理论力学复习题 计算题题库第一章质点力学点沿空间曲线运动，在点M 处其速度为j i v34+= ，加速度a与速度v夹角030=β，且2/10s m a =。

求轨迹在该点密切面内的曲率半径ρ和切向加速度τa 。

答：由已知条件j i v34+=得s m v /53422=+= 法向加速度20/530sin s m a a n == 则曲率半径m a v n52==ρ 切向加速度 20/66.830cos s m a a ==τ一点向由静止开始作匀加速圆周运动，试证明点的全加速度和切向加速度的夹角α与其经过的那段圆弧对应的圆心角β之间有如下关系βα2tan =证明：设点M 沿半径为R 的圆作圆周运动，t 时刻走过的路程为AM=s ，速度为v ，对应的圆心角为β。

由题设条件知()()b C dsdv v dt dv a a Ra v a a n =====τττα2tanC 为常数 积分(b)式得⎰⎰=sv ds a vdv 00τ 所以()c s a v τ22= 将（c ）式代入（a ），并考虑βR s =，所以βα2tan =质点M 的运动方程为)(2),(32m t y m t x == 求t=1秒时，质点速度、切向加速度、法向加速度的大小。

解：由于)(44),(3sm t y s m x=== 所以有()s m y x v 516922=+=+=又：222169t y xv +=+= 则()()()s mtt t t va t 2.316923232169212121212=+=⋅+==-点M 沿半径为R 的圆周运动。

如果K K a a n(-=τ为已知常数），以初始位置为原点，原点初速度为0v 。

求点的弧坐标形式的运动方程及点的速度减少一半时所经历的时间。

解：设点的初始位置为A 。

依题意KRv K a a dt dv n 2-=-==τ 积分上式⎰⎰-=vv tdtKR v dv 0021 KR t v v -=-110 得tv KR RKv v 00+=则弧坐标形式的运动方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⎰KR t v KR dt t k KR KRv s t00001ln当20v v =时0v KR t =一质点沿圆滚线θsin 4a s =的弧线运动，如θ 为常数，则其加速度亦为一常数，试证明之。

式中θ为圆滚线某点P 上的切线与水平线（x 轴）所成的角度，s 为P 点与曲线最低点之间的曲线弧长。

解：因θsin 4a s = 故θωθθcos 4cos 4a a dtds v ===式中ωθ= =常量（题设）又θωτsin 42a dt dv a -== ρ2v a n = 而θθρcos 4a d ds ==所以θωθθωρcos 4cos 4cos 1622222a a a v a n ===故2222224cos sin 4ωθθωτa a a a a n=+=+==常数 结论得证 设质点沿螺旋线t z t y t x 4,4cos 2,4sin 2===运动，试求质点的速度、加速度和轨道的曲率半径。

解：因t z t y t x 4,4cos 2,4sin 2===故4,44sin 8,44cos 8=-=-===z x t y y t x所以541422222=++=++=y x z y xv 又0,164,164=-=-=-==zy x y x y x 所以321622222=+=++=y x zy x a 又014441222142222=++-⨯=+++⨯==y x xy xy y x y y x x dt dv a τ 所以321622=+==y x a a n而5.232802===n a v ρ小环的质量为m 。

套在一条光滑的钢索上，钢索的方程式为ay x 42=，试求小环自x=2a 处自由滑至抛物线顶点时的速度及小环在此时所受到的约束反作用力。

解：小环受力如图示，重力g m竖直向下，约束力R 的方向沿着抛物线的法线小环在任意位置P 处的运动微分方程为)2(cos )1(sin 2 θρθmg R vm mg dtdvm-==因ds dv v dt ds ds dv dt dv =⋅= 而dsdy dx dy -=-=≈θθsin tan （s 增大而y 减小故为负值）（1）式变为dsdymgds dv mv-= 即)3( gdy vdv -= 积分⎰⎰-=00a vgdy vdv 得ag v 2=（因a ax y a x ===4,22）此即小环自x=2a处自由滑至抛物线顶点时的速度。

又ay x 42= 则a dxy d y a x dx dy y 21,222==''=='在抛物线顶点处ay y y x 21,0,0,0=''='== 所以在抛物线顶点处()a y y 21232='''+=ρ由（2）式知mg mg aagmmg v mR 222cos 2=+=+=θρ（因在顶点处1cos ,0==θθ）小环在顶点处所受到的约束反作用力为mg 2。

质点所受的力如恒通过一定点，则质点必在一平面上运动，试证明之。

证明：取力通过的定点为坐标原点，则质点的位矢r与力F 共线，则有0=⨯=F r M所以质点的动量矩守恒，即C J =其分量式为()()())3...(..........)2...(..........)1..(..........321C x y y x m J C z x xz m j C y z z y m J z y x =-==-==-= 由)3()2()1(⨯+⨯+⨯z y x 得到0321=++z C y C x C由解析几何知识知上式为一平面方程，故质点只能在这个平面上运动。

