第九章 定积分 6 可积性理论补叙一、上和与下和的性质性质1：对同一分割T ，相对于任何点集{ξi }而言，上和是所有积分和的上确界，下和是所有积分和的下确界.即 S(T)=∑=∆∈n 1i i x )f(ξsup i △x i , s(T)=∑=∆∈n1i i x )f(ξinf i△x i . 证：由s(T)≤∑=n1i i )f(ξ△x i ≤S(T)，可知相对于任何点集{ξi }，上和与下和分别是全体积分和的上界与下界. 任给ε>0，在各个△i 上有上确界M i ，可选取点ξi ∈△i ，使f(ξi )>M i -a-b ε. ∴∑=n1i i )f(ξ△x i >∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛n1i i a -b ε-M △x i =∑=n1i i M △x i -∑=n 1i i x △a -b ε=S(T)-ε. ∴S(T)=∑=∆∈n1i i x )f(ξsup i △x i . 同理可证：s(T)=∑=∆∈n1i i x )f(ξinf i△x i .性质2：设T ’为分割T 添加p 个新分点后所得到的分割，则有 S(T)≥S(T ’)≥S(T)-(M-m)p T ；s(T)≤s(T ’)≤s(T)+(M-m)p T . 即增加分点后，上和不增，下和不减.证：将p 个新分点同时添加到T ，与逐个添加到T ，得到同样的T ’. 可先取p=1，则新分点将某小区间△k 分成两个小区间△k ’与△k ”. ∴S(T)-S(T 1)=M k △x k -(M ’k △x ’k +M ”k △x ”k )=M k (△x ’k +△x ”k )-(M ’k △x ’k +M ”k △x ”k )=(M k -M ’k )△x ’k +(M k -M ”k )△x ”k . ∵m ≤M ’k (或M ”k )≤M k ≤M ，∴0≤S(T)-S(T 1)≤(M-m)△x ’k +(M-m)△x ”k =(M-m)△x k ≤(M-m)T . 依次对T i 增加一个分点得到T i+1，可得0≤S(T i )-S(T i+1)≤(M-m)i T ≤(M-m)0T , i=0,1,2,…, p-1，T 0=T ，T p =T ’. 将这些不等式依次相加，可得：0≤S(T)-S(T ’)≤(M-m)p T ，即 S(T)≥S(T ’)≥S(T)-(M-m)p T . 同理可证：s(T)≤s(T ’)≤s(T)+(M-m)p T .性质3：若T ’与T ”为任意两个分割，T=T ’+T ”表示把T ’与T ”的所有分点合并而得的分割，则. S(T)≤S(T ’), s(T)≥s(T ’)；S(T)≤S(T ”), s(T)≥s(T ”). 证：将T 看作T ’或T ”添加新分点后得到的分割，由性质2可知.性质4：对任意两个分割T ’与T ”，总有s(T ’)≤S(T ”). 证：令T=T ’+T ”，则有s(T ’)≤s(T)≤S(T)≤S(T ”).注：由性质4可知，对[a,b]上的所有分割来说，所有下和有上界，所有上和有下界，且分别有上确界与下确界，记作S=Tinf S(T), s=Tsup s(T).通常称S 为f 在[a,b]上的上积分，s 为f 在[a,b]上的下积分.性质5：m(b-a)≤s ≤S ≤M(b-a).性质6：(达布定理)上、下积分也是上和与下和在T →0时的极限，即0T lim →S(T)=S ，0T lim →s(T)=s. 证：任给ε>0，由S 的定义，必存在某一分割T ’使得S(T ’)<S+2ε.设T ’由p 个分点所构成，则对另一分割T ，T+T ’至多比T 多p 个分点， ∴S(T)-(M-m)p T ≤S(T+T ’)≤S(T ’)，即S(T)≤S(T ’)+(M-m)p T . 只要取T <m)p -2(M ε，就有S(T)<S(T ’)+2ε≤S+ε，即S-ε<S ≤S(T)<S+ε，∴0T lim →S(T)=S. 同理可证：0T lim →s(T)=s.二、可积的充要条件定理：(可积的第一充要条件)函数f 在[a,b]上可积的充要条件是：f 在[a,b]上的上积分与下积分相等，即S=s.证：[必要性]设f 在[a,b]上可积，J=⎰ba f(x )dx. 由定积分的定义知， 任给ε>0，存在δ>0，只要T <δ，就有|∑=n1i f (ξi )△x i -J|<ε.又S(T)与s(T)分别为积分和关于点集{ξi }的上、下确界，∴当T <δ时， 有|S(T)-J|≤ε，|s(T)-J|≤ε，即当T →0时，S(T)与s(T)都以J 为极限. 根据达布定理知，S=s=J.[充分性]设S=s=J ，由达布定理有：0T lim →S(T)=0T lim →s(T)=J. 任给ε>0， 存在δ>0，只要T <δ，就有：J-ε<s(T)≤∑=n1i i )f(ξ△x i ≤S(T)<J+ε，∴∑=→n1i 0T f lim (ξi )△x i =J ，即f 在[a,b]上可积，且⎰ba f(x )dx=J.定理：(可积的第二充要条件)函数f 在[a,b]上可积的充要条件是：任给ε>0，总存在某一分割T ，使得S(T)-s(T)<ε, 即i n1i i x △ω∑=<ε.