专题15 点的轨迹、直线与圆、圆与圆的位置关系
一、知识点精讲
（一）点的轨迹
在几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形，它是符合某个条件的所有点组成的.例如，把长度为r的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就得到一个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于r；同时，到定点的距离等于r的所有点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于定长r 的点的轨迹.
我们把符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有两层意思：
（1）图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都满足条件；
（2）图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上.
下面，我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹.
从上面对圆的讨论，可以得出：
①到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆.
我们学过，线段垂直平分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线段两个端点的距离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上.所以有下面的轨迹：
②和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线.
由角平分线性质定理和它的逆定理，同样可以得到另一个轨迹：
③到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线.
（二）直线与圆、圆与圆的位置关系判定
(1)设有直线l和圆心为O且半径为r的圆，怎样判断直线l和圆O的位置关系？
如图：不难发现直线与圆的位置关系为：当圆心到直线的距离d r时，直线和圆相离，如圆O与直线1l；当圆心到直线的距离d r时，直线和圆相切，如圆O与直线2l；当圆心到直线的距离d r时，直线和圆
相交，如圆O 与直线3l .
在直线与圆相交时，设两个交点分别为A 、B .若直线经过圆心，则AB 为直径；若直线不经过圆心，如图，连结圆心O 和弦AB 的中点M 的线段OM 垂直于这条弦AB .且在Rt OMA 中，OA 为圆的半径r ，OM 为圆心到直线的距离d ，MA 为弦长AB 的一半，根据勾股定理，有2
2
2
(
)2
AB r
d
当直线与圆相切时，如图，,PA PB 为圆O 的切线，可得PA PB =，.OA PA ⊥，且在Rt POA 中，
222PO PA OA =+
PT 为圆O 的切线，PAB 为圆O 的割线，我们可以证得PAT PTB ，因而2PT PA PB =⋅.
(2)设圆1O 与圆2O 半径分别为,()R r R r ≥，它们可能有哪几种位置关系？
两圆的圆心距为12O O ，不难发现：当12O O R r =-时，两圆相内切，如图（1）；当12O O R r =+时，两圆相外切，如图（2）；当12O O R r <-时，两圆相内含，如图（3）；当12R r O O R r -≤≤+时，两圆相交，如图（4）；当12O O R r >+时，两圆相外切，如图（5）.
二、典例精析
【典例1】已知⊙O 的半径OB =5cm ，弦AB =6cm ，D 是AB 的中点，求弦BD 的长度。

【答案】见解析
【解析】连结OD ，交AB 于点E 。

,BD AD O =是圆心，1
,3.2
OD B BE AE AB cm ∴⊥==
= 在Rt BOE 中，OB =5cm,BE =3cm,224.OE OB BE cm ∴=-=
5,1.OD cm DE cm =∴=
在Rt BDE 中，BE =3cm,DE =1cm,10.BD cm ∴=
【典例2】已知圆的两条平行弦的长度分别为6和26，且这两条线的距离为3.求这个圆的半径. 【答案】见解析 【解析】
设圆的半径为r ，分两种情况：
（1）若O 在两条平行线的外侧， 如图（1），AB =6，CD =26， 则由3OM
ON
，得2
2
9
24
3r r ，解得5r
.
（2）若O 在两条平行线的内侧（含线上），AB =6，CD =26， 则由3OM
ON
，得2
2
9
24
3r r ，无解.
综合得，圆的半径为5.
【典例3】设圆1O 与圆2O 的半径分别为3和2，124O O =，,A B 为两圆的交点，试求两圆的公共弦AB 的长度.
【答案】见解析 【解析】
连AB 交12O O 于C ，则12O O AB ⊥，且C 为AB 的中点， 设AC x =，则22129,4,O C x O C x =-=
-2212944O O x x =--=，解得315
8
x =
. 故弦AB 的长为315
2x =.
三、对点精练
1. ⊙O 的半径为17cm ，弦AB =30cm ，AB 所对的劣弧和优弧的中点分别为D 、C ，求弦AC 和BD 的长。

【答案】见解析
【解析】
取AB中点M，连CM，MD，则,
CM AB DM AB
⊥⊥，且C，O，M，D共线，
22
17158,25,9,
OM CM DM
=-===534,334
AC cm BD cm
==
2. 已知四边形ABCD是⊙O的内接梯形，AB//CD，AB=8cm,CD=6cm, ⊙O的半径等于5cm，求梯形ABCD 的面积。

【答案】见解析
【解析】
B
O
A
D
D
B
O
C
A
D
O到AB，CD的距离分别为3cm,4cm，梯形的高为1cm或7cm，梯形的面积为7或492
cm.
3. ⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，1,5,60,o
AE cm EB cm DEB
==∠=求CD的长。

【答案】见解析 【解析】
半径为3cm ，OE =2cm.,OF =3,26CD cm .
4. 若两圆的半径分别为3和8，圆心距为13，试求两圆的公切线的长度. 【答案】见解析 【解析】
外公切线长为12，内公切线长为43. 5. 画图说明满足下列条件的点的轨迹： （1）到定点A 的距离等于3cm 的点的轨迹； （2）到直线l 的距离等于2cm 的点的轨迹；
（3）已知直线//AB CD ，到AB 、CD 的距离相等的点的轨迹. 【答案】见解析 【解析】。