相似三角形精选好题解答题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题（本大题共25小题，共200.0分）1.如图，在△AAA中，AA=AA=20AA，AA=30AA，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿着CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x秒．2.(1)A为何值时，AA//AA；3.(2)是否存在某一时刻，使△AAA∽△AAA？若存在，求出此时AP的长；若不存在，请说明理由；4.(3)当A△AAAA△AAA =13时，求A△AAAA△AAA的值．5.6.7.8.9.10.11.12.如图，△AAA中，AA=AA，AA⊥AA于A，A是BC中点，连接AD与BE交于点F，求证：△AAA∽△AAA．13.14.15.16.…17.如图，已知四边形ABCD中，∠AAA=90°，∠AAA=90°，AA=6，AA=4，AA的延长线与AD的延长线交于点E．18.(1)若∠A=60°，求BC的长；19.(2)若sin A=45，求AD的长．20.(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)21.22.23.24.25.26.27.28. 如图，在△AAA 中，点D 在BC 边上，∠AAA =∠A .点E 在AD 边上，AA =AA ．29. (1)求证：△AAA ∽△AAA ；30. (2)若AA =6，AA =92，AA =2，求AE 的长．31.32.33. 如图，在四边形ABCD 中，AA //AA，AA =2AA，AA=2，AA =5，AA //AA ，交BC 于点F ，连接AF ．34. (1)求CF 的长；35. (2)若∠AAA =∠AAA ，求AB 的长．36. 如图，在锐角三角形ABC 中，点A，A 分别在边AA，AA上，AA ⊥AA 于点A，AA ⊥AA 于点A，∠AAA =∠AAA ．37. (1)求证：△AAA ∽△AAA ；38. (2)若AA =3，AA =5，求AAAA 的值．~39.如图，在AA△AAA中，∠A=90°，点D是BC．边的中点，AA=2，tan A=3440.(1)求AD和AB的长；41.(2)求sin∠AAA的值．42.43.44.45.46.从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．47.(1)如图1，在△AAA中，CD为角平分线，∠A=40°，∠A=60°，求证：CD为△AAA的完美分割线．48.(2)在△AAA中，∠A=48°，AA是△AAA的完美分割线，且△AAA为等腰三角形，求∠AAA的度数．49.(3)如图2，△AAA中，AA=2，AA=√2，AA是△AAA的完美分割线，且△AAA是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．50.51.如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°(点A，A，A在同一水平直线上)，已知AA=80A，AA=10A，求障碍物A，A两点间的距离(结果精确到0.1A)(参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732)52.53.54.`55.如图是将一正方体货物沿坡面AB装进汽车货厢的平面示意图.已知长方体货厢的高，现把图中的货物继续往前平移，当货物顶点D与C重合度BC为√5米，tan A=13时，仍可把货物放平装进货厢，求BD的长.(结果保留根号)56.如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°.沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：√3，AB=10米，AE=15米.(i=1：√3是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比)57.(1)求点B距水平面AE的高度BH；58.(2)求广告牌CD的高度．59.(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米.参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732)60.61.62.63.64.65.66.67.