y y =A 为n 阶常数对称矩阵,Ay y y f T=)(,证明:(1)dt dy A y dt df T 2=; (2)dtdy y y dt d T222=. 证明:(1)y A y Ay y Ay y dtdfT T T '+'='=)()(y A y Ay y T T T '+'=))((y A y T '=2dtdyA y T 2=,(2)dtdy y yy dt d y dt d TT 2)(22==. 6.证明关于迹的下列公式:(1)X X X tr dX d XX tr dX d T T 2)()(==; (2)T T T B B X tr dX d BX tr dX d ==)()(; (3)X A A AX X tr dXdT T )()(+=. 其中m m ij m n ij n m ij a A b B x X ⨯⨯⨯===)(,)()(.证明:(1)因为∑∑====mi nj ij TTx X X tr XX tr 112)()(,而ij m i n j ij ij x x x 2)(112=∂∂∑∑==, 故X X X tr dXd XX tr dX d T T 2)()(== (2)因为n n mk kj ik x b BX ⨯=∑=)(1,则∑∑====n j mk kj jk TTx b B X tr BX tr 11)()(,而ji n j mk kj jk ij b x b x =∂∂∑∑==)(11, 故T T T B B X tr dXd BX tr dX d ==)()(. (3) 因为,212221212111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn n n m m Tx x x x x x x x x X⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∑∑∑∑∑∑∑∑∑=========mk kn mk m k k mk mk k mk mk kn k mk k kmk k k mk kn k mk k k mk k k x a xax a x a x axa x a x a x a AX 112111212211211121111故)()()()(11ln 111111∑∑∑∑∑∑======++++=m l mk kn lk ml m k kj lk lj m l m k k lk l Tx a x x a x x a x AX X tr 则))(()(11∑∑==∂∂=∂∂m l mk kj lk lj ij Tij x a x x AX X tr x )]([111∑∑∑===∂∂+∂∂=mk kj lk ij lj mk kj lk ij ljml x a x x x a x x ∑∑==+=ml lj li mk kj ik x a x a 11故X A A X A AX AX X tr dXdT T T )()(+=+=. 7.证明:TT T T T T dX db a dX da b b a dX d +=)(, 其中)(),(X b X a 为向量函数.证明:设T m T m X b X b X b X b X a X a X a X a ))(,),(),(()(,))(,),(),(()(2121 ==,则∑==mi i i TX b X a X b X a 1)()()()(,故它是X 的数量函数,设)()()(X b X a X f T =,有),,,())()((21nTTx f x f x f X b X a dX d ∂∂∂∂∂∂= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=∑∑==m i n i i i n i m i i i i i x X b X a X b x X a x X b X a X b x X a 1111)()()()(,,)()()()( ∑∑∑===∂∂∂∂∂∂=mi i n i m i i i mi i i X b x X a X b x X a X b x X a 11211))()(,,)()(,)()(( ))()(,,)()(,)()((11211∑∑∑===∂∂∂∂∂∂+mi ni i m i i i mi i i x X b X a x X b X a x X b X aTT T TdX db adX da b +=. 8.在2R 中将向量Tx x ),(21表示成平面直角坐标系21,x x 中的点Tx x ),(21,分别画出下列不等式决定的向量Tx x x ),(21=全体所对应的几何图形:(1) ,11≤x (2) ,12≤x (3) 1≤∞x . 解:根据,1211≤+=x x x ,122212≤+=x x x{}1,max 21≤=∞x x x ,作图如下:9.证明对任何nC y x ∈,,总有)(212222y x y x x y y x T T --+=+. 证明:因为y y x y y x x x y x y x yx T T T T T +++=++=+)()(22y y x y y x x x y x y x y x T T T T T +--=--=-)()(22故x y y x y x y x T T +=--+)(212222 10.证明:对任意的nC x ∈,有12x x x≤≤∞.证明:设Tn x x x x ),,,(21 =,则{}nn n x x x x x x x xx x x x +++=+++==∞21122221221,,,,,max由于{}22122221221)(),,,(max n nn x x x x x x x x x +++≤+++≤ ,故21222x xx≤≤∞,即12x x x≤≤∞.11.设n a a a , ,,21是正实数,证明:对任意nT n C x x x X ∈=),,(21, ,2112⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=ni i i x a X是nC 中的向量范数.证明:因为 (1),02112≥⎪⎭⎫⎝⎛=∑=ni i ix a X 且00=⇔=X X ;(2)X k x a k x a k kx a kX ni i i ni i i ni i i =⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑∑===2112211222112;(3)对于nT n C y y y Y ∈=),,(21, ,T n n y x y x y x Y X ),,(2211+++=+, ,则21212122)(2Y X Y X y a x a y x a YX ni ii ni ii ni ii i +=++≤+=+∑∑∑===故Y X Y X +≤+.