第45卷第5期2005年9月大连理工大学学报Journal of Dalian University of TechnologyVol .45,No .5Sept .2005院士学术论文文章编号:1000-8608(2005)05-0772-09收稿日期:2005-05-09;　修回日期:2005-07-12.基金项目:国家自然科学基金资助项目(60343010);“973”国家重点基础研究资助项目(2003CB 317007);中国科学院计算技术研究所创新工程资助项目(20056510).作者简介:高庆狮*(1934-),男,教授,博士生导师,中国科学院院士,大连理工大学兼职院士,E-mail :qsgao @p .Zadeh 模糊集合理论存在问题证明及其改进——一个满足全部经典集合公式的C -模糊集合系统高庆狮*1,2( 1.北京科技大学,北京　100083;2.大连理工大学,辽宁大连　116024)摘要:Zadeh 模糊集合理论具有不能正确描绘客观世界的全部模糊现象,特别是不能描绘相交而不“包含或者分散包含”的情况,不可能存在反集等两个严重缺点;定义了不存在的反集这一严重错误,导致了思维、逻辑和概念混乱.但是,Zadeh 等把错误缺点说成为“对传统的挑战”、“摆脱传统的约束”[2-序]的先进成果.企图用“算子”拼盘(不是像概率论那样各种公式有统一的解释)来掩盖缺点,导致了系统混乱(不清楚什么时候需要使用什么算子),误导人们以为模糊集合理论必然与常规思维、逻辑和概念相悖.为此,分析和证明了Zadeh 模糊集合的错误.介绍了一个新模糊集合系统:C -模糊集合系统,它能克服Zadeh 模糊集合理论的全部错误和缺点,能正确地描绘客观世界的全部模糊现象,有反集.它是经典集合系统的特例而不是推广,能满足全部经典集合的公式,与正常思维、逻辑和概念一致.关键词:经典集合;Zadeh 模糊集合;集合;反集;C -模糊集合中图分类号:O159文献标识码:A1　Zadeh 模糊集合理论及其缺点1.1　Zadeh 模糊集合理论的定义本文中所提一个(模糊)集合理论或者系统是由集合、集合关系、集合运算、集合运算公式、定义和定理组成.Zadeh 模糊集合理论[1、2]的定义:设U 是一个经典集合,称为全集,令u 表示其元素.模糊子集A 定义为{(u ,_A (u ))|u ∈U },其中_A (u )为u 隶属于A 的隶属度,其为一个实数,满足0≤_A (u )≤1.即_A (u )∈[0,1].Zadeh 模糊集合A 和B 之间的关系:A =B (集合相等)被定义为( u ∈U )(_A (u )=_B (u ));A B (A 是B 的子集,即B 包含A )被定义为( u ∈U )(_A (u )≤(_B (u )).Zadeh 模糊集合的并集(∪)、交集(∩)和补 Zadeh 的模糊集合理论是经典集合理论的扩充.如果限制隶属度的值于{0,1},并且当u ∈A时令_A (u )=1,当u ∈/A 时_A (u )=0,则模糊集合理论就成为经典集合理论.自从1965年模糊集合论创始人Zadeh 提出模糊集合理论以来,应用上有了一些发展,但是也存在着一些严重的问题.为了使模糊集合的理论和应用更好发展,就不能回避,或者封锁压制,或者采用不科学的、类似于天文学上的本轮的、繁琐的方法去处理系统中存在的某些问题.否则,对 进一步发展是有害的,对模糊集合应用的推广也是十分有害的.1.2　Zadeh 模糊集合理论缺点之一Zadeh 模糊集合系统存在着不能描述部分客观世界模糊现象的缺陷.例1(在“不相交”的情况)　如果17岁隶属于青年的隶属度_y (17)=0.6,隶属于少年的隶属度_j (17)=0.4,按正常思维,青少年是青年和少年的并集,隶属于这个并集的隶属度应该是_yj (17)= 1.0.而Zadeh 模糊集合理论却给出_yj (17)=0.6的荒唐结果.1.3　Zadeh 模糊集合理论缺点之一的修补无效Zadeh 模糊集合理论只好借助于不自然的、人造的和难以解释的补充定义[2],如min{_A (u )+_B (u ),1}(粗体并)和max {0,_A (u )+_B (u )-1}(粗体交)来弥补.min{_A (u )+_B (u ),1}和max {0,_A (u )+_B (u )-1}仅仅是满足F (a ,0)=a ,G (a ,0)=0,F (a ,1)=1,G (a ,1)=a ,F (a ,1-a )=1,G (a ,1-a )=0和0≤a ,b ,F (a ,b ),G (a ,b )≤1的F (a ,b )及G (a ,b )的解.