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=16cm，BC=8cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动；动点Q同时从点B出发，沿BC方向运动，如果点P的运动速度为4cm/s，Q点的运动速度为2cm/s，那么运动几秒时，△ABC和△PCQ相似？68.69.70.71.72.73.74.75.如图所示，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点P从点B出发，沿BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CA向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，过多少时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似？76.77.78.79.80.81.82.83.如图，小明在教学楼A处分别观测对面实验楼CD底部的俯角为45°，顶部的仰角为37°，已知教学楼和实验楼在同一平面上，观测点距地面的垂直高度AB为15m，求实验楼的垂直高度即CD长(精确到1m)84.参考值：sin37°=0.60，cos37°=0.80，tan37°=0.75．85.}86.如图，某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼AB的高度，由于教学楼底部不能直接到达，故兴趣小组在平地上选择一点C，用测角器测得主教学楼顶端A的仰角为30°，再向主教学楼的方向前进24米，到达点E处(C，E，B三点在同一直线上)，又测得主教学楼顶端A的仰角为60°，已知测角器CD的高度为1.6米，请计算主教学楼AB的高度.(√3≈1.73，结果精确到0.1米)87.已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE=60°．88.(1)求证：△ABD∽△DCE；，求DC的长．89.(2)如果AB=3，EC=2390.91.92.93.如图，CD是一高为4米的平台，AB是与CD底部相平的一棵树，在平台顶C点测得树顶A点的仰角α=30°，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E，在点E处测得树顶A点的仰角β= 60°，求树高AB(结果保留根号)94.95.96.#97.钓鱼岛自古就是中国的领土，中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测.一日，中国一艘海监船从A点沿正北方向巡航，其航线距钓鱼岛(设N、M为该岛的东西两端点)最近距离为15海里(即MC=15海里)，在A点测得岛屿的西端点M在点A的东北方向，航行4海里后到达B点，测得岛屿的东端点N在点B的北偏东57°方向(其中N、M、C在同一条直线上)，求钓鱼岛东西两端点MN之间的距离.(精确到0.1海里)参考数据：sin57°=0.84，cos57°=0.54，tan57°=1.54．98.99.100.101.102.103.104.105.探究证明：106.(1)如图1，矩形ABCD中，点M、N分别在边BC，CD上，AM⊥BN，求证：BNAM =BCAB．107.(2)如图2，矩形ABCD中，点M在边BC上，EF⊥AM，EF分别交AB，CD于点E、点F，试猜想EFAM 与BCAB有什么数量关系？并证明你的猜想．108.拓展应用：综合(1)、(2)的结论解决以下问题：109.(3)如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求DNAM的值．110.111.如图，在某次数学活动课中，小明为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼CD上的E处测得旗杆底端B的仰角∠BEF的度数为45°，测得旗杆顶端A的仰角∠AEF的度数为17°，旗杆底部B处与教学楼底部C处的水平距离BC为9m，求旗杆的高度(结果精确到0.1m)．112.【参考数据：sin17°=0.29，cos17°=0.96，tan17°=0.31】113.114.115.已知，如图，在四边形ABCD中，∠ADB=∠ACB，延长AD、BC相交于点E.求证：116.(1)△ACE∽△BDE；117.(2)BE?DC=AB?DE．118.119.120.…121.如图，在△ABC中，点D为BC边的任意一点，以点D为顶点的∠EDF的两边分别与边AB，AC交于点E、F，且∠EDF与∠A互补．122.(1)如图1，若AB=AC，D为BC的中点时，则线段DE与DF有何数量关系？请直接写出结论；123.