因此2112⎪⎭⎫⎝⎛=∑=ni i i x a X 是nC 中的向量范数. 12.证明:ij nj i a n A ≤≤=,1m ax是矩阵n n ij a A ⨯=)(的范数,并且与向量的1-范数是相容的.证明:因为(1) 0m ax ,1≥=≤≤ij nj i a n A ,且O A =⇔0=A ;(2) A k a n k ka n kA ij nj i ij nj i =≥=≤≤≤≤,1,1m ax m ax ;(3) B A b n a n b a n B A ij nj i ij nj i ij ij nj i +=+≥+=+≤≤≤≤≤≤,1,1,1m ax m ax m ax(4)设Tn x x x X ),,,(21 =,则T nj j nj n j j j n j j j x a x a x a AX ),,,(11211∑∑∑==== ,故∑∑∑===+++=nj j njnj j jnj j jx ax ax aAX 11111∑∑∑=≤≤=≤≤=≤≤+++≤nj j nj nj nj j j nj nj jjnj x a x a xa 11121111max max max11,1max X A xa n nj jijnj i =≤∑=≤≤因此ij nj i a n A ≤≤=,1m ax 是与向量的1-范数相容的矩阵范数.13.设nn CA ⨯∈,且A 可逆,证明:11--≥AA .证明:由于I AA =-1,1=I ,则111--≤==A A AA I ,故11--≥AA .14.设nn CA ⨯∈,且,1<A 证明:A I -可逆,而且有(1)AA I -≤--11)(1;(2)AA I A I -≤---1)(1.证明:(1)由于A A I I A I 11)()(---+=-,故A A I I A A I I A I 111)()()(----+≤-+≤-,即 AA I -≤--11)(1.(2)因为A I A I =-+)(,两边右乘1)(-+A I ,可得11)()(--+=+-A I A A I I ,左乘A ,整理得11)()(--+-=+A I AA A A I A ,则111)()()(---++≤+-=+A I A A A A I AA A A I A ,即 AA I A I -≤---1)(1.15.设C l k CB A nn ∈∈⨯,,,证明:(1)Al k klkA ee e )(+=,特别地A A e e --=1)(;(2)当BA AB =时,BA AB BA e e e e e +==;(3)A e Ae e dtd At At At==; (4)当BA AB =时,B A B A B A sin cos cos sin )sin(±=±. 证明:(1)∑∑∑∞==-∞=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=000)()()(!1!)(n n m m n m m n n n n Al k lA kA C n n A l k e∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=+++=+=-0000)()(!!)!()!(1)()()!(1m l l m m l lm m m l lA kA m l m l m l lA kA C m l l m nlA kA l l m m m l l m e e kA l kA m lA kA m l =⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=0000)(!1)(!1)()(!!1.又因为A A A A O e e e e I --+===)(,故A A e e --=1)(.(2)当BA AB =时,二项式公式∑===+nm mm n m n nB AC B A 0)(成立,故∑∑∑∞==-∞=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=000!1)(!1n n m m m n m n n nBA B A C n B A n e∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=+=+=-0000!!1)!(1m l m l m l ml m m l B A m l B A C m l l m nBA m m l l e eB m A l =⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∞=∞=00!1!1 同理,有A B l l m m BA e e A lB m e=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∞=∞=+00!1!1, 故B A A B B A e e e e e +==.(3)由于幂级数∑∞=0!1n nn tA n 对给定的矩阵A ,以及任意的t 都是绝对收敛的,且对任意的t 都是一致收敛的,因此科可对此幂级数逐项求导,则A l ll n n n n n n At Ae l t A A n t A t A n dt d e dt d ==-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∞=∞=-∞=0110!)!1(!1, 同理,有A e A l t A e dt d Al ll At =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∞=0! 故A e Ae e dtd At At At==. (4) 因为-+-++=432!41!31!21A iA A iA I e iA )!51!31()!41!21(5342 -+-+-+-=A A A i A A IA i A sin cos +=故)(21sin iA iAe e iA --=. 又当BA AB =时,B A A B B A e e e e e +==,则()()iB iA iBiA B A i B A i e e e e i e e i B A --+-+-=-=+2121)sin()()( )]sin )(cos sin (cos )sin )(cos sin [(cos 21B i B A i A B i B A i A i---++= B A B A sin cos cos sin += 同理,可得B A B A B A sin cos cos sin )sin(-=-16.