但是它对“包含”(指A 包含B ,或者B 包含A )的情况,反而不正确了.例2(在“包含”的情况)　假设30岁是青年的隶属度为0.2,是青少年的隶属度仍然是0.2,那么是青年和青少年的并集显然仍然应该是0.2,它却给出min{0.2+0.2,1}=0.4的荒唐结果.如果两组定义合在一起使用,不仅难于解释,也不知道什么情况下应该使用哪一个.事实证明,它仍然不能描绘客观世界的全部情况.例3(在“相交而不包含”的情况)　设身高1.7m 隶属于A (高个子)、B (中个子)、C (小个子)和D (矮个子)的隶属度分别为0.1、0.7、0.1和0.1,则有隶属于E (中高个子)和F (中小个子)的隶属度分别为0.8和0.8.那么隶属于E 和F 的交集G =E ∩F 和并集H =E ∪F 的隶属度应该是_E ∩F (1.7)=0.7和_E ∪F (1.7)=0.9.但是根据Zadeh 的公式,它们是_E ∩F (1.7)=min{0.8,0.8}=0.8和_E ∪F (1.7)=m ax {0.8,0.8}=0.8,而根据补救算式(粗体交和粗体并),它们是_E ∩F (1.7)=max {0.8+0.8-1,0}=0.6和_E ∪F (1.7)=min{0.8+0.8,1}= 1.没有一个正确!!1.4　Zadeh 模糊集合理论缺点之二Zadeh 模糊集合理论不可能存在反集.证明见后.1.5　Zadeh 模糊集合理论的错误例3的补充见表 1.令H =A ∪B ∪C ,有 u ∈U ,(_H (u )=1-_C (u )),H 包括C ,但不是C 的反集.表1　例3的补充T ab.1　The supplem ent o f exa mple 3u A B C D 1.55000.50.51.6000.20.40.41.6500.60.20.21.700.10.70.10.11.750.30.7001.800.70.3001.850.90.1001.90以上1.0 这不仅仅是“不容易讲清楚”[2]的问题,而且容易引起逻辑思维混乱和被误认为模糊集合必然与正常逻辑思维相悖.为什么Zadeh 模糊集合理论存在这些问题?模糊集合理论能否克服这些问题?模糊集合理论能否全部满足经典集合公式?min{_A (u ),_B (u )}、max {_A (u ),_B (u )}、min{_A (u )+_B (u ),1}和max {_A (u )+_B (u )-1,0}表示什么?后文将对此给出回答和构造性的证明.文献[3]介绍一个对Zadeh 模糊集合和关系的新的和自然的解释,但是未改变其不能满足经典集合理论的所有公式的事实.(评:没有涉及克服Zadeh 模糊集合理论的错误和缺点.)文献[4]介绍一个Zadeh 模糊集合与条件概率对应的观点.例如,E =“Ma ry is y oung ”,A x ={the ag e of M ary is x },H 0={Mary ′s age is g reater than 40}和H 1={M ary ′s ag e is less than 25}作为事件.模糊集合的隶属度_E (x )等于条件概率P (E |A x );且_E (x >40)=0和_E (x <25)=1分别对应于条件概率P 0(E |H )=0和P 1(E |H )= 1.(评:该论文没有涉及Zadeh 模糊集合理论的错误和缺点,其对应关系也是非本质的.)773　第5期 高庆狮:Zadeh 模糊集合理论存在问题证明及其改进——一个满足全部经典集合公式的C -模糊集合系统2　一个新模糊集合理论:C -模糊集合理论2.1　一个新的C -模糊集合系统在本文中,[a ,b ]表示实数闭区间[a ,b ]上的全部实数组成的集合.定义1　设U 、V 是经典集合,u 是U 的元素,v 是V 的元素,V =[0,1],即V 是实数闭区间[0,1]上的全部实数组成的集合.U ′=U ×V ,(u ,v )是U ′的元素.C -模糊集合系统中的C -模糊集合A 可以表达成为{(u ,Y A (u ),_A (u ))|u ∈U },其中Y A (u ) V ,_A (u )=|Y A (u )|∈[0,1],而|X |是X 的测度.事实上,C -模糊集合{(u ,Y A (u ),_A (u ))|u ∈U }可以被简写为{(u ,Y A (u ),|Y A (u )|)|u ∈U },而且进一步简写为{(u ,Y A (u ))|u ∈U }.