(2)如图2，若AB=kAC，D为BC的中点时，那么(1)中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出DE与DF的关系并说明理由；124.(3)如图3，若ABAC =a，且BDCD=b，直接写出DEDF=______ ．125.126.放风筝是大家喜爱的一种运动，星期天的上午小明在市政府广场上放风筝.如图，他在A处不小心让风筝挂在了一棵树梢上，风筝固定在了D处，此时风筝AD与水平线的夹角为30°，为了便于观察，小明迅速向前边移动，收线到达了离A处10米的B处，此时风筝线BD与水平线的夹角为45°.已知点A，B，C在同一条水平直线上，请你求出小明此时所收回的风筝线的长度是多少米？(风筝线AD，BD均为线段，√2≈1.414，√3≈1.732，最后结果精确到1米)．127.禁渔期间，我渔政船在A处发现正北方向B处有一艘可以船只，测得A、B两处距离为200海里，可疑船只正沿南偏东45°方向航行，我渔政船迅速沿北偏东30°方向前去拦截，经历4小时刚好在C处将可疑船只拦截.求该可疑船只航行的平均速度(结果保留根号)．128.129.130.131.132.133.（134.某市开展一项自行车旅游活动，线路需经A、B、C、D四地，如图，其中A、B、C三地在同一直线上，D地在A地北偏东30°方向，在C地北偏西45°方向，C地在A地北偏东75°方向.且BC=CD=20km，问沿上述线路从A地到D地的路程大约是多少？(最后结果保留整数，参考数据：sin15°≈0.25，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，√2≈1.4，√3≈1.7)135.136.137.138.139.140.答案和解析【答案】1. 解：(1)由题意知?AP=4x，CQ=3x若PQ//BC?? 则△APQ∽△ABC，AP AB =AQAC，∵AB=BC=20，AC=30，∴AQ=30?3x，∴4x20=30?3x30，∴x=103，∴当x=103时，PQ//BC．(2)存在∵△APQ∽△CQB?则APCQ =AQCB，∴4x3x =30?3x20，∴9x2?10x=0，∴x1=0(舍去)．x2=109．∴当AP的长为109时，△APQ∽△CQB，(3)∵S△BCQS△ABC =13，∴CQAC =13，又∵AC=30，∴CQ=10，即3x=10x=103，此时，AP=4x=403，∴APAB =40320=23．∴S△APQS△ABQ =APAB=23．??2. 证明：∵AB=AC，D是BC中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠FAE+∠AFE=90°，∵BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∴∠CBE+∠BFD=90°，∵∠AFE=∠BFD，∴∠FAE=∠CBE，∴△AFE∽△BCE．??3. 解：(1)∵∠A=60°，∠ABE=90°，AB=6，tanA=BEAB，∴∠E=30°，BE=tan60°?6=6√3，又∵∠CDE=90°，CD=4，sinE=CDCE，∠E=30°，∴CE=412=8，∴BC=BE?CE=6√3?8；(2))∵∠ABE=90°，AB=6，sinA=45=BEAE，∴设BE=4x，则AE=5x，得AB=3x，∴3x=6，得x=2，∴BE=8，AE=10，∴tanE=ABBE =68=CDDE=4DE，解得，DE=163，∴AD=AE?DE=10?163=143，即AD的长是143．??4. (1)证明：∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．∴∠ADB=∠CEA．∵∠DAC=∠B，∴△ABD∽△CAE．(2)解：由(1)△ABD∽△CAE，∴ABAC =BDAE．∵AB=6，AC=92，BD=2，∴AE=32．??5. 解：(1)作AG//CD交BC于点G，∵AD//BC，∴四边形AGCD是平行四边形，∴GC=AD，∵AD=2，∴GC=2，∵BC=5，∴BG=BC?GC=5?2=3，∵EF//DC，AG//CD，∴EF//AG，∴FGBF =AEEB，∴FGBG =AEAB，∵AE=2EB，∴AEAB =23，∴FGBG =23，∵BG=3，∴FG=2，∴CF=FG+GC=2+2=4；(2)∵∠BFE=∠FAB，∠B=∠B，∴△BFE∽△BAF，∴BEBF =BFAB，∴AB?BE=BF2，∴AB?13AB=BF2，∵BF=BC?FG=5?4=1，∴AB=√3．??（6. 