证：[必要性]设f 在[a,b]上可积，则有0T lim →[S(T)-s(T)]=0，即任给ε>0，只要T 足够小，则有S(T)-s(T)<ε.[充分性]由s(T)≤s ≤S ≤S(T)，有0≤S-s ≤S(T)-s(T)<ε. 由ε的任意性，必有S=s ，∴f 在[a,b]上可积.定理：(可积的第三充要条件)函数f 在[a,b]上可积的充要条件是：任给正数ε, η，总存在某一分割T ，使得属于T 的所有小区间中，对应于振幅ωk ’≥ε的那些小区间△k ’的总长∑''k k x △<η.证：[必要性]设f 在[a,b]上可积，则对于εη>0，存在某一分割T ，使∑kk kx △ω<εη. ∴ε∑''k k x △≤∑'''k k k x △ω≤∑kk k x △ω<εη，∴∑''k k x △<η.[充分性]任给ε’>0，取ε=a)-2(b ε'>0，η=m)-2(M ε'>0. 设某分割T 中，ωk ’≥ε的那些△k ’的总长∑''k k x △<η，其余那些小区间为△k ”，则有∑kk kx △ω=∑'''k k k x △ω+∑''''''k k k x △ω<(M-m)∑''k k x △+ ε∑''''k k x △≤(M-m) η+ε(b-a)=2ε'+2ε'=ε’. ∴f 在[a,b]上可积.例1：利用求可积的第三充要条件证明黎曼函数在[0,1]上可积，且定积分等于0.证：已知黎曼函数为：f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=>=.)1,0(0,1x 0 p.q ，q p, ，qp x q 1内的无理数以及互素，，任给正数ε, η， ∵满足q 1≥ε, 即q ≤ε1的有理点qp 只有有限个, 设为K 个， ∴含这类点的小区间至多有2K 个，在其上ωk ’≥ε.当T <2K η时，就有∑''k k x △≤2K T <η，∴f 在[0,1]上可积. 又m i =ix inf ∆∈f(x)=0, i=1,2,…,n ，∴s(T)=0，∴⎰10f(x )dx=s=0.例2：证明：若f 在[a,b]上连续，φ在[α,β]上可积，a ≤φ(t)≤b, t ∈[α,β]，则f ◦φ在[α,β]上可积.证：任给正数ε, η，∵f 在[a,b]上一致连续，∵存在δ>0，使 当x ’,x ”∈[a,b]且|x ’-x ”|<δ时，|f(x ’)-f(x ”)|<η.又∵φ在[α,β]上可积，∴存在某分割T ，使得T 所属的小区间中 满足ωk ’≥δ的所有△k ’的总长∑''k k t △<ε，而其余小区间△k ”上ωk ’<δ.设F(t)=f(φ(t)), t ∈[α,β]，则在T 中的小区间△k ”上ωF k ”<η， 至多在所有△k ’上ωF k ’≥η，而这些小区间的总长至多为∑''k k t △<ε.∴f ◦φ在[α,β]上可积.习题1、证明性质2中关于下和的不等式：s(T)≤s(T ’)≤s(T)+(M-m)p T . 证：先取p=1，则新分点将某小区间△k 分成两个小区间△k ’与△k ”. ∴s(T 1)-s(T)=m ’k △x ’k +m ”k △x ”k -m k △x k=m ’k △x ’k +m ”k △x ”k -m k (△x ’k +△x ”k )=(m ’k -m k )△x ’k +(m ”k -m k )△x ”k . ∵m ≤m k ≤m ’k (或m ”k )≤M ，∴0≤s(T 1)-s(T)≤(M-m)△x ’k +(M-m)△x ”k =(M-m)△x k ≤(M-m)T . 依次对T i 增加一个分点得到T i+1，可得0≤s(T i+1)-s(T i )≤(M-m)i T ≤(M-m)0T , i=0,1,2,…, p-1，T 0=T ，T p =T ’. 将这些不等式依次相加，可得：0≤s(T ’)-s(T)≤(M-m)p T ，即 s(T)≤s(T ’)≤s(T)+(M-m)p T .2、证明性质6中关于下和的极限式：0T lim →s(T)=s. 证：任给ε>0，由s 的定义，必存在某一分割T ’使得s(T ’)>s-2ε. 设T ’由p 个分点所构成，则对另一分割T ，T+T ’至多比T 多p 个分点， ∴s(T)+(M-m)p T ≥s(T+T ’)≥s(T ’)，即s(T)≥s(T ’)-(M-m)p T . 只要取T <m)p -2(M ε，就有s(T)≥s(T ’)-2ε>s-ε，即s-ε<s(T)≤s<s+ε，∴0T lim →s(T)=s.3、设f(x)=⎩⎨⎧.x 0.x x 为无理数为有理数，，试求f 在[0,1]上的上积分和下积分；并由此判断f 在[0,1]上是否可积.解：对于[0,1]的任一分割T ，由有理数和无理数在实数中的稠密性知： 在任一小区间△i 上，M i ≠0，m i =0，记f(ξi )=M i (ξi 为有理数)，则 S(T)=i n 1i i x △)f(ξ∑=，s=s(T)=0；又S=0T lim →S(T)=i n1i i 0T x △)f(ξlim ∑=→=⎰10x dx=21； ∵S ≠s ，∴f 在[0,1]上不可积.4、设f 在[a,b]上可积，且f(x)≥0, x ∈[a,b]. 试问f 在[a,b]上是否可积为什么解：f 在[a,b]上可积。