其中Y A (u ) [0,1],_A (u )=|Y A (u )|∈[0,1].显然,C -模糊集合是经典集合.所以,所有经典集合的关系和运算应该都存在,并且满足全部经典集合的运算公式和定理.注:(1)如果V 是实数集,则测度是Lebesgue 测度.而且两个Y A (u )、Y B (u )之间的关系全部是指“本质关系”.关系包括不相交、包含、相交而不包含等关系.本质关系包括“本质不相交”、“本质包含”、“本质相交而不包含”等关系.“本质不相交”指相交部分的Lebesg ue 测度为0,“本质包含”指不包含部分的Lebesg ue 测度为0,“本质相交而不包含”指相交部分、A 不包含B 的部分及B 不包含A 的部分的Lebesg ue 测度都大于0. (空集)和K (全集)也是指本质空集和本质全集.本质空集是指它所包含的元素的Lebesg ue 测度为0,本质全集是指它与全集相比,缺少的部分的Lebesgue 测度为0.(2)如果V 是N 个元素的有穷集,则每个元素的测度为1/N 或者|v i |,其中|v i |满足∑Ni =1|v i |= 1.(3)本文所讨论的关系,不仅是本质关系,而且还是“等效关系”.如果模糊集合A 满足 u ∈U ,(_A (u )=1),定义A 为等效全集K ;如果模糊集合A 满足 u ∈U ,(_A (u )=0),定义A 为等效空集 ;如果模糊集合A 满足_A (u )=1,定义A 为在u 上等效全集K ;如果模糊集合A 满足_A (u )=0,定义A 为在u 上等效空集 .如果模糊集合A 与B ,满足 u ∈U ,(_A ∩B (u )=0),定义A 与B 为等效不相交,即相交部分为等效空集.如果模糊集合A 与B ,满足_A ∩B (u )=0,定义A与B 为在u 上等效不相交,即相交部分为等效空集.其他关系也类似,如等效包含、等效不相交、等效不包含等.本约定的目的为排除隶属度恒为0或者在某些u 为0的干扰,能够像概率论那样,P (K )=1,P ( )=0.而且如果P (A )=1,则A 为必然事件,A =K ;如果P (A )=0,则A 为不可能事件,A = .定义2　设U 、V 1和V 2是经典集合,u 是U 的元素,v i 是V i 的元素,V i 是实数区间[0,1],i =1,2,U ′2=U ×V 1×V 2,(u ,v 1,v 2)是U ′2的元素.C 2-模糊集合系统的模糊集合A 可以表达成为{(u ,Z A (u ),_A (u ))|u ∈U },Z A (u )={(v 1,Y 2A (u ,v 1))|v 1∈Y 1A (u )},_A (u )=|Z A (u )|∈[0,1],其中|X |是X 的测度,Y 1A (u ) V 1,Y 2A (u ,v 1) V 2.注:此定义不难扩充到C k -模糊集合系统,k ≥2.以下只讨论C -模糊集合系统,C k -模糊集合系统类似,k ≥2,不再重复.C k -模糊集合系统的一个应用参见2.2.2.定义3　任意两个C -模糊集合A 和B 的关系:包含(A B )可以定义为 u ∈U ,(Y A (u ) Y B (u )).相等(A =B )可以定义为 u ∈U ,(Y A (u )=Y B (u )).A 、B 不相交可以定义为 u ∈U ,(Y A (u )与Y B (u )不相交).774大连理工大学学报第45卷　　第5期 高庆狮:Zadeh模糊集合理论存在问题证明及其改进——一个满足全部经典集合公式的C-模糊集合系统775776大连理工大学学报第45卷　　第5期 高庆狮:Zadeh模糊集合理论存在问题证明及其改进——一个满足全部经典集合公式的C-模糊集合系统777778大连理工大学学报第45卷　　第5期 高庆狮:Zadeh模糊集合理论存在问题证明及其改进——一个满足全部经典集合公式的C-模糊集合系统779参考文献:[1]ZA DE H L A.Fuzzy sets [J].Inf and C ontrol ,1965,8:338-353.[2]D U BO IS D,PR ADE H.Fuzzy Sets and Systems :TheoryandApplications[M ].N ewY or k :Academic Press,1980.