解：(1)∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE=∠AGC=90°，∵∠EAF=∠GAC，∴∠AED=∠ACB，∵∠EAD=∠BAC，∴△ADE∽△ABC，(2)由(1)可知：△ADE∽△ABC，∴ADAB =AEAC=35由(1)可知：∠AFE=∠AGC=90°，∴∠EAF=∠GAC，∴△EAF∽△CAG，∴AFAG =AEAC，∴AFAG =35??7. 解：(1)∵D是BC的中点，CD=2，∴BD=DC=2，BC=4，在Rt△ACB中，由?tanB=ACCB =34，∴AC4=34，∴AC=3，由勾股定理得：AD=√AC2+CD2=√32+22=√13，AB=√AC2+BC2=√32+42=5；(2)过点D作DE⊥AB于E，∴∠C=∠DEB=90°，又∠B=∠B，∴△DEB∽△ACB，∴DEAC =DBAB，∴DE3=25，∴DE=65，∴sin∠BAD=DEAD =65√13=6√1365．??8. 解：(1)如图1中，∵∠A=40°，∠B=60°，∴∠ACB=80°，∴△ABC不是等腰三角形，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=12∠ACB=40°，∴∠ACD=∠A=40°，∴△ACD为等腰三角形，∵∠DCB=∠A=40°，∠CBD=∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD是△ABC的完美分割线．(2)①当AD=CD时，如图2，∠ACD=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．②当AD=AC时，如图3中，∠ACD=∠ADC=180°?48°2= 66°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°．③当AC=CD时，如图4中，∠ADC=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∵∠ADC>∠BCD，矛盾，舍弃．∴∠ACB=96°或114°．(3)由已知AC=AD=2，∵△BCD∽△BAC，∴BCBA =BDBC，设BD=x，∴(√2)2=x(x+2)，∵x>0，∴x=√3?1，∵△BCD∽△BAC，∴CDAC =BDBC=√3?1√2，∴CD=√3?1√2×2=√6?√2．??9. 解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF 于点H．则DE=BF=CH=10m，在直角△ADF中，∵AF=80m?10m=70m，∠ADF= 45°，∴DF=AF=70m．在直角△CDE中，∵DE=10m，∠DCE=30°，∴CE=DEtan30°=10√33=10√3(m)，∴BC=BE?CE=70?10√3≈70?17.32≈52.7(m)．答：障碍物B，C两点间的距离约为52.7m．??10. 解：如图，点D与点C重合时，B′C=BD，∠B′CB=∠CBD=∠A，∵tanA=13，，∴设B′B=x，则B′C=3x，在Rt△B′CB中，B′B2+B′C2=BC2，即：x2+(3x)2=(√5)2，x=√22(负值舍去)，∴BD=B′C=3√22，??11. 解：(1)过B作BG⊥DE于G，Rt△ABH中，i=tan∠BAH=√3=√33，∴∠BAH=30°，∴BH=12AB=5；(2)∵BH⊥HE，GE⊥HE，BG⊥DE，∴四边形BHEG是矩形．∵由(1)得：BH=5，AH=5√3，∴BG=AH+AE=5√3+15，Rt△BGC中，∠CBG=45°，∴CG=BG=5√3+15．Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=15，∴DE=√3AE=15√3．∴CD=CG+GE?DE=5√3+15+5?15√3=20?10√3≈2.7m．答：宣传牌CD高约2.7米．??12. 解：设同时运动ts时两个三角形相似，当△PCQ∽△BCA，则PCBC =CQAC，4t8=8?2t16，t=0.8；当△PCQ∽△ACB，则CQBC =PCAC，8?2t8=4t16，t=2．答：同时运动0.8s或者2s时两个三角形相似．??13. 解：设经过y秒后，△CPQ∽△CBA，此时BP=2y，CQ=y．∵CP=BC?BP=8?2y，CB=8，CQ=y，CA=6．∵△CPQ∽△CBA，∴CPCB =CQCA，∴8?2y8=y6∴y=2.4设经过y秒后，△CPQ∽△CAB，此时BP=2y，CQ=y．∴CP=BC?BP=8?2y．∵△CPQ∽△CAB，∴CPCA=CQCB∴8?2y6=y8∴y=3211所以，经过2.4秒或者经过3211后两个三角形都相似??、14. 