第二章 基本初等函数 §2．1指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算（三课时）第一课时：教学目标：1.理解n 次方根、根式的概念；2.正确运用根式运算性质；3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。

教学重点：根式的概念、运算性质 教学难点：根式概念的理解 教学方法：学导式 教学过程：（Ⅰ）创设情景；阅读问题1、问题2，认识将指数的取值范围进行推广的重要性和必要性。

（Ⅱ）复习回顾 *)n aa a n N ⋅∈个（；a 0= =____ (m,n ∈Z)；(a m )___=； -_____9=)0a _____(2≥=；（Ⅲ）讲授新课 22=4 ，（-2）2=4 ⇒ 2，-2叫4的平方根 23=8 ⇒ 2叫8的立方根； （-2）3=-8⇒-2叫-8的立方根 25=32 ⇒ 2叫32的5次方根 … 2n =a ⇒2叫a 的n 次方根 1.n 次方根的定义：（板书）问题1：n 次方根的定义给出了，x 如何用a 表示呢？na x =是否正确？次方根是负数,任何一个数的方根都是唯一的。

此时，a 的n 次方根可表示为na x =。

从而有：3273=，2325-=-，236a a =数，负数没有n 次方根。

此时正数a 的n 次方根可表示为：)0a (a n >± 其中n a 表示a 的正的n 次方根，n a -表示a 的负的n 次方根。

结论3：0的n 次方根是0，记作n n a ,00即=当a=0时也有意义。

这样，可在实数范围内，得到n 次方根的性质： 3.n 次方根的性质：（板书）*)(2,12,N k kn a k n a x n n ∈⎪⎩⎪⎨⎧=±+== 其中叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。

注意：根式是n 次方根的一种表示形式，并且，由n 次方根的定义，可得到根式的运算性质。

4.根式运算性质：（板书）①a a nn =）（，即一个数先开方，再乘方（同次），结果仍为被开方数。

问题2：若对一个数先乘方，再开方（同次），结果又是什么？ ②⎩⎨⎧=为偶数为奇数；n a n a a nn|,|,性质的推导（略）： （III ）课堂练习：求下列各式的值通过本节学习，大家要能在理解根式概念的基础上，正确运用根式的运算性质解题。

（V ）课后作业 1、书面作业：书P 65习题2.1 A 组题第1题。

2、预习作业：a.预习内容：课本P 55—P 58。

b.预习提纲：（1）根式与分数指数幂有何关系？（2）整数指数幂运算性质推广后有何变化？na第二课时：教学目标：1.理解分数指数幂的概念；2.正确运用有理指数幂的运算性质；3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。

教学重点：分数指数幂的概念和运算性质 教学难点：分数指数幂概念的理解 教学方法：学导式（I ）复习回顾（II ）讲授新课分析：对于“填空”中的第四题，既可根据n 次方根的概念来解：25101052a a ,a )a (=∴= ； 也可根据n 次方根的性质来解：2552510a )a (a ==。

问题1：观察34122510a a ,a a ==，结果的指数与被开方数的指数，根指数有什么关系？ 问题2：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否可以写成分数指数幂的形式？如：3232a a =是否可行？ 分析：假设幂的运算性质mnnm a)a (=对于分数指数幂也适用，那么2332332a a)a (==⨯，这说明32a 也是2a 的3次方根，而32a 也是a 2的3次方根（由于这里n=3，a 2的3次方根唯一），于是3232a a=。

这说明3232a a =可行。

由此可有：1.正数的正分数指数幂的意义：<板书>1*,,,0(>∈>=n N n m a a a n m nm 且)注意两点:一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是要注意被开方数a n的幂指数n 与根式的根指数n 的一致性。

根式与分数指数幂可以进行互化。

问题3：在上述定义中，若没有“a>0”这个限制，行不行？ 分析：正例：32322510510331)2()2(,4)2()2()2(,28)8(-=-=-=-=--=-=-等等；反例：6231,2)8()8(,28)8(6262331==-=--=-=-而实际上；问题4：如何定义正数的负分数指数幂和0的分数指数幂？分析：正数的负分数指数幂的定义与负整数指数幂的意义相仿；0的分数指数幂与0的非0整数幂的意义相仿。

2.负分数指数幂：<板书>)1*,,,0(1>∈>=-n N n m a aanm nm 且3.0的分数指数幂：（板书）0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂无意义（为什么？）。

说明：（1）分数指数幂的意义只是一种规定，前面所举的例子只表示这种规定的合理性； （2）规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数； （3）可以验证整数指数幂的运算性质，对于有理数幂也同样适用，即（板书）(0,,)r s r s a a a a r s Q +=>∈； ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈ ()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>∈a>0αP 62的方向时，()由此，同样可规定是无理数）的意义：p ,0p (a p >① a p表示一个确定的实数；② 上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关概念和证明从略； ③ 指数概念可以扩充到实数指数（为下一小节学习指数函数作铺垫）。

