《§24.1.5（补充）与圆有关的角的综合》教学设计教学设计：洪建明学习目标1、熟练掌握弧、弦、圆心角、圆周角直接按的关系及圆心角、圆周角定理及相关推论；2、理解并能灵活运用弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系进行角的转换和计算。

一、导学探究知识概述一、圆心角：1、的角叫圆心角.2、圆心角定理：在中，相等的圆心角所对的相等，所对的也相等；3、圆心角定理推论：在同圆或等圆中，两个、两条、两条、两条弦的中有一组量相等，其余各组量都相等。

二、圆周角1、顶点在，两条边的角叫做圆周角．2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的．3、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧．推论2：(或)所对的圆周角等于90°；90°的圆周角所对的弦是．4、圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角．推论：圆内接四边形的任何一个外角等于它的．二、精讲多动一、加深理解1、对圆周角的理解①如图，∠AOB与∠ACB是AB对的圆心角与圆周角，故有：∠ACB＝∠AOB，反之∠AOB＝∠ACB．②定理的作用是勾通圆心角，圆周角之间的数量关系．2、对圆周角定理的两个推论的理解(1)推论1：①是圆中证角相等最常用的方法之一．②若将推论1中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立了．因为一条弦所对的圆周角有两种可能，一般情况不相等(如图中的∠1与∠2)．③推论1中“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”，离开这个前提条件，结论不成立(如图中的AC BD与)．④联系圆心角定理推论可得：在同圆或等圆中，C B(2)推论2应用广泛，一般地，如果题目中有直径时，往往作出直径上的圆周角——直角；如果需要直角或证明垂直时，也往往作出直径即可解决问题，推论也是证明弦是直径常用的办法． 3、对圆的内接四边形定理的理解(1)“内对角”是圆内接四边形的专用名词，是指与四边形的一个外角相邻的内角的对角． (2)定理的另一个含义是对角和相等(都为180°)．(3)定理是证明与圆有关的两角相等或互补关系的重要依据．(4)使用定理时，要注意观察图形，不要弄错四边形的外角和它的内对角的位置． 二、解题方法技巧点拨1、圆心角和圆周角之间的换算例1、已知：如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD 交AB 于P ，且∠APD ＝60°，∠COB ＝30°，求∠ABD的度数．例2、如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝80°，以AB 为直径的半圆交AC 于D ，交BC 于E ．求AD DE BE 、、所对圆心角的度数．点评：(1)辅助线AE ，构造了“直径上的圆周角是直角”的基本图形，因此在关于直径的问题中，常添辅助线使之构成直角三角形．即有直径，得直角.(2)本题还有副产品BE ＝EC ，你注意了吗？该副产品有时很有用．仿解：如图，BC 为半圆O 的直径，点F 是弧BC 上一动点（点F 不与B 、C 重合），A 是弧BF 上的中点，设∠FBC ＝α, ∠ACB ＝β.⑴当α＝50°时，求β的度数。

⑵猜想α与β之间的关系，并给与证明。

2、 圆内角、圆外角、圆周角之间的运算题 圆内角：角的顶点在圆内的角叫做圆内角．圆外角：角的顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角．例3、如图，圆的弦AB 、CD 延长线交于P 点，AD 、BC 交于Q 点，∠P ＝28°，∠AQC ＝92°，求∠ABC 的度数．P分析：圆内角和圆外角都是通过圆周角建立联系，故圆内角∠AQC 与圆外角∠P 可通过圆周角∠ABC (∠ADC )与∠A (∠C )建立起联系。

点评：⑴圆内角与圆外角都通过圆周角建立联系．⑵同弧对的圆内角、圆外角、圆周角之间的大小关系是：圆内角＞圆周角＞圆外角． ⑶圆内角等于它所对弦对的圆周角与它对顶角所对的弧对的周角之和．(如图， ∠AQC ＝∠ABC ＋∠A )．⑷圆外角等于它所截两条弧所对的圆周角之差(如图，∠P ＝∠ABC －∠A )．3、与圆周角有关的证明例4、如图，△ABC 内接于⊙O ，AE ⊥BC 于D ，交⊙O 于E ，AF 为⊙O 的直径． ⑴求证：∠BAF ＝∠CAE ． (2) 求证：AB ·AC ＝AD ·AF ；(3)若过O 作ON ⊥AB 于N ，则ON 与CE 之间有何数量关系？例5、如图，AB 是△ABC 外接圆O 的直径，D 为⊙O 上一点，且DE ⊥CD 交BC 于E ， 求证：EB ·CD ＝DE ·AC ．例6、如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，⊙O 的直径BD 交AC 于E ， AF ⊥BD 于F ，延长AF 交BC 于G ．求证：AB 2＝BG ·BC ．例7、已知：⊙O 1的圆心O 1在⊙O 2上，且两圆交于A 、B 两点，O 1D 为⊙O 2的弦，交⊙O 1于C ，求证：O 1C 2＝O 1E ·O 1D ．点评：在圆中有弧中点时，常用以下三种辅助线．①过弧中点作半径；②连等弧对的圆心角和圆周角；③连等弧对的弦．DB4、与圆的内接四边形的有关计算问题 例8、如图，已知AB 是半圆O 的直径，∠BAC ＝40°，D 是AC 上任意一点，那么∠D 的度数是________．CBA OD仿解：如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，OD ⊥BC 于E ，交弧BC 于D ． (1)请写出四个不同类型的正确结论； (2)若BC ＝8，ED ＝2，求⊙O 的半径．（3）连CD ，设∠BDC ＝α，∠ABC ＝β，探究α与β之间的关系式，并给给予适当的说明。