[3]SHIM O DA M.A na tur al interpr etatio n o f fuzzy setsa nd fuzzy r elations [J].Fuzzy Sets and Syst ,2002,128:135-147.[4]CO L E T T IG,SCO Z ZA FAV AR.Conditio na lpr obability ,fuzzy sets,and po ssibility :a unifying view [J].Fuzzy sets and Syst ,2004,144:227-249.Testification for bug of Zadeh -fuzzy set theory and improvement—C -fuzzy set theory that satisfies all classical set formulasGAO Qing -shi *1,2( 1.Univ .of Sci .and Technol .Bei jing ,Beiji ng 100083,China ;2.Dalian Univ .of Technol .,Dalian 116024,China )Abstract :The shortco ming s of Zadeh ′s fuzzy set theo ry,which can not cor rectly reflect differentkinds o f fuzzy phenom ena in the na tural w o rld,especialy can no t depict the phenom enon of cutting w ithout ″cov ering o r dispersly cov ering ″,are discussed.In addition,the proof of the error of Zadeh ′s fuzzy set theory ,which incor rectly defined the set com plement and w hich canno t exist in Zadeh ′s fuzzy set theo ry ,is pro po sed.This erro r of Zadeh ′s fuzzy set theory causes confusion in thinking ,lo gic a nd conception.Zadeh mistook the shor tco ming s of [2-o rder ]for ″challeng e to tradition ″and as ″the adv anced results o f getting rid of traditional constraints ″.He used ″o perator ″(no general ex planation as probability theory fo r different equa tions)to conceal sho rtcoming s.This idea induced system confusio n (no o ne kno w s when and w hat kind of o perato r is used),and causes serio us mistake of the belief that logics o f fuzzy sets necessarily g o ag ainst classical and normal thinking ,logic a nd conception.To solv e this pro blem ,a new fu zzy set theory ,C -fuzzy set theory is pro posed.It has com plement,and it can overcome the erro r and the shortco ming of Zadeh ′s fuzzy set theory ,and it is consistent with no rmal,natura l and classical thinking,logic and co ncepts.Key words :classical set;Zadeh ′s fuzzy set;set;complement;C -fuzzy set780大连理工大学学报第45卷　。