解：作AE⊥CD于E，∵AB=15m，∴DE=AB=15m，∵∠DAE=45°，∴AE=DE=15m，在Rt△ACE中，tan∠CAE=CEAE，则CE=AE?tan37°=15×0.75≈11cm，∴AB=CE+DE=11+15=26m．答：实验楼的垂直高度即CD长为26m．??15. 解：在Rt△AFG中，tan∠AFG=AGFG，∴FG=AGtan∠AFG =AG√3，在Rt△ACG中，tan∠ACG=AGCG，∴CG=AGtan∠ACG=√3AG．又∵CG?FG=24m，即√3AG?AG√3=24m，∴AG=12√3m，∴AB=12√3+1.6≈22.4m．??16. (1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=AC，∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，∠B=∠ADE=60°，∴∠BAD=∠CDE ∴△ABD∽△DCE；(2)解：由(1)证得△ABD∽△DCE，∴BDAB =CEDC，设CD=x，则BD=3?x，∴3?x3=23x，∴x=1或x=2，∴DC=1或DC=2．??17. 解：作CF⊥AB于点F，设AF=x米，在Rt△ACF中，tan∠ACF=AFCF，则CF=AFtan∠ACF =xtanα=xtan30°=√3x，在直角△ABE中，AB=x+BF=4+x(米)，在直角△ABF中，tan∠AEB=ABBE ，则BE=ABtan∠AEB=x+4tan60°=√33(x+4)米．∵CF?BE=DE，即√3x?√33(x+4)=3．解得：x=3√3+42，则AB=3√3+42+4=3√3+122(米)．答：树高AB是3√3+122米.??18. 解：在Rt△ACM中，tan∠CAM=tan45°=CMAC=1，∴AC=CM=15，∴BC=AC?AB=15?4=11．在Rt△BCN中，tan∠CBN=tan57°=CNBC=1.54．∴CN=1.54B?C=16.94．∴MN=16.94?15=1.94≈1.9海里．答：钓鱼岛东西两端点MN之间的距离约为1.9海里．??19. 解：(1)如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠C=90°∴∠NBA+∠NBC=90°，∵AM⊥BN，∴∠MAB+∠NBA=90°，∴∠NBC=∠MAB，∴△BCN∽△ABM，∴BNAM =BCAB．(2)结论：EFAM =BCAB．理由：如图2中，过点B作BG//EF交CD于G，∵四边形ABCD是矩形，∴AB//CD，∴四边形BEFG是平行四边形，∴BG=EF，∵EF⊥AM，∴BG⊥AM，∴∠GBA+∠MAB=90°，∵∠ABC=∠C=90°，∴∠GBC+∠GBA=90°，∴∠MAB=∠GBC，∴△GBC∽△MAB，∴BGAM =BCAB，∴EFAM =BCAB．(3)如图3中，过点D作平行于AB的直线交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，连接AC，则四边形ABSR是平行四边形．∵∠ABC=90°，∴四边形ABSR是矩形，∴∠R=∠S=90°，RS=AB=10，AR=BS，∵AM⊥DN，∴由(2)中结论可得：DNAM =BSAB，∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，∴△ACD≌△ACB，∠ADC=∠ABC=90°，∴∠SDC+∠RDA=90°，∵∠RAD+∠RDA=90°，∴∠RAD=∠SDC，∴△RAD∽△SDC，∴∴CDAD =SCRD，设SC=x，∴510=xRD，∴RD=2x，DS=10?2x，在Rt△CSD中，∵CD2=DS2+SC2，∴52=(10?2x)2+x2，∴x=3或5(舍弃)，∴BS=5+x=8，∴DNAM =BSAB=810=45．??20. 解：如图，由题意得EF=BC=9m，∠AEF=17°，∠BEF=45°，在Rt△BEF中，∵tan∠BEF=tan45°=BFEF，∴BF=EF=9m.???????????????????????????????????????????????????????????? 在Rt△AEF中，∵tan17°=AFEF，∴AF=9×0.31=2.79m．∴AB=AF+BF=11.79≈11.8m．答：旗杆AB的高度约为11.8m．??21. 证明：(1)∵∠ADB=∠ACB，∴∠BDE=∠ACE，∴△ACE∽△BDE；(2)∵△ACE∽△BDE，∴BEAE =EDEC，∵∠E=∠E，∴△ECD∽△EAB，∴AEEC =ABCD，∴BEED =ABCD，∴BE?DC=AB?DE．??：22. ba??23. 解：作DH⊥BC于H，设DH=x米．