均值不等式
一、 知识点：
二、习题讲解：
例1：（1）求y =x +1x (x >0)的最小值
（2）求y =x +1x (x ≥2)的最小值
（3）已知2>x ，求21-+
=x x y 的最小值
变式训练：
1. 已知0>x ，求x x y 42-
-=的最大值
2.当1->x 时，求()11++
=x x x f 的最小值
3.已知45<
x ，求函数54124-+-=x x y 的最大值
4.已知R c b a ∈、、，求证：ac bc ab c b a ++≥++222
5.
423(0)y x x x =-->的最大值是2- 6. 12,33
y
x x x =+>- 7.12sin ,(0,)sin y x x x
π=+∈
例2：（1）已知210<
<x ，求()x x y 212
1-=的最大值
（2）已知：a 、b 都是正数，且1a b +=，1a a α=+，1b b β=+，求αβ+的最小值
变式训练：
1.已知310<
<x ，求函数()x x y 31-=的最大值
2.当
时，求(82)y x x =-的最大值。

3.设230<
<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。

4.已知01x <<
，求函数y =
.；
5.
203x <<
，求函数y =
6.若21x y +=，则24x y +的最小值是______
7.已知,x y R +∈，且满足
134
x y +=，则xy 的最大值为 ________。

例3：求函数()11
332->+++=x x x x y 的最小值
变式训练： 1.
231,(0)x x y x x ++=>
2.设⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈2,0πx ，则函数x x y 2sin 1sin 22+=的最小值为
3. 已知2
5≥x ，则()42542-+-=x x x x f 的最小值
4.
2y =
的最小值是
5.
求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。

6.
求函数2y =
的值域。

7.设z y x ,,为正实数，且满足032=+-z y x ，则xz y 2
的最小值
例4：已知+∈R c b a ,,，且1=++c b a ，求证：
9111≥++c b a
变式训练：
1.已知2,0,0=+>>b a b a ，则b
a y 41+=
的最小值是
2.正数y x ,满足12=+y x ，求y x /1/1+的最小值。

3.设0,0.a b >>
若1133a b a b
+与的等比中项，则
的最小值为（ ）． A ．8 B ．4 C ． 1 D ． 14 4.已知0,0x y >>，且
191x y +=，求x y +的最小值。

5.已知+∈R y x b a ,,,且1=+y b x a ，求y x +的最小值
例6：若0,0>>b a ，则ab C b a B b a A =+=+=,2,222,b
a D 112+=的大小顺序为：
1.若函数y x ,满足122=++xy y x ，则y x +的最大值是：
2.函数x x y 313-+=
的最大值是
3.若正数b a ,满足()1=+-b a ab ，则ab 的最小值为 综合练习： 已知+
∈R c b a ,,，求证：3≥-++-++-+c
c b a b b a c a a c b 已知+∈R c b a ,,，求证：c b a c ab b ac a bc ++≥++ 已知+
∈R c b a ,,，求证：c b a a c c b b a ++≥++2
22 判断下列命题: (1)22,,=•≥+∴
∈+b a a b b a a b R b a (2)y x y x R y x lg lg 2lg lg ,,•≥+∴∈+ (3)4424,0,=•≥+∴≠∈a a
a a a R a (4)22,0,,-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--=+∴<∈x y y x x y y x x y y x xy R y x。