a -.
.aP(X Nhomakorabeaa)
lFim(0aP) (aF(a
0x);
a)
lFim(a[
0
F) (alFi)m(0aF(0a)
)
]
P(a X b) FP(b{aa)XFX(abb)0});P{(XX aa}))
P(a X b) FFP((bba)0XF) (aFb))(aFP(0aX)); bF)(a不必0)死记硬背！ P(X a ) FP(aXF(0ba);))FP((aX0)a) F (Fb()a)F([bF(a0)) F(a 0)]
解 注意到 X 的所有可能取值为 0 和 1，
]. .
x0 1
x
当 x < 0 时， F(x)= P(X x) = P( )= 0，
当 0 x < 1 时， F(x)= P(X x) = P(X=0) = 1/ 2，
当 x 1 时， F(x)= P(X x) = P({XX==1)1}+∪P({XX==00)}=) 1.
P(X a ) P( X a) P(X a);
利用分布函1 数F可(a求)随F机(a变) 量F在(a任 意0) 区间上取值的概率
1 F(a 0) 利用 F(x)可求任一随机事件的概率 ! ! !
完整地描述了随机变量 取值的概率规律
只要知道 X 的分布函数, X 的概率统计特性就可以得到全面的描述
E~摸奖——Ω={空调，彩电，饮水器，香皂，不中}
X 5000，2500，500， 3 , 0
E2~抛硬币——XΩ==：X{(反ω)面= ，正10,,面HT}
试验结果可以与数量建立对应关系
2
2. 定义 设Ω为E的样本空间，若对Ω中的每个样本点ω
给一个实数X(ω)与之对应，则称X(ω)为随机变量。
记为R.V.X (Random Variable).
(
x0
)
.
如果一个函数具有上述性质，则一定是某个随机变量 X
的分布函数. 也就是说，性质(1)—(4)是鉴别一个函数是否
是某随机变量的分布函数的充分必要条件.
. .. . ].
x
！
7
3. 利用分布函数求事件的概率
P(a X b) F(b) F(a); P( X a) 1 F(a);
X a; X a; X a;
能否选用一个事件将所有事件都表达出来？
这种选择并 不是唯一的
P(Xx)
P(A) X() P( X x )
本质是什么？
函数
由此引进了分布函数的概念：
变量 ？
4
二、随机变量的分布函数
分布函数是一个普通的函数,
1. 定义
设 X 是随机变量，称 通过特它殊,形我式们事就件可的以概用率分析的
F ( x) P( X x) ( x )工具来研究随机变量的取值规律
0, x 0;
F
故 X 的分布函数为
F
(
x)
1/
2
,
0 x 1;
1, x 1.
1.
P(0 < X 1)= F(1)-F(0) = 11–/2 1；/2
1/2
。
。
.
P(X > 2) = 1 - F(2) = 1-1 = 0.
0
1
X
特征 ？
！
6
2. 分布函数的特征性质
定理
非负性 (1)∵F(x)是事件的概率， ∴ 0 F( x) 1, x ;
(3)P(4 X 6) P(4 X 6) P(X 6)
F(6) F(4) [F(6) F(6 0)] 0.4 0 [0.4 0.4] 0.4
9
例2．2设随机变量X的分布函数为
0, x a
F ( x)
x
2
b,
ax
2
c. x 2
则 a, b, c分别为（ (B) ）
ω1
ω2 A ω3
Ω
X(ω1) X(ω2) a b X(ω3)
R
P(A) P(a X b) P( X b) P( X a)
3
如何入手将概率问题转化为实变量的函数形式 ？
我们研究的对象是随机事件的概率
我们研究的对象是 随机变量的取值或取值范围 的概率 P( X = x ), P( X x ), P( X > x ), P ( x1 X x2 ),…
不单减调性x1(x22 )F(Px{)X是 x1的}非P {减X函 数x2 }，即若 x1<x2 , 则 F(x1) F(x2);
规范性
(3)
F(-
)
lim
x
F
(
x)
= 0，
F
()
lim
x
F
(
x)
=
1；
右连 续性
(4) F(x) 关于 x 右连续， 即对任意的实数 x0 ，有
lim
x x0
F
(
x)
F
(A) 1,1,1; (B)1,1,1 (C)1,1, 0 (D)0,1,1
解： lim F(x) c 1, 1 F ( 2 0) F ( 2) 2 b b 1 x a 2 b F (a 0) F (a) 0 a 1 但若a 1,则当 1 x 0时，F (x) 2x 0, F(x)单调递减 由F(x)单调不减，知 a 1 10
8！
例2．1 设随机变量X的分布函数为
0, x 2
F ( x)
0.1, 0.4,
2 x3 3 x 10
A. x 10
1.试确定A;(2)求 P(X 3), P(4 X 6)
解： (1)1 F() limF(x) lim A A
x
x
(2)P(X 3) F(3) F (3 0) 0.4 0.1 0.3
随机点落在任意区 间(a, b ]的概率
P( X a) 1 P( X a) 1 F(a)
分布函数是对各类随机变量以及其概率问题的一个统一的
描述方法.
请看下例：
！
5
例1 掷一枚质地均匀的硬币, 观察出现的是正面还是反面,
且
X
1, 0，
出现正面； 出现反面.
求 X 的分布函数 F(x) 和概率P(0< X 1), P(X > 2).
第二章 随机变量及其分布
1
§1 随机变量及其分布
一、随机变量 1. 问题的背景
在实际问题中，有些随机试验的结果本 身与数值有关(本身就是一个数).
例如，掷一颗骰子面上出现的点数 X ； 每天从武汉下火车的人数 X ； 昆虫的产卵数 X ； 七月份武汉的最高温度 X ；
在有些试验中，试验结果看来与数值无关， 但我们可以引进 一个变量来表示它的各种结果. 即，把试验结果数值化.
为 X 的分布函数. 将 X 看作数轴上随机点的坐标，
X
分布函数 F(x)的值就表示 X 落在区间(-,x]的概率.
x
x
在上式中X, x 皆为变量，二者有什么区别？
F( x ) 起什么作用？
X 是随机变量，x 是自变量.
P (a X b) P ( X b) P ( X a) F(b) F(a)