高三数学分布列和期望
高考考纲透析：
等可能性的事件的概率,互斥事件有一个发生的概率,相互独立事件同时发生的概率,独立重复试验、离散型随机变量的分布列、期望和方差
高考风向标：
离散型随机变量的分布列、期望和方差 热点题型1 n 次独立重复试验的分布列和期望 [样题1] (2005年高考·全国卷II ·理19)
甲、乙两队进行一场排球比赛.根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛互间没有影响.令ξ为本场比赛的局数,求ξ的概率分布和数学期望.（精确到0.0001）
本题考查离散型随机变量分布和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力.解：单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为1－0.6＝0.4
比赛3局结束有两种情况：甲队胜3局或乙队胜3局，因而P （ξ＝3）＝3
3
0.60.40.28+=
比赛4局结束有两种情况：前3局中甲队胜2局，第4局甲队胜；或前3局中乙队胜2局，第4局乙队胜.因而
P （ξ＝4）＝2230.60.40.6C ⨯⨯⨯＋2230.40.60.40.3744C ⨯⨯⨯=
比赛5局结束有两种情况：前4局中甲队胜2局、乙队胜2局，第5局甲胜或乙胜.因而
P （ξ＝5）＝22240.60.40.6C ⨯⨯⨯＋22240.40.60.40.3456C ⨯⨯⨯=
所以ξ的概率分布为
ξ
3 4 5
P
0.28 0.3744 0.3456
ξ
的期望
E ξ
＝3×P （ξ＝3）＋4×P （ξ＝4）＋5×P （ξ＝5）＝4.0656 变式新题型1.(2005年高考·浙江卷·理19)袋子A 中装有若干个均匀的红球和白球，从A 中摸出一个红
球的概率是31
．
(Ⅰ) 从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸5次，求恰好有3次摸到红球的概率． (Ⅱ) 从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．
(i) 求恰好摸5次停止的概率；
(ii )记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．
解：(Ⅰ)
33
35
12140333243C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (Ⅱ)（i ）
22
24121833381C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (ii)随机变量ξ的取值为0，1，2，3，；
由n 次独立重复试验概率公式
()()
1n k
k k
n n P k C p p -=-，得
()5
0513*******P C ξ⎛⎫==⨯-=
⎪⎝⎭； ()4
1511801133243P C ξ⎛⎫==⨯⨯-=
⎪⎝⎭ ()2
32511802133243P C ξ⎛⎫⎛⎫
==⨯⨯-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()3
2
3511173133243P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（或
()328021731243243P ξ+⨯==-=
） 随机变量ξ的分布列是
ξ
0 1 2 3
P
32243 80243 80243 17
243
ξ的数学期望是
32808017131012324324324324381E ξ=
⨯+⨯+⨯+⨯=
热点题型2 随机变量ξ的取值范围及分布列
[样题2]在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券
3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张券中任抽2张，求： （Ⅰ）该顾客中奖的概率；
（Ⅱ）该顾客获得的奖品总价值ξ（元）的概率分布列和期望ξE . 解法一：
（Ⅰ）
3245151210
2
6=
-=-=C C I P ，即该顾客中奖的概率为32. （Ⅱ）ξ的所有可能值为：0，10，20，50，60（元）.
.151
)60(,152
)50(,151)20(,52
)10(,31)0(2
10
1
3112
101
611210232
101
61321026===============C C C P C C C P C C P C C C P C C P ξξξξξ且
故ξ有分布列：
从而期望.
16151
6015250151205210310=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE
解法二：
（Ⅰ）
,324530)(2
102
41614==+=C C C C P （Ⅱ）ξ的分布列求法同解法一
由于10张券总价值为80元，即每张的平均奖品价值为8元，从而抽2张的平均奖品价值ξE =2×
ξ 0
10
20
50
60
P
31
52 151 152 15
1
8=16（元）.
变式新题型2.假设一种机器在一个工作日内发生故障的概率为0 2，若一周5个工作日内无故障，可
获利润10万元；仅有一个工作日发生故障可获利润5万元；仅有两个工作日发生故障不获利也不亏损；有三个或三个以上工作日发生故障就要亏损2万元 求：
（Ⅰ）一周5个工作日内恰有两个工作日发生故障的概率（保留两位有效数字）； （Ⅱ）一周5个工作日内利润的期望（保留两位有效数字）
解：以ξ表示一周5个工作日内机器发生故障的天数，则ξ~B （5，0 2）
).
5,4,3,2,1,0(8.02.0)(55=⨯⨯==-k C k P k k k ξ
（Ⅰ）
.
21.08.02.0)2(3225≈⨯⨯==C P ξ
（Ⅱ）以η表示利润，则η的所有可能取值为10，5，0，－2
.328.08.0)0()10(5
≈====ξηP P .
410.08.02.0)1()5(4115≈⨯⨯====C P P ξη
.
205.08.02.0)2()0(3225≈⨯⨯====C P P ξη
.057.0)2()1()0(1)3()2(≈=-===-=≥=-=ξξξξηP P P P P η∴的概率分布为
∴利润的期望=10×0 328+5×0 410+0×0 205－2×0 057≈5 2（万元）
[样题3] (2005年高考·江西卷·理19)
A 、
B 两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A 赢得B 一张卡片，否则B 赢得A 一张卡片.规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止.设
ξ表示游戏终止时掷硬币的次数.
（1）求ξ的取值范围； （2）求ξ的数学期望E ξ.
解：（1）设正面出现的次数为m ，反面出现的次数为n ，则⎪⎩⎪
⎨⎧≤≤=+=-9
15||ξξn m n m ，可得：
.
9,7,5:;9,7,22,7;7,6,11,6;5,5,00,5的所有可能取值为所以时或当时或当时或当ξξξξ===============n m n m n m n m n m n m
（2）
;
645)21(2
)7(
;161322)21(2)5(7
155=====⨯==C P P ξξ .
32275
6455964571615;64556451611)9(=⨯+⨯+⨯==--
==ξξE P 变式新题型3.某射手进行射击练习，每射击5发子弹算一组，一旦命中就停止射击，并进行下一组
练习，否则一直打完5发子弹后才能进入下一组练习．若该射手在某组练习中射击命中一次，并且他射击
一次命中率为0．8，（1）求在这一组练习中耗用子弹ξ的分布列．（2）求在完成连续两组练习后，恰好共耗用了4发子弹的概率.
分析：该组练习耗用的子弹数ξ为随机变量，ξ可取值为1，2，3，4，5ξ＝1，表示第一发击中(练习停止)，故P (ξ＝1)＝0．8
ξ＝2，表示第一发未中，第二发命中，故P (ξ＝2)＝(1－0．8)×0．8＝0．16ξ＝3，表示第一、二发未中，第三发命中，故P (ξ＝3)＝(1－0．8)2×0．8＝0．032以下类推
解：（1）ξ的分布列为
ξ
1 2 3 4 5
P
0．8
0．16
0．032
0．0064 0．0016
补充备例：有n 把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能把大门上的锁打开．用它们去试开门上的锁．设抽取钥匙是相互独立且等可能的．每把钥匙试开后不能放回．求试开次数 的数学期望和方差． 分析：求 时，由题知前
次没打开，恰第k 次打开．不过，一般我们应从
简单的地方入手，如
，发现规律后，推广到一般．
解： 的可能取值为1，2，3，…，n ．
；所以的分布列为：
1 2 …k…n
……
；
说明：复杂问题的简化处理，即从个数较小的看起，找出规律所在，进而推广到一般，方差的公式正确使用后，涉及一个数列求和问题，合理拆项，转化成熟悉的公式，是解决的关键．。