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质点沿曲线的不变向运动， 另一类是质点在某一段曲 线上的往复运动。 )D ) 质点沿曲线的不变方向的运动 对于质点沿曲线的不变向运动问题， 我们作如下 规定： ! ) & 取沿切线质点的实际运动方向为质点切向的 正方向。 ! $ & 取沿曲线的法线并指向凹向的方向为坐标系 的法向正方向。 ! " & 取切向正方向与 H 轴正方向的夹角为 ! 角 的值。 这里请注意： ! ) & I< 总是大于零的， I< 为质点运动的微小路程。 ! $ & ! 总是大于零的， ! 为曲线上某一点的曲率半 径。 ! " & I" 的正负视具体问题而论。如图 )， I !J #K 而在图 $ 中 I ! L#。对 I !J # 的情况， #" #$ 。 #" L# 的情况， #! #$ ， 对 I! #!
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这里， 我们是以在第四象限质点向上运动， 来求 得运动微分方程的， 大家可推一下， 在其它情况下， 得 5 9 出的方程亦相同， 只是那时方程中的 !、 !、 ! 的正负将
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南昌航空工业学院学报 ( 自然科学版 @
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发生变化。
求解结果的正确性。
参考文献 〔Q〕 N O P 周衍柏 8 理论力学教程， 高等教育出版社 第二版 8 8 ORST ，
力及媒质阻力， 我们依据前面的规定选取自然坐标系 如图 $ 所示。
图$ 取沿节线逆时针旋转方向为切向正方向， 沿法线 指向曲线凹向为法向正方向， 竖直向上方向为所选定 图. 质点所受的力为重力 +, 和曲线的支持 - 在自 然坐标系中得其运动微分方程： . $+ ( * $, *-./& ’ " / ! ( / *-&!" ! !"# ’ + . " " * ( *-./& 0 1 # 0 *-./& ! 0 1 / !0 ’ ’ # 的参考方向， 分析受力可得其运动微分方程。
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作者简介： 胡全连， 男， 讲师， 研究方向： 计算机应用。 )-., 年 $ 月生，
第.期
胡全连： 平面自然坐标系的选取及符号规则
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献2"3。 "4 ’ 质点在某段曲线上作往复运动 对于质点在某段曲线上作往复运动的问题，取 平面自然坐标系时， 我们作如下规定： ! " # 取沿切线逆时针旋转方向为切向正方向； ! ’ # 取沿法线并指向曲线凹向方为法向正方向； ! . # 取法线正方向与某固定方向的夹角为 ! 角的 值， 且角量正方向与逆时针方向符合右手螺旋法则。 下面我们以一具体例题作说明： 图’ ! $ # 若同时需建立平面直角坐标系， 则有关系式 %!" ! # $% 。 $& 下面以具体例题作说明： 例： 假定单摆在阻力的媒质中振动， 并假定振幅 5 成正比， 5， 很小， 故阻力与 ! 且可写成 6 ( / ’+7 3 ! 其 中 + 是摆锤质量， 3 为摆长， 7 为比例系数，试证 4’5 8 时， 单摆的振动周期为 $ ( ’ " 3 - / 4 ’3 证： 单摆作往复运动， 且受力为重力和摆锤的拉
$##) 年 - 月 第 ), 卷第 " 期
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$% &!" ! ( $& !’# 此时 ./& ! ( / & ’"2 ’ ’ % 由其它的已知条件解此方程组 ! " # 即可求出反作 用力改变符号 ! 即 - ( 1 # 时的具体位置， 详见参考文
引言
解质点力学问题， 关键的一步是运动微分方程的 建立。需要将质点的受力投影到各坐标轴方向， 利用 加速度在各坐标轴上的分量表达式列出微分方程。 在需用到平面自然坐标系时，由于牵涉的量比较多， 同时坐标系的选择比较灵活，从而极易得出错误方 程， 给解题带来相当大的困难， 若是重大工程力学问 题，将会造成不可估量的损失。如果能对此作些规 定，使各种不同情况下套用此规定能得出正确的结 果， 则对质点力学问题的分析将带来相当帮助。 在平面自然坐标系中， 取所研究的质点为坐标系 的原点， 两个互相垂直的轴分别沿曲线的切线的方向 ! 单位矢量为 > & 和法线方向 ! 单位矢量为 F & ， 由此可得
平面自然坐标系的选取及符号规则
胡全连
! 江西师范大学 江西 南昌 ""##$% &
摘
要
本文介绍了一种求解质点力学问题，当需要用到自然坐标系时的规定，能迅速得出可靠的运动 直角坐标系 ’()) 自然坐标系 切向 法向 !角
微分方程。 关键词 中图分类号 文献标识码： *
我们所遇到的质点力学问题一般有两类： 一类是
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例： 一质点穿在一光滑抛物线上方 & 处， 并从此 处无初速地滑下，抛物线的方程为 %’ ( ’ ’() 式中 * 为一常数， 问滑至何处， 曲线对质点的作用力将改变 符号。 这是质点作平面运动的问题， 由于牵涉到质点所 受的约束反力 ! 抛物线对质点的支持力 # 所以需取平 面自然坐标系，同时要用到曲线方程 %’ ( ’ ’(，所以 还需建立平面直角坐标系点沿抛物线不变向运动， 依 据前面规定， 选取坐标系如图 )。
出： - " #$ & ! #% . " ’ "’ & ( ’)* #! G !$ ， 分别为质点的切向加速度和法向加速 ’ #% # 度。 ’G 在平面自然坐标中， 质点的运动微分方程为： + + #! G ," #% !$ G ,) #
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平面自然坐标系的选举，符号规则 及应用实例
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收稿日期： $##) + #, + ),
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结论
在质点动力学问题求解时， 通过众多的理论及工
〔Q〕 N > P 上海市物理学会 8 理论物理习题集 8 高等教育出版社， ORSU 年， 第一版 8 〔Q 〕 N < P 梁昆淼 8 力学 8 高等教育出版社， ORR> 年第一版 8
程实例， 表明采用上述的平面自然坐标系的选取及符 号规则， 可以充分可靠地建立正确的微分方程， 保证