习题10（切比雪夫不等式）
一．填空题
1. 设随机变量X 的数学期望μ=)(X E ，方差2
)(σ=X D ，则由切比雪夫不等式，得
≤≥-)3(σμX P .
2. 随机掷6枚骰子，用X 表示6枚骰子点数之和，则由切比雪夫不等式，得≥<<)2715(X P .
3. 若二维随机变量),(Y X 满足，2)(-=X E ，2)(=Y E ，1)(=X D ，4)(=Y D ，
5.0),(-=Y X R ，则由切比雪夫不等式，得≤≥+)6(Y X P .
4. 设ΛΛ,,,,21n X X X 是相互独立、同分布的随机变量序列，且0)(=i X E ，)(i X D 一致有界),,,2,1(ΛΛn i =，则=<∑=∞
→)(
lim 1
n X
P n
i i
n .
二．选择题
1. 若随机变量X 的数学期望与方差都存在，对b a <，在以下概率中，（ ）可以由切比雪夫不等式进行取值大小的估计。

①)(b X a P <<； ②))((b X E X a P <-<；
③)(a X a P <<-； ④))((a b X E X P -≥-.
2. 随机变量X 服从指数分布)(λe ，用切比雪夫不等式估计≤≥
-)1
(λ
λX P （ ）.
①λ； ②2
λ③4
λ； ④
λ
1
. 三．解答题
1. 已知正常男性成年人的血液里，每毫升中白细胞含量X 是一个随机变量，若7300)(=X E ，
2700)(=X D ，利用切比雪夫不等式估计每毫升血液中白细胞含量在5200至9400之间的概率。

2. 如果n X X X ,,,21Λ是相互独立、同分布的随机变量序列，μ=)(i X E ，
8)(=i X D ),,2,1(n i Λ=.记∑==n
i i X n X 1
1，由切比雪夫不等式估计概率)4(<-μX p .
3. 设ΛΛ,,,,21n X X X 是相互独立、同分布的随机变量序列，0)(=i X E ，2
)(σ=i X D ，
)(4i X E 存在，且一致有界),,,2,1(ΛΛn i =.对任意实数0>ε，证明
1)1(lim 1
22
=<-∑=∞→εσn i i n X n P . 11（特征函数）
一．填空题
1. 若随机变量X 服从正态分布)4,2(N ，则=≥)3(X P .
=<<)40(X P ，=≤)1(X P .
2. 若随机变量~X ),(2
σμN ，且)()(c X P c X P ≥=≤，则=c .
3. 若随机变量~X ),2(2
σN ，且3.0)42(=<<X P ，则=<)0(X P . 4. 若X 服从正态分布),(2
σμN ，记ασμσμ=+<<-)(k X k P .
当9.0=α时，=k ，当95.0=α时，=k .
5. 随机变量21,X X 相互独立，且都服从标准正态分布，记21432X X Y -+=， 则Y 概率密度=)(y f Y .
二．选择题
6. 若随机变量n X X X ,,,21Λ相互独立，且),(~2
σμN X i ),,2,1(n i Λ=，则=
∑=)1(1
n
i i X n D （ ）
①2σ； ②2σn ； ③n /2σ； ④2
2/n σ.
7. 若随机变量Y X ,相互独立，且都服从正态分布),(2
σμN .设Y X +=ξ，Y X -=η，则
=),cov(ηξ（ ）.
①2
2σ； ② 1； ③1-； ④ 0.
8. 若随机变量Y X ,满足)3,1(~2N X ，)4,0(~2N Y ，2/1),(-=Y X R ，则=+)2
3(Y X D （ ）.
① 5； ② 4； ③ 3； ④ 2.
三．解答题
1. 某种电池的寿命X （单位：h ）服从正态分布)35,300(2N .（1）求寿命大于250小时的概率，（2）求x ，使寿命在x ±300之间的概率不小于0.9.
2. 测量某一目标的距离时，随机误差)40,0(~2N X （单位：m ）.
（1）求)30(≤X P ，
（2）若作三次独立测量，求至少有一次测量误差的绝对值不超过30米的概率。

3. 一商店对某种家电采用先使用后付款的方式销售，使用寿命X （单位：年）与销售单价Y （单位：元）关系如下：
若X~N (5, 4), 4. 若随机变量)1,0(~N X ，设X
e Y =，求随机变量Y 的概率密度)(y
f Y .
12（中心极限定理）
一．填空题
1. 若随机变量X 与Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则),(Y X 的联合概率密度为
=),(y x f .
2. 若二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为
),(,31),(]3)2(3
)2)(1()1[(3222∞+<-∞+∞<<-∞=
-+--+--y x e y x f y y x x π
则=)(X D ，=)(Y D ，=),(Y X R .
3. 若随机变量X 服从二项分布)8.0,10000(B ，由中心极限定理，有≈<-)408000(X P .
二．选择题
1. 若二维随机变量),(Y X 服从二元正态分布),,,,(2
2r N y x y x σσμμ,则X 与Y 不相关是X
与Y 不相互独立的（ ）条件。

① 充分且必要； ② 充分但不必要； ③ 必要但不充分； ④ 即不充分也不必要.
2. 若随即变量序列ΛΛ,,,,21n X X X 相互独立，且都服从参数为λ的泊松分布)(λP ，当=X （ ）时.)()(lim x x X P n Φ=≤∞
→.（其中)(x Φ为标准正态分布的分布函数）.
①
n
n X
n
i i
∑=-1
λ； ②
λ
λ
n n X
n
i i
∑=-1
；
③
λ
λ
n n X
n
i i
∑=-1
； ④
λ
λ
n n X
n
i i
∑=-1
.
三．解答题
1. 30个独立使用的电子元件，它们的寿命i T 都服从指数分布，且每个元件的平均寿命都为100（h ），其使用情况是：一个损坏后，另一个立即起用。

记∑==30
1
i i
T
T ，求总寿命T 超过3500（h ）
的概率。

2. 如果计算机在进行加法运算时，对每个加数取整，若每个加数产生的误差i X 是相互独立，且服从区间)5.0,5.0(-上的均匀的随机变量。

(1) 求将1500个数相加时，误差总和的绝对值超过15的概率，
(2) 问最多几个数相加，可使误差总和的绝对值小于10的概率不小于90%.
3. 某车间有200台独立工作的机床，同一时刻只有60%的机床在开动。

每台机床开动时耗电量为E ，问至少要供给该车间多少电能才能以99.9%的概率保证车间不因供电不足而影响生产。