例9、已知：四边形ABCD 内接于⊙O ，且∠BOD ＝100°．求∠A 的度数．（注意：此题不止一种情形）仿解：已知⊙O 中弦AB 的长等于半径长，则弦AB 所对的圆周角的度数为 .5、与圆的内接四边形有关的证明问题例10、如图，已知：AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，G 是AC 上任意一点，AG 、DC 的延长线交于F ．求证：∠FGC ＝∠AGD ．GE CBAODF点评：圆内接四边形的性质是沟通圆外角和圆内角的桥梁，此题的关键是添加辅助线，构造圆内接四边形．变式：①此题条件不变，问DG ·CG 是否与AG ·FG 相等．②是否有AC 2＝AG ·AF 成立？ 6、巧妙构造四点共圆解题.例11、在等腰△ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝1000，点P 在△ABC 的外部，并且PC ＝BC ，求∠APB 的度数。

思路点拨：由题中的条件AC ＝BC ＝PC ，联想到圆的定义，画出以点C 为圆心，AC 为半径的圆，巧妙地构造出圆心角∠ACB ＝1000， 圆周角∠APB ＝500问题，使此题得以突破与解决。

三、优选精练★基础演练1、下列命题中，错误的是( )A．90°的圆角所对的弦一定是直径；B．相等的圆周角所对的弦长也相等；C．圆周角等于其所对弧的度数的一半；D．同弧所对的圆周角也相等2、如图，已知直线BC切⊙O于点C，PD为⊙O的直径，BP的延长线与CD的延长线交于点A，∠A＝28°，∠B＝26°，则∠PDC＝.3、如图所示，P为等边三角形ABC外接圆上一点，则∠APB的度数是4、如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B，分别过A、B作两条直线与⊙O1交于C、E，与⊙O2交于E、F，如∠ADF＝100°，那么∠ACE＝.第2题图第3题图第4题图第5题图5、如图，四边形OADC中，∠BOC＝20°，那么∠ADC6、（2009肇庆）9．如图4等于第6题图第7、如图，AB是⊙O的直径，线交圆周于一点E，此点A．是AB的中点；B8、如图，⊙O的内接四边形ABCD的对角线交于P,已知AB＝BC，求证：△ABD∽△DPC。

9、如图，半圆的半径为2cm，点C、D三等分半圆，求阴影部分面积.★★能力提升10、（07年重庆）已知，如图：AB 为⊙O 的直径，AB ＝AC ，BC 交⊙O 于点D ，AC 交⊙O 于点E ，∠BAC ＝45︒。

给出以下五个结论：∠EBC ＝22.5︒；12BD ＝DC ；12AE ＝2EC ；劣弧AE 是劣弧DE 的2倍；⑤AE ＝BC 。

其中正确结论的序号是 。

11、如图，量角器外沿上有A 、B 两点，它们的读数分别是70°、40°，则∠1的度数为 . 12、（2008年海南） 如图8, AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC ＝30°，点P 在线段OB 上运动.设∠ACP ＝x ，则x 的取值范围是 . 13、（07年广西柳州、北海）如图所示，AB ＝AC ，AB 为⊙O 的直径，AC 、BC 分别交⊙O 于E 、D ，连结ED 、BE ．（1）试判断DE 与BD 是否相等，并说明理由； （2）如果BC ＝6，AB ＝5，求BE 的长．14、(2009南充市)如图8，半圆的直径AB ＝10，点C 在半圆上，BC =6． （1）求弦AC 的长；（2）若P 为AB 的中点，PE ⊥AB 交AC 于点E ，求PE 的长．15、（2009黄冈市）如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，连结BC ，AC ，过点C 作直线CD ⊥AB 于点D ，点E 是AB 上一点，直线CE 交⊙O 于点F ，连结BF ，与直线CD 交于点G ．求证：2BC BG BF =16、(2009年衢州）如图，AD 是⊙O 的直径．•E D C BAO 第10题图CFGD OE （第15题图） （第11题图）°A(第13题图)OBCD EPB C E A （14题）(1)如图①，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则∠B1的度数是，∠B2的度数是；(2)如图②，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2，B3C3把圆周6等分，分别求∠B1，∠B2，∠B3的度数；(3)如图③，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2，B3C3，…，B n C n把圆周2n等分，请你用含n的代数式表示∠B n的度数(只需直接写出答案)．17、（2008陕西）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，CB＝12，AD是△ABC的角平分线．过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．（1）求证：AC＝AE；（2）求△ACD外接圆的半径．18、(2009成都)如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC＝BC，∠BAC的平分线AD与⊙0交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连结CD，G是CD的中点，连结0G．(1)判断0G与CD的位置关系，写出你的结论并证明；(2)求证：AE＝BF；（3）若3(2OG DE⋅=，求⊙O的面积。