∵∠ACD=90°，∴在直角△ADH中，∠DAH=30°，AD=2DH=2x，AH=DH÷tan30°=√3x，在直角△BDH中，∠DBH=45°，BH=DH=x，BD=√2x，∵AH?BH=AB=10米，∴√3x?x=10，∴x=5(√3+1)，∴小明此时所收回的风筝的长度为：AD?BD=2x?√2x=(2?√2)×5(√3+1)≈(2?1.414)×5×(1.732+1)≈8米．答：小明此时所收回的风筝线的长度约是8米．??24. 解：过点C作CD⊥AB，垂足为点D，设BD=x海里，则AD=(200?x)海里，∵∠ABC=45°，∴BD=CD=x，∵∠BAC=30°，∴tan30°=CDAD，在Rt△ACD中，则CD=AD?tan30°=√33(200?x)，则x=√33(200?x)，解得，x=100√3?100，即BD=100√3?100，在Rt△BCD中，cos45°=BDBC，解得：BC=100√6?100√2，则(100√6?100√2)÷4=25(√6?√2)(海里/时)，则该可疑船只的航行速度约为25(√6?√2)海里/时．??25. 解：由题意可知∠DCA=180°?75°?45°=60°，∵BC=CD，∴△BCD是等边三角形．过点B作BE⊥AD，垂足为E，如图所示：由题意可知∠DAC=75°?30°=45°，∵△BCD是等边三角形，∴∠DBC=60°?BD=BC=CD=20km，∴∠ADB=∠DBC?∠DAC=15°，∴BE=sin15°BD≈0.25×20≈5m，∴AB=BEsin45°=5√22≈7m，∴AB+BC+CD≈7+20+20≈47m．答：从A地跑到D地的路程约为47m．??【解析】1. (1)当PQ//BC时，根据平行线分线段成比例定理，可得出关于AP，PQ，AB，AC的比例关系式，我们可根据P，Q的速度，用时间x表示出AP，AQ，然后根据得出的关系式求出x的值．(2)由△APQ∽△CQB?得出APCQ =AQCB，进一步代入求x的值；(3)当S△BCQS△ABC =13时得出CQ：AC=1：3，那么CQ=10cm，此时时间x正好是(1)的结果，那么此时PQ//BC，由此可根据平行这个特殊条件，得出三角形APQ和ABC的面积比，然后再根据三角形PBQ的面积=三角形ABC的面积?三角形APQ的面积?三角形BQC 的面积来得出答案即可．本题主要考查了相似三角形的判定和性质，根据三角形相似得出线段比或面积比是解题的关键．2. 根据等腰三角形的性质，由AB=AC，D是BC中点得到AD⊥BC，易得∠ADC=∠BEC=90°，再证明∠FAE=∠CBE，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似.也考查了等腰三角形的性质，证题的关键是挖掘题目的隐藏条件：对顶角相等．3. (1)要求BC的长，只要求出BE和CE的长即可，由题意可以得到BE和CE的长，本题得以解决；(2)要求AD的长，只要求出AE和DE的长即可，根据题意可以得到AE、DE的长，本题得以解决．本题考查解直角三角形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数进行解答．|4. (1)由CE=CD，推出∠CDE=∠CED，推出∠ADB=∠CEA，由∠DAC=∠B，即可证明．(2)由(1)△ABD∽△CAE，得到ABAC =BDAE，把AB=6，AC=92，BD=2，代入计算即可解决问题．本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，三角形的外角的性质等知识，就提到过房间数灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5. (1)作AG//CD交BC于点G，根据平行四边形的性质可知CG=AD=2，由EF//AG，AE=2EB，利用平行线分线段成比例定理可求出FG=2，CF=FG+GC即可求出结果；(2)先证明△BFE∽△BAF，得到BEBF =BFAB，由BE=13AB和BF=1可求出AB．本题主要考查了梯形的性质、平行四边形的判定与性质、平行线分线段成比例定理以及相似三角形的判定与性质，作AG//CD交BC于点G，构造平行四边形和相似三角形是解决问题的关键．6. (1)由于AG⊥BC，AF⊥DE，所以∠AFE=∠AGC=90°，从而可证明∠AED=∠ACB，进而可证明△ADE∽△ABC；(2)△ADE∽△ABC，ADAB =AEAC，又易证△EAF∽△CAG，所以AFAG=AEAC，从而可知AFAG=ADAB．本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定，本题属于中等题型．