求下列三类矩阵的矩阵函数2,sin ,cos A e A A(1)当A 为幂等矩阵(A A =2)时; (2)当A 为对合矩阵(I A =2)时; (3)当A 为幂零矩阵(O A =2)时.解:(1) A A =2,设矩阵A 的秩为r ,则A 的特征值为1或0, A 可对角化为J O O O I AP P r =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-1, 则11001sin 1sin sin sin --⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==P P JP P AA PJP )1(sin )1(sin 1==-,11111cos 1cos cos cos --⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==P P JP P A110011cos 11cos 1111--⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=P P P PA I PJP I )11(cos )11(cos 1-+=-+=-111122--⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==P e e P P Pe e J A1100111111--⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=P e e P P PA e I PJP e I )1()1(1-+=-+=-(2) 当I A =2时,矩阵A 也可对角化,A 的特征值为1或1-, A 可对角化为J AP P =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=-11111 ,其中1有m 个.则111sin 1sin 1sin 1sin sin sin --⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--==P P JP P AA PJP )1(sin )1(sin 1==-111cos 1cos 1cos 1cos cos cos --⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==P P JP P A I )1(cos =eI P e e e e P P Pe e J A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==--1122(3)当O A =2时, A 的特征值均为0,则存在可逆矩阵P ,使得11,--==PJP A J AP P ,其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=m J J J 1,又O A =2,则O P PJ A ==-122,于是O J J J m =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2212故Jordan 块k J 的阶数最多为2,不妨设0=k J ),,1(r k =,B J k =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0010),,1(m r k +=,即 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=B B J 0则1=k iJ e ,1=-k iJ e ),,1(r k =;⎥⎦⎤⎢⎣⎡=101i e k iJ ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-101i e k iJ ),,1(m r k +=.故=--k k iJ iJ e e 0),,1(r k =,B ii e e k k iJ iJ 210020=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--),,1(m r k +=, 则2=+-k k iJ iJ e e ),,1(r k =,I e e k k iJ iJ 22002=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+-),,1(m r k +=, 因此J iB B i e e iJiJ 210021=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-- ,Ie e iJiJ 22222=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+- , 所以A PJP i i P e e P i e e i A iJ iJ iA iA =⋅=-=-=----11)2(21)(21)(21sin , I PIP P e e P e e A iJ iJ iA iA =⋅=+=+=----11221)(21)(21cos ,I I e e O A ==2.17.若矩阵A 的特征值的实部全为负,则O e At t =+∞→lim .证明: 设A 的特征值为0,1,<-=+=i i i i a j j b a λ,则存在可逆矩阵P ,使得11,--==PJP A J AP P ,其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=m J J J 1,ini ii J ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλ11则1121--⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==P e e e P PPe et J tJ t J Jt Atm,其中⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=-t tt t t i n tt tJ e tete e e n t tee ei i 11111111)!1(λλλλλλλ又)sin (cos lim lim lim t b j t b e e e i i t a t t jb t a t t t i i i i +==∞→+∞→∞→λ,且0<i a ,故0lim =∞→tt i eλ,因此O e t J t i =∞→lim ,则O e At t =+∞→lim .18.