一物体质量m=10kg ,在变力N t F )1(10-=作用下运动。

设物体初速度s m v /2.00=，开始时力的方向与速度方向相同。

问经过多长时间后物体速度为零，此前走了多少路程？（知识要点）质点运动学微分方程，质点运动学第二类问题 解答：由F dtdv m= 得⎰⎰-=tvv dt t dv 0)1(100积分得)/(2.01052s m t t v ++-=再积分 ⎰⎰++-=ts dt t t ds 020)2.0105( 得 )(2.053523m t t t S ++-= 由 02.01052=++-=t t v 解得 s t 02.2= 再代入前式得 S=7.07 m 质点作平面运动，其速率保持为常数，试证明速度矢量v与加速度矢量a正交。

证明：采用自然坐标系，由题意知τc v = c 为常量于是有dtd c dt d c dt dc c dt d dt v d a ττττ =+===)(又在自然坐标系中n dtdϕτ= 所以n c dt d c dt d c dt dc c dt d dt v d a ϕττττ==+===)( 由于n ⊥τ 故v a⊥ 得证动点M 以匀速)/(5s m v =沿轨迹231x y =运动，求当m x 2=时动点M 的速度沿x 和y 分量的大小，以及M 的加速度解：由)1(..........25222=+=y xv 根据231x y =求导数得x x y 32=而m x 2=时)2........(34x y = （2）代入（1）得.2591622=+x x整理得)/(3s m x= 代入（2）得)/.(4s m y = 又0==dtdv a τ 则2222n n a a a a =+=τ即n a a =又由数学知识知y y '''+=232)1(ρ 而根据231x y =微分得32,32=''='y x y 当m x 2=时32,34=''='y y所以有18125322712532)925(32)9161()1(2323232===+='''+=y y ρ故)/(6.3181252522s m v a a n ====ρ某力场的力矢为k xz j x i z xy F 2233)2(+++= 其中k j i ,,分别为x,y,z轴的单位矢，试证明该力场是否为保守力场，若为保守力场，求出其势能函数。

解：[]]⎢⎣⎡∂∂-∂+∂+∂∂-∂∂=+∂∂∂∂∂∂=⨯∇x xz z z xy j z x y xz i xzx z xy z y x kj iF )3()2()()3((322322223+0)22()33()00()2()(2232=-+-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂+∂-∂∂x x k z z j i y z xy x x k 故力场为保守力场。

由 )3(3)2()1(2223--------=∂∂-=---------=∂∂-=------+=∂∂-=xz zU F x y UF z xy x UF z y x（1） 式积分得：)4(),(32-----+--=z y f x z y x U 对（4）式求偏导数得：[]22),(x y z y f x y U -=∂∂+-=∂∂ 即[]0),(=∂∂yz y f上式得：)(),(z g z y f = 代入（4）式得：)5()(32------+--=z g x z y x U对（5）式求偏导数得：[]223)(3xz z z g xz z U -=∂∂+-=∂∂即[]0)(=∂∂zz g 积分得：c z g =)(代入（5）式得：c x z y x U +--=32 取0,0,0===U y x 则0=c 所以势能函数为 x z y x U 32--=某力场的力矢为24323318,106,206abxyz F y bx abxz F y bx y abz F z y x =-=-= 试证明该力场是否为保守力场，若为保守力场，求出其势能函数。

解：()()04064061818)1818(33332222=+--+-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂∂∂∂∂=⨯∇k y bx abz y bx abz j y abz y abz i abxz abxz k y F x F j x F z F i z F y F F F F z y x kj i F x y z x y z Zyx故力场为保守力场。

由 )3(18)2(106)1(206243233--------=∂∂-=-------=∂∂-=-------=∂∂-=abxyz zU F y bx abxz y UF y bx y abz x UF z y x对（1）式积分得：)4(),(56243-----++-=z y f y bx yx abz U 对（4）式求偏导数得：[]y bx abxz F yz y f y bx x abz y U y 4343106),(106+-=-=∂∂++-=∂∂ 即[]0),(=∂∂yz y f 上式得：)(),(z g z y f = 代入（4）式得：)5()(56243-----++-=z g y bx yx abz U对（5）式求偏导数得：[]2218)(18abxyz F zz g xy abz z U z -=-=∂∂+-=∂∂ 即[]0)(=∂∂zz g 积分得：c z g =)(代入（5）式得： 取0,0,0,0====U z y x 则0=c 所以势能函数为32465abxyz y bx U -=已知作用于质点上的力为za y a x a F z a y a x a F za y a x a F z y x 333231232221131211++=++=++=式上系数)3,2,1,(=j i a ij 都是常数，问这些ij a 满足什么条件，才有势能存在？如这些条件满足，试计算其势能。