xo (t) K xi (t)
比例环节的传递函数为
G(s) Xo(s) K X i (s)
比例环节的增益，或称 放大环节的放大系数
比例环节的方框图
Xi(s)
K
Xo(s)
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2.4.1 比例环节
例题 求图示一齿轮传动副的传递函数。ni、no 分别为输
入轴及输出轴转速，z1 和 z2 为齿轮齿数 (假定系统为：齿轮 副无传动间隙，且传动系统刚性无穷大的理想状态)。
an sn an1sn1 a1s a0 X o (s)
bmsm bm1sm1 b1s b0 X i (s)
得到系统（或环节）传递函数的一般形式
G(s)
X o (s) Xi (s)
bmsm bm1sm1 b1s b0 ansn an1sn1 a1s a0
复杂控制系统常常由一些简单的典型环节组成，求出这 些典型环节的传递函数，就可以获得整个系统的传递函数。
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2.4 典型环节的传递函数
控制系统中常用的典型环节有：比例环节、惯性环节、 微分环节、积分环节、振荡环节和延时环节等。
2.4.1 比例环节
如果一个环节的输出与输入成正比例，既不失真也不延 时，则称此环节为比例环节，也称放大环节。其数学模型为
c
dxo (t) dt
k
xo
(t)
k xi
(t)
xi(t) k
xo(t)
m c
质量-弹簧-阻尼器系统模型
经拉氏变换后
csX o (s) kXo (s) kXi (s)
系统传递函数为
惯性环节的 时间常数
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2.4 典型环节的传递函数
2.4.2 惯性环节
凡运动方程为一节微分方程：
T
dxo (t) dt
xo (t)
K
xi (t)
形式的环节称为惯性环节。其传递函数为： 惯性环节的增益，
表征环节的惯 性，与环节结
G(s) Xo(s)
K
构参数有关
X i (s) Ts 1
或称放大系数
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2.3 传递函数
2.3.1 传递函数的定义
线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下，系统 （或环节）输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。
即
G(s)
Lxo Lxi
(t) (t)
X o (s) X i (s)
X o (s) X i (s)G(s)
可见传递函数是描述系统的一种数学方式。
例题 已知系统微分方程，求其传递函数。
m
d
2 x0 (t dt 2
)
D
dx0 (t) dt
kx0 (t)
fi (t)
解：在零初始条件下，对上式两边取拉普拉斯变换，得
ms 2 X o (s) DsX o (s) kXo (s) Fi (s)
整理得到描述系统的传递函数
G(s)
Xo (s) Fi (s)
输入信号经系统(或环节)传递[乘以 Xi(s) G(s) Xo(s) G(s)]，得到输出信号。
称G(s)为传递函数
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2.3 传递函数
2.3.2 传递函数的求法
设线性定常系统（或环节）由下述n阶线性常微分方程
描述
an
dn xo (t) dt n
an1
dn1xo (t) dt n1
a1
dxo (t) dt
a0 xo (t)
bm
dm xi (t) dt m
bm1
dm1xi (t) dt m1
b1
dxi (t) dt
b0 xi (t)
式中，n≥m。
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2.3.2 传递函数的求法
当初始条件全为零，即：xi(t)和xo(t)及其各阶导数在 t=0 的值均为零时，对上式进行拉氏变换
解：因为
经拉氏变换后
z1ni (t) z2no (t) z1Ni (s) z2 No (s)
齿
轮 nNo (t) z1 K Ni (t) z2
齿轮副的传动比
z1 no(t)
比例环节：略去弹性的杠杆、作为测量元件的测速发电
机(输入为转速、输出为电压)、电子放大器，等等
惯性环节的时间常数
惯性环节的方框图
Xi(s)
K
Xo(s)
Ts+1
惯性环节元件中，总含有 储能元件。对于突变形式的输 入而言，输出总落后于输入。
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2.4.2 惯性环节
例题1 求图示质量-弹簧-阻尼器环节传递函数。
解：若质量m相对很小，可
略去其影响(忽略惯性力)。此
时的系统动力学方程为
2. 数学模型与传递函数
2.3 传递函数
微分方程的求解十分繁琐，而且从其本身很难分析研究 系统的动态性能，尤其是对复杂的系统及高阶微分方程。
如果对微分方程进行拉氏变换，得到代数方程(复数域)， 将使解算简化而方便。传递函数是在拉普拉斯变换基础上产 生的，可以用来方便直观地描述零初始条件下的单输入单输 出系统，是对元件及系统进行分析、研究与综合的有力工 具。根据传递函数在复平面上的形状可以直接判断系统的动 态性能，找出改善系统品质的方法。传递函数是经典控制理 论的基础，是极其重要的基本概念。
由此可知，只要知道系统微分方程，就可求出其传递函
数。
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2.3 传递函数
2.3.3 传递函数的特点
(1) 传递函数的分母是系统的特征多项式，代表系统的固 有特性，分子代表输入与输出的关系。因此，传递函数表达 了系统本身的动态性能，与输入量的大小及性质无关。
(2) 传递函数不说明被描述系统的物理结构。只要动态性 能相似，不同的系统可以用同一类型的传递函数描述。
ms 2
1 Ds
k
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2. 数学模型与传递函数
2.4 典型环节的传递函数
控制系统一般由若干元件以一定形式连接而成，从控制 理论来看，物理本质和工作原理不同的元件可以有完全相同 的数学模型。
在控制工程中，一般将具有某种确定信息传递关系的元 件、元件组或元件的一部分称为一个环节，经常遇到的环节 称为典型环节。
(3) 传递函数可以是无量纲的，也可以是有量纲的，这要 看系统输入、输出量的量纲，以及两者的比值。
(4) 传递函数是复变量s的有理真分式，m≤n，且所具有复 变函数的所有性质。
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2.3 传递函数
传递函数分母中的最高阶次，等于输出量最高阶导数的 阶次。如果 s 的最高阶次等于n，则称这种系统为 n 阶系统。