d
r dr R e
M r rμdmg μg rρredθdr
M r rμdmg μg rρredθdr
2 3 μgρe dθ r dr μgρeπR 0 0 3 2 2 M r μmgR m=eR 3 2 1 2 d 由定轴转动定律： mgR I mR
2π R 2
3 2 t 0 2 1 μg dt R dω 0 3 2 ω0
dt
3 R t 0 4 g
作业：4.11、4.13、4.14
例4-3 求均质细棒( m ，l ) 的转动惯量： (1) 转轴通过中心C与棒垂直， (2) 转轴通过棒的一端O与棒垂直。 解：(1)
dm
C dx x
(2) O
dm
dx
x
可见，转动惯量因转轴位置不同而变，故必须指 明是关于某轴的转动惯量。
平行轴定理（parallel axis theorem）
刚体对任一转轴的转动惯量 I 等于对通过质心 的平行转轴的转动惯量 IC 加上刚体质量 m 乘以两平 行转轴间距离 d 的平方。
i i i
对于成对的内力，对同一转轴的力矩之和为零，则
F
i
内i
ri sin θi 0
2 i i i
F r sin (m r
i i i i
)
称为刚体对转轴的转动惯量。
d M z I I dt
刚体定轴转动定律：刚体在做定轴转动时，刚体的角 加速度与它所受到的合外力矩成正比，与刚体的转动 惯量成反比。 与平动定律比较：
d r sin 是转轴到力作
用线的距离，称为力臂。 3、在转轴方向确定后，力对转 轴的力矩方向可用正负号表示。 刚体所受的关于定轴的合力矩：
二、定轴转动定律
对刚体中任一质量元 mi
受外力 Fi 和内力 F i 内
Fi F内i Δmi ai
应用牛顿第二定律，可得
dv F ma m dt
三、转动惯量
定义： 单位( SI )：
刚体为质量连续体时：
（ r 为质元dm到转轴的距离） 转动惯量是刚体转动惯性大小的量度。转动惯量 取决于刚体本身的性质，即刚体的形状、大小、质 量分布以及转轴的位置。
飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？
竿 子 长 些 还 是 短 些 较 安 全 ？
通过任一转轴A的转动惯量： （取C为坐标原点）
d A C
dm
dx x
mxC 0
正交轴定理
薄板状刚体对板面内相互垂直的两个定轴 X、Y 的 转动惯量之和，等于该刚体对通过两轴交点且垂直于 板面的定轴 Z 的转动惯量，即：
I Z I X IY
例4-4 求质量 m 半径 R 的 (1) 均质圆环， (2) 均质圆盘 对通过直径的转轴的转动惯量。
解：
(1) 圆环：
dm
(2) 圆盘：
O r
dm
可见，转动惯量与刚体的质量分布有关。
刚体的回转半径
rG ：
2 2
I mi ri mrG
i
rG
I m
例4-5 物体：m1、m2(>m1)， 定滑轮：m、r，受摩擦 阻力矩为Mr。轻绳不能伸长，无相对滑动。求物体的 加速度和绳的张力。 解：由于考虑滑轮的质量和所受 的摩擦阻力矩，
§4-2 定轴转动定律 转动惯量
一、力矩
F 对O点的力矩：
M
M r F

F
r
大小： 说明
M rF sin
1、只有垂直转轴的外力分量才产生 沿转轴方向的力矩Mz ，而平行于转 轴的外力分量产生的力矩 Mxy 则被 轴承上支承力的力矩所抵消。
2、 M z
rF2 sin φ F2 d
采用自然坐标系，上式切向分量式为
Fi sin i F内i sini mi ait mi ri
Fi ri sin i F内i ri sini mi ri 2
对刚体内各个质点的相应式子，相加得
Fi ri sin i F内i ri sini (mi ri 2 )
r
问题中包括平动和转动。
FT1 m1 g m1a m2 g FT 2 m2 a FT 2 r FT1r M r I
轮不打滑： 联立方程，可解得 FT1 ，FT2，a，β 。
此装置称阿特伍德机——可用于测量重力加速度 g
例4-6 一半径为R，质量为m均质圆盘，平放在粗糙的 水平桌面上。设盘与桌面间摩擦因数为 ，令圆盘最 初以角速度0 绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问它 经过多少时间才停止转动？ 解： 把圆盘分成许多环形 质元，每个质元的质量 dm= red dr，e是盘的厚 度，质元所受到的阻力矩 为 rdmg 。 圆盘所受阻力矩为