分析：此题应结合分数指数幂意义与有理指数幂运算性质。

（IV ）课堂练习 课本P 59练习：1、2 （V ）课时小结通过本节学习，要求大家理解分数指数幂的意义，掌握分数指数幂与根式的互化，熟练运用有理指数幂的运算性质。

（V ）课后作业1、书面作业：课本P 65习题2.1A 组题第22、预习作业（1）预习内容：课本P 61例题4、5。

（2）预习提纲：a.根式的运算如何进行？b.利用理指数幂运算性质进行化简、求值，有哪些常用技巧？第三课时教学目标1.掌握根式与分数指数幂的互化；2.熟练运用有理指数幂运算性质进行化简、求值；3.培养学生的数学应用意识。

教学重点：有理指数幂运算性质运用。

教学难点：化简、求值的技巧 教学方法：启发引导式 教学过程 （I ）复习回顾2.用分数指数幂表示下列各式（a>0,x>0） 52a4x16xx3)a (（II ）讲授新课分析：（1）题可以仿照单项式乘除法进行，首先是系数相乘除，然后是同底数幂相乘除，并且要注意符号。

（2）题先按积的乘方计算，后按幂的乘方计算，等熟练后可简化计算步骤。

对于计算的结果不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式表示。

如果有特殊要求，可根据要求给出结果，但：① 结果不能同时含有根式和分数指数；②不能同时含有分母和负指数； ③ 根式需化成最简根式。

（2）题先把根式化成分数指数幂的最简形式，然后计算。

例3．求值：分析：（1）题需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质；要求：例3学生先练习，后讲评，讲评时需向学生强调求值过程中的变形技巧。