7. (1)由中点定义求BC=4，根据tanB=34得：AC=3，由勾股定理得：AB=5，AD=√13；(2)作高线DE，证明△DEB∽△ACB，求DE的长，再利用三角函数定义求结果．本题考查了解直角三角形，熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．8. (1)根据完美分割线的定义只要证明①△ABC不是等腰三角形，②△ACD是等腰三角形，③△BDC∽△BCA即可．(2)分三种情形讨论即可①如图2，当AD=CD时，②如图3中，当AD=AC时，③如图4中，当AC=CD时，分别求出∠ACB即可．(3)设BD=x，利用△BCD∽△BAC，得BCBA =BDBC，列出方程即可解决问题．本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会分类讨论思想，属于中考常考题型．9. 如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H.通过解直角△AFD得到DF的长度；通过解直角△DCE得到CE的长度，则BC=BE?CE．本题考查了解直角三角形?仰角俯角问题.要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．10. 点D与点C重合时，B′C=BD，∠B′CB=∠CBD=∠A，利用tanA=13得到，然后设B′B=x，则B′C=3x，在Rt△B′CB中，利用勾股定理求得答案即可．本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是能够从实际问题中整理出直角三角形，难度不大．11. (1)过B作DE的垂线，设垂足为G.分别在Rt△ABH中，通过解直角三角形求出BH、AH；(2)在△ADE解直角三角形求出DE的长，进而可求出EH即BG的长，在Rt△CBG中，∠CBG=45°，则CG=BG，由此可求出CG的长然后根据CD=CG+GE?DE即可求出宣传牌的高度．此题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．$12. 设同时运动ts时两个三角形相似，再分△PCQ∽△BCA或△PCQ∽△ACB两种情况进行讨论即可．本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．13. 设经过y秒后相似，由于没有说明对应角的关系，所以共有两种情况：△CPQ∽△CBA 与△CPQ∽△CAB本题考查相似三角形的判定，解题的关键是分两种情况进行讨论，本题属于中等题型．14. 作AE⊥CD于E，根据正切的定义求出CE和AE，计算即可．本题考查的是解直角三角形的应用?仰角俯角问题，解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．15. 利用60°的正切值可表示出FG长，进而利用∠ACG的正切函数求AG长，加上1.6m即为主教学楼的高度AB．本题考查了解直角三角形的应用?仰角俯角问题，构造仰角所在的直角三角形，利用两个直角三角形的公共边求解是常用的解直角三角形的方法．16. (1)△ABC是等边三角形，得到∠B=∠C=60°，AB=AC，推出∠BAD=∠CDE，得到△ABD∽△DCE；(2)由△ABD∽△DCE，得到BDAB =CEDC，然后代入数值求得结果．本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，注意数形结合和方程思想的应用．17. 作CF⊥AB于点F，设AF=x米，在直角△ACF中利用三角函数用x表示出CF的长，在直角△ABE中表示出BE的长，然后根据CF?BE=DE即可列方程求得x的值，进而求得AB的长．本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度．18. 在直角△ACM，∠CAM=45度，则△ACM是等腰直角三角形，即可求得AC的长，则BC可以求得，然后在直角△BCN中，利用三角函数求得AN，根据MN=CN?CM即可求解．本题考查了三角函数，从图形中抽象出直角三角形并正确求得BC的长度是关键．19. (1)根据两角对应相等两三角形相似即可证明．(2)结论：EFAM =BCAB.如图2中，过点B作BG//EF交CD于G，首先证明四边形BEFG是平行四边形，推出BG=EF，由△GBC∽△MAB，得BGAM =BCAB，由此即可证明．(3)如图3中，过点D作平行于AB的直线交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，连接AC，则四边形ABSR是平行四边形.由(2)中结论可得：DNAM =BSAB，想办法求出BS即可解决问题．