计算Ate 和At sin ,其中:(1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110010002A ; (2)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=010101010A ; (3)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=6116100010A .解:(1)设,21=J ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11012J ,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21J JA . 由于⎥⎦⎤⎢⎣⎡=t J tAt e e e 22,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=t J t At 2sin 2sin sin , 且⎥⎦⎤⎢⎣⎡=t t t tJ e tee e02,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=t t t tt J sin cos 0sin sin 2, 则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=t tt tAte te e e e 000002,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=t t t t t At sin cos 00sin 0002sin sin .(2)该矩阵的特征多项式为,11101)(3λλλλλϕ=---=最小多项式为3)(λλ=m .19.计算下列矩阵函数:(1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=221131122A ,求100A ; (2)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=735946524A ,求Ae ;(3)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=4410A ,求4arcsin A; (4)⎥⎦⎤⎢⎣⎡=48816A ,求1)(-+A I 及21A 20.证明:I A A =+22cos sin ,A iI A e e =+π2,其中A 为任意方阵.证明:(1) 因为)(21sin iA iA e e i A --=,)(21cos iA iA e e A -+=,故)2(41)(41sin 2222I e e e e A iA iA iA iA -+-=--=--, )2(41)(41cos 2222I e e e e A iA iA iA iA ++=+=--,则I A A =+22cos sin .(2)因为矩阵iI π2的特征值均为i π2,故存在可逆矩阵P ,使得I P P P e e P e i i iI=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=--1122211 πππ则A A iI A iI A e I e e e e ===+ππ2221.若A 为反实对称(反Hermite )矩阵,则Ae 为实正交(酉)矩阵. 证明: 因为∑∞==0!k k A k A e ,又∑∑===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nk k n k k k A k A 0**0!)(!. 故**)(A A e e =.当A 为反实对称,即A A T-=时,I e e e e e e e O A A A A A T A T====-)(,故Ae 为实正交矩阵;当A 为反Hermite 矩阵,即A A -=*时,I e e e e e e e O A A A A A A ====-**)(,故Ae 为酉矩阵.22.若A 为Hermite 矩阵,则Aie 是酉矩阵,并说明当1=n 时此结论的意义. 证明:因为A A =*,故Ai Ai Ai e e e -==*)(*)(,则I e e e e Ai Ai Ai Ai ==-*)(,故Aie 是酉矩阵.当A 为一阶Hermite 矩阵时, A 为一实数,设a A =,则上述命题为1=-aiaie e23.将下列矩阵函数表示成矩阵幂级数,并说明对A 的限制: (1)shA ,(2))ln(A I +,(3)A arctan解:(1) ∑∞=++=012)!12(1n n A n shA , n n C A ⨯∈∀; (2) ∑∞=--=+111)1(4)ln(n nn A nA I ,1<A ; (3) ∑∞=++-=112121)1(arctan n n nA n A ,1<A . 24.设nn C A ⨯∈,证明:(1))(A tr Ae e=,(2)AAe e ≤.证明:(1)设11,--==PJP A J AP P ,其中J 为若当标准形,则1121--⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==P e e e P PPe e m J J J J A,其中⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=111111λλλe e e e iJ, 则mJ J J JJAe e e e Pe P e211===-trA J J J e e e e e n m ===++λλ 121.(2)设∑==Nk kN k A S 0!,则 ∑∑∑===≤≤=Nk kN k k Nk k NA k A k k A S 000!1!1!, 因为∑∞==!k kAk A e ,对上式两边取极限,得 Ak kAeA k e≤≤∑∞=0!1.25.设nn CA ⨯∈,且A 可逆,若λ是A 的任一特征值,则2211A A ≤≤-λ.证明:因为2)(A A =≤ρλ,故2A ≤λ.又对任意的nC X ∈,有2212122AX A AX A IXX--≤==,所以2212AX AX ≤-.设α是矩阵A 的特征值λ对应的特征向量,即λαα=A ,则222212αλλααα==≤-A A,故有λ≤-211A .因此2211A A ≤≤-λ.。

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