（III）课堂练习要求：学生板演练习，做完后老师讲评。

（IV）课时小结通过本节学习，要求大家能够熟练运用有理数幂运算性质进行化简、求值，并掌握一定的解题技巧，如凑完全平方、寻求同底幂等方法。

（V）课后作业书面作业：课本P65，习题2.1A组第4题2.1.2 指数函数及其性质（1）教学目标1.掌握指数函数的概念、图象和性质.2.能借助计算机或计算器画指数函数的图象.3.能由指数函数图象探索并理解指数函数的性质. 教学重点指数函数的概念和性质. 教学难点用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质. 教学过程一、以生活实例，引入新课材料1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……一个这样的细胞分裂x 次后，得到的细胞分裂的个数y 与x 的函数关系是什么？材料2：当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系，这个关系式应该怎样表示呢?结论： y =2x. P =（21）5730t.请问关系式y =2x ，P =（21）5730t有什么共同特征吗？结论：在关系式y =2x和P =（21）5730t中，每给一个自变量都有唯一的一个函数值和它对应，因此关系式y =2x 和P =（21）5730t都是函数关系式，且函数y =2x 和函数P =（21）5730t在形式上是相同的，解析式的右边都是指数式，且自变量都在指数位置上. 即都可以用x y a （a ＞0且a ≠1来表示）. 这就是我们下面所要研究的一类重要函数模型——指数函数.二、讲解新课（一）指数函数的概念一般地，函数y =a x （a ＞0，a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R .知识拓展：（1）定义域为什么是实数集？（2）在函数解析式y =a x 中为什么要规定a ＞0，a ≠1？练习：判断下列函数是否是指数函数：①y =2·3x ；②y =3x －1；③y =x 3；④y =－3x ；⑤y =（－3）x ；⑥y =πx ；⑦y =3x 2；⑧y =x x ；⑨y =（2a －1）x （a ＞21，且a ≠1）.只有⑥⑨为指数函数.（二）指数函数的图象和性质问：指数函数y =a x ，其中底数a 是常数，指数x 是自变量，幂y 是函数.底数a 有无穷多个取值，不可能逐一研究，选函数y =2x为例 完成以下表格，并且用计算机画出函数2xy =的图象x3.00- 2.50- 2.00- 1.50- 1.00- 0.000.501.001.502.002xy =18-1412124结合函数y =2x 的性质（定义域、值域、单调性、奇偶性），分析函数的图象特征 合作探究：是否所有的指数函数的图象均与y =2x 的图象类似？ 画出函数y =8x ，y =3.5x ，y =1.7x ，y =0.8x 的图象，你有什么发现呢?结论：y =0.8x 的图象与其余三个图象差别很大，其余三个图象与y =2x 的图象有点类似，说明还有一类指数函数的图象与y =2x 有重大差异. 那么从中选择一个具体函数进行研究， 以函数y =（21）x的图象.为例合作探究：函数y =2x 的图象和函数y =（21）x的图象的异同点. 给出结论教材第62页图表合作探究：函数y =2x 的图象和函数y =（21）x的图象有什么关系？结论：函数y =2x 的图象和函数y =（21）x的图象关于y 轴对称. 证明：因为函数y =（21）x =2－x，点（x ，y ）与（－x ，y ）关于y 轴对称，所以y =2x 的图象上的任意一点P （x ，y ）关于y 轴的对称点P 1（－x ，y ）都在y =（21）x 的图象上，反之亦然.根据这种对称性就可以利用函数y =2x 的图象得到函数y =（21）x 的图象.合作探究：如何快速地画出指数函数简图？（1）要注意图象的分布区域：指数函数的图象知分布在第一、二象限；（2）注意函数图象的特征点：无论底数取符合要求的任何值，函数图象均过定点（0，1）；（3）注意函数图象的变化趋势：函数图向下逐渐接近x 轴，但不能和x 轴相交. （三）例题讲解【例1】求下列函数的定义域：（1）y =8121-x ；（2）||2()3x y =（1）函数的定义域是{x |x ∈R ，x ≠21}；（2）函数的定义域是R 【例2】已知指数函数()xf x a =（a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求(0),(1),(3)f f f -的值.三、巩固练习 课本P 68练习1、2 四、课堂小结1.指数函数的定义以及指数函数的一般表达式的特征.2.指数函数简图的作法以及应注意的地方.3.指数函数的图象和性质.4.结合函数的图象说出函数的性质，这是一种重要的数学研究思想和研究方法——数形结合思想（方法）.5.a 的取值范围是今后应用指数函数讨论问题的前提. 五、布置作业课本P 69习题2.1A 组第5、6、题.探究：比较函数y =2x 和y =10x 的图象以及y =（21）x和y =（101）x 的图象. 思考底数a 的变化对图象的影响.结论：在第一象限内，底数a 越小，函数的图象越接近x 轴. 补充作业1.函数y =（2a 2－3a +2）a x 是指数函数，则a 的取值范围 （ ） A.a ＞0，a ≠1 B.a =1C.a =21 D.a =1或a =21 2．函数y ＝a x －2＋1（a ＞0，a ≠1）的图象必经过点（ ） A ．（0，1） B ．（1，1）C ．（2，0）D ．（2，2）3.证明函数y =a x 和y =a －x （a ＞0，且a ≠1）的图象关于y 轴对称. 参考答案： 1.C 2.D7.设P 1（x 1，y 1）是函数y =a x （a ＞0，且a ≠1）的图象上任意一点，则y 1=a 1x ， 而P 1（x 1，y 1）关于y 轴的对称点是Q （－x 1，y 1）， ∴y 1=a 1x =a )(1x --，即Q 在函数y =a －x 的图象上.由于P 1是任意取的，∴y =a x 上任一点关于y 轴的对称点都在y =a －x 的图象上.同理可证：y =a －x 图象上任意一点也一定在函数y =a x 的图象上，∴函数y =a x 和y =a －x 的图象关于y 轴对称..1.2 指数函数及其性质（2）教学目标1.加深对指数函数性质的理解与掌握.2.掌握对指数函数性质的灵活应用. 