矩阵 A 的特征值为 λ = 0, 2, − 矩阵 A + E 的特征值为 行列式 |A + E | 等于特征值乘积,
1 λ = 1, 3, , （3 阶矩阵 3 个特征值.） 3 |A + E | = 1 × 3 × 4 1 = 1. 3
2019 线性代数辅导讲义练习参考答案
（2）答案
24
解析: 相似矩阵有相同的特征值, 所以矩阵 B 的特征值为 1,2,3,B + E 的特征值为 2,3,4. |B + E | = 2 × 3 × 4 = 24.
2 A2 (α1 + α2 ) = λ2 1 α1 + λ2 α2 = α1 + α2
整理，得
(
) ( 2 ) λ2 1 − 1 α1 + λ2 − 1 α2 = 0
2 α1 , α2 线性无关，系数全为 0. λ2 1 − 1 = 0, λ2 − 1 = 0.
所以， |A| = λ1 λ2 = −1.
4 3 2
0 0 −1 0 0 −1 λ 0 −1 λ 0 0 0 0 −1 0 0 −1 λ 0 0 0 −1 0 第 4 行展开 第 1 行的λ3 + λ2 + 2λ + 3倍加到第 4 行 第 2 行的λ2 + λ + 2倍加到第 4 行 第 3 行的λ + 1倍加到第 4 行
第 18 页
（1）答案 1 解析: 矩阵不可逆, 矩阵行列式为零. |A| = 0, |A − 2E | = 0, |3A + 2E | = 0, （特征值|λE − A| = 0, 特征值的相关知识见第五章） 2 3
3
0 −1 λ
λ + (−1)4+3 (−1) 0 4 + (−1)
3+1
−1 λ 3 0 −1
0 −1 2 )
0 (
= (λ + 1)λ +
λ
λ −1 3 2
4
−1 λ
= λ4 + λ3 + 2λ2 + 3λ + 4. 也可以利用行列式的性质 λ −1 0 0 4 λ 0 3 0 −1 λ 2 0 0 −1 λ+1 = λ −1 0 0 4 λ = 0 0 4 λ 0 3 0 −1 λ λ2 + λ + 2 −1 λ 0 λ3 + λ2 + 2λ + 3 λ = 0 0 λ4 + λ3 + 2λ2 + 3λ + 4 = λ + λ + 2λ + 3λ + 4.
《2019 线性代数辅导讲义》 练习参考答案
- 2018 年 6 月 7 日 -
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(∗)
1 −1 1 1
= 1 − (−1) = 2.
也可以就得出的关系式 (∗) 两边取行列式， 1 0 |A||P | = |P | 1 1 0 1 P 可逆，则 |P | ̸= 0. 1 0 1 |A| = 1 1 0 0 1 1 (2018,1) 答案 −1 = 2. 1 0 , 1
解析: 设 A 的特征值分别为 λ1 , λ2 ,λ1 ̸= λ2 . α1 , α2 线性无关，则 α1 , α2 属于不同特征值的特征向量. （如果 α1 , α2 是同一个特征值的特征向量，则该特征值至少是二重的，与题设特征值不同矛盾.） 不妨设 λ1 , λ2 对应的特征向量分别为 α1 , α2 ，则 Aα1 = λ1 α1 , Aα2 = λ2 α2 . 代入