本题考查相似三角形综合题、矩形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．20. 先根据锐角三角函数的定义求出BF及AF的长，再由AB=AF+BF即可得出结论．本题考查的是解直角三角形的应用?仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．21. (1)根据邻补角的定义得到∠BDE=∠ACE，即可得到结论；(2)根据相似三角形的性质得到BEAE =EDEC，由于∠E=∠E，得到△ECD∽△EAB，由相似三角形的性质得到AEEC =ABCD，等量代换得到BEED=ABCD，即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，邻补角的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．22. 解：(1)结论：DF=DE，理由：如图1，连接AD，作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，则∠EMD=∠FND=90°，∵AB=AC，点D为BC中点，∴AD平分∠BAC，∴DM=DN，∵在四边形AMDN中.，∠DMA=∠DNA=90°，∴∠MAN+∠MDN=180°，又∵∠EDF与∠MAN互补，∴∠MDN=∠EDF，∴∠EDM=∠FDN，在△DEM与△DFN中，{∠DME=∠DNF ∠EDM=∠FDN DM=DN，∴△DEM≌△DFN，∴DE=DF．(2)结论DE：DF=1：k．理由：如图2，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，连接AD，则∠EMD=∠FND= 90°，∵BD=DC，∴S△ABD=S△ADC，∴12?AB?DM=12?AC?DN，∵AB=kAC，∴DN=kDM，由(2)可知，∠EDM=∠FDN，∠DEM=∠DFN=90°，∴△DME∽△DNF，∴DEDF =DMDN=1k．(3)结论：DEDF =ba．理由：如图3，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，连接AD，同(2)可证∠EDM=∠FDN，又∵∠EMD=∠FND=90°，∴△DEM∽△DFN，∴DEDF =DMDN，∵BDCD=b，∴S△ABD：S△ADC=b，∴12?AB?DM：12?AC?DN=b，∵AB：AC=a，∴DM：DN=ba，∴DEDF =DMDN=ba．故答案为ba．(1)如图1，连接AD，作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，则∠EMD=∠FND=90°，只要证明△DEM≌△DFN即可．(2)结论DE：DF=1：k.如图2，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，连接AD，则∠EMD=∠FND=90°，由12?AB?DM=12?AC?DN，AB=kAC，推出DN=kDM，再证明△DME∽△DNF，即可．(3)结论DE：DF=1：k.如图3，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，连接AD，同(2)可证∠EDM=∠FDN，由12?AB?DM：12?AC?DN=b，AB：AC=a，推出DM：DN=ba，再证明△DEM∽△DFN即可．本题考查相似三角形的判定和性质、三角形的面积、奇偶分析的性质定理等知识解题的关键是学会添加常用辅助线，学会理由面积法证明线段之间的关系，属于中考常考题型．23. 作DH⊥BC于H，设DH=x米，根据三角函数表示出AH于BH的长，根据AH?BH= AB得到一个关于x的方程，解方程求得x的值，进而求得AD?BD的长，即可解题．本题考查了直角三角形的运用，考查了30°角所对直角边是斜边一半的性质，本题中求得DH的长是解题的关键．24. 先过点C作CD⊥AB，垂足为点D，设BD=x海里，得出AD=(200?x)海里，在Rt△BCD中，根据tan45°=CDBD，求出CD，再根据BD=CD求出BD，在Rt△BCD中，根据cos45°=BDBC，求出BC，从而得出答案．此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是方向角含义、三角函数的定义，关键是根据题意画出图形，构造直角三角形．25. 求出∠DCA的度数，再判断出BC=CD，据此即可判断出△BCD是等边三角形.过点B作BE⊥AD，垂足为E，求出∠DAC的度数，利用三角函数求出AB的长，从而得到AB+ BC+CD的长．本题考查了解直角三角形的应用--方向角问题；通过解直角三角形求出AB是解决问题的关键．。