教学重点指数函数的性质的理解与应用. 教学难点指数函数的性质的具体应用. 教具准备多媒体课件、投影仪、打印好的作业. 教学过程一、回顾旧知，引入新课1、回顾指数函数的图象和性质2、快速画指数函数图象的注意点 二、讲解新课（一）利用指数函数的性质比较大小【例1】 比较下列各题中两个值的大小：（1）1.72.5，1.73；（2）0.8－0.1，0.8－0.2；（3）1.70.3，0.93.1. 方法引导：（1）利用计算器（2）利用函数的单调性 【例2】 将下列各数从小到大排列起来：（32）31，（53）21，332，（52）21，（23）32，（65）0，（－2）3，（35）31. （讨论：利用什么性质？ → 师生共练，注意格式 → 小结：分类、单调性；利用中间数）【例3】 解不等式：（1）9x ＞3x －2；（2）3×4x －2×6x ＞0. ..（二）指数型函数在实际是的应用【例3】 截止到1999年底，我国人口约13亿.如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少?（精确到亿）（师生共同讨论交流，列表分析） 解：先求出函数关系式：设今后人口年平均增长率为1%，经过x 年后，我国人口数为y 亿. 经过1年，人口数y =13×（1+1%）（亿）； 经过2年，人口数y =13×（1+1%）2（亿）； ……经过x 年，人口数y =13×（1+1%）x =13×1.01x （亿）. 当x =20时，y =13×1.0120≈16（亿）.所以，经过20年后，我国的人口数最多为16亿.小结指数函数增长模型：原有量N ，平均最长率p ，则经过时间x 后的总量y =？ →一般形式：y =N （1+p ）x我们把形如y =ka x（k ∈R ，a ＞0，且a ≠1）的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型. 练习： 2005年某镇工业总产值为100亿，计划今后每年平均增长率为8%, 经过x 年后的总产值为原来的多少倍？ → 变式：多少年后产值能达到120亿？合作探究：你是如何看待我国的计划生育政策的?为什么?说明：本例中函数的定义域是时间，故只能取非负实数；而且在解决实际问题时往往用到从函数图象上找出某一自变量对应的函数值.知识拓展：在解决应用问题时，其关键是能正确理解题意，从而建立目标函数，进而将生活实际问题转化为数学问题.同时要结合具体问题的实际意义确定函数的定义域.三、课堂小结本节课中主要渗透了数学的思想方法：分类讨论的思想、数形结合的思想、函数与方程的思想，数学的思想方法是数学学习的主轴线.四、布置作业课本P 70习题2.1A 组第6、7、8、，B 组第3、4题. 备用练习：1、 设y 1=40.9,y 2=80.48,y 3=(1/2)-1,,5，则 （D ）A.y 3＞y 1＞y 2B.y 2＞y 1＞y 3C.y 1＞y 2＞y 3D.y 1＞y 3＞y 22一片树林中现有木材30000 m 3，如果每年增长5%，经过x 年树林中有木材y m 3，写出x 、y 间的函数关系式，并利用图象求约经过多少年，木材可以增加到40000 m 3.（结果保留一个有效数字）函数关系式为y =30000（1+5%）x （x ≥0）.当y =40000时，得34=（1+5%）x =1.05x ，∴画出y =1.05x （x ≥0）的图象，从图象上找到与y =34≈1.33对应的x 值即可.列出下表： x123455.55.75.85.967…y 1 1.05 1.1 1.16 1.22 1.28 1.31 1.32 1.327 1.33 1.34 1.41…描点作出图象（如下图所示）.由图象可知，与y =34≈1.33对应的x 值约为6. 答：约经过6年，木材可以增加到40000 m 3.2.1.2 指数函数及其性质（3）教学目标1、 会求与指数函数有关的简单复合函数的定义域、值域、单调性等；2、 了解函数图象的平移与对称变换；3、 在解决简单的实际问题过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型 教学重点指数函数有关的简单复合函数的定义域、值域、单调性等； 教学难点指数函数有关的简单复合函数单调性 教学过程 一、复习旧知复习指数函数的图象与性质 二、讲解新课 （一）例题讲解【例1】 （1）函数13x y =- 的定义域是 （2）函数214x y +=的值域是（3）函数32x y a-=+恒过点（4）如果函数2()(1)xf x a =-在R 上是减函数，则实数a 的范围是 (5)把函数()y f x =的图象向左、向下分别平移2个单位，得到2xy =的图象，则原函数为【例2】 求函数y =（21）x x 22-的单调区间，并证明之. 解：在R 上任取x 1、x 2，且x 1＜x 2，则12y y =12122222)21()21(x x x x --=（21）12212122x x x x ++-=（21）)2)((1212-+-x x x x .∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0.当x 1、x 2∈（－∞，1］时，x 1+x 2－2＜0.这时（x 2－x 1）（x 2+x 1－2）＜0，即12y y ＞1. ∴y 2＞y 1，函数在（－∞，1］上单调递增.当x 1、x 2∈［1，+∞）时，x 1+x 2－2＞0，这时（x 2－x 1）（x 2+x 1－2）＞0，即12y y ＜1. ∴y 2＜y 1，函数在［1，+∞上单调递减.综上，函数y 在（－∞，1］上单调递增，在［1，+∞）上单调递减.合作探究：在填空、选择题中用上述方法就比较麻烦，因此我们可以考虑用复合函数的单调性来解题.变式：求函数y =（21）x x 22-的值域 练习：求函数y =3322++-x x的单调区间和值域.三、课堂小结1. 求与指数函数有关的简单复合函数的定义域、值域的方法 2、复合函数单调性的讨论步骤和方法； 四、布置作业 1、求下列函数的值域（1）()12,[1,4]xf x x =-∈ （2）1()()2,[1,2]3xf x x =+∈-2、求下列函数的的单调区间 （1）12x y -= （2）|1|2x y +=思考：设02x ≤≤，求函数112425x x y -+=-+的最大值和最小值2.2.1 对数与对数运算（1）教学目标：1、理解指数式与对数式的关系；2、理解对数的概念，能熟练地进行对数式与指数式的互化；3、了解自然对数与常用对数的概念以及对数恒等式。