2020年兰州一中高三数学模拟试卷（一）文科数学（命题：韩慧萍 审题：许娟） （考试时间：120分钟 试题满分：150分）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合{|||2}A x N x =∈，2{|1}B y y x ==-，则A B 的子集个数为( )A ．2B ．4C ．8D ．162．已知复数z 满足(4)1i z i +=+，则z 的虚部为( )A ．i -B ．iC ．1-D ．13．如图是某学校高三年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩y 关于测试序号x 的函数图象，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图象，给出下列结论： ①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好； ②二班成绩不够稳定，波动程度较大；③三班成绩虽然多次低于年级平均水平，但在稳步提升. 其中错误的结论的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3 4．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是( )A ．()211f x x =- B ．()211f x x =+C ．()11f x x =- D ．()11f x x =-5．已知正项等比数列{}n a 中，354a a =，且4a ，61a +，7a 成等差数列，则该数列公比q 为( ) A ．14B ．12C ．2D ．46．已知函数()x x f x e e -=-（e 为自然对数的底数），若0.50.7a -=，0.5log 0.7b =，0.7log 5c =，则( ) A ．()()()f b f a f c << B ．()()()f c f b f a << C ．()()()f c f a f b << D ．()()()f a f b f c <<7．设tan α=12，cos(π+β)= -45（β∈（0，π）），则tan(2α-β)的值为( ) A ．724-B ．524-C ．524D ．7248. 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为AC ，A 1B 的中点，则下列说法错误．．的是( ) A.MN ∥平面ADD 1A 1B. MN ⊥ABC.直线MN 与平面ABCD 所成角为45°D.异面直线MN 与DD 1所成角为60°9．过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆截直线20x ay ++=所得弦长的最小值等于（ ）A ．3B ．3C 13D ．1310．已知线段AB =4，E ，F 是AB 垂直平分线上的两个动点，且||2EF =，则AE BF ⋅的最小值()A ．5-B ．3-C ．0D ．311．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,,F F O 为坐标原点.P 是双曲线在第一象限上的点，直线2,PO PF 分别交双曲线C 左、右支于另一点,M N .若122PF PF =, 且260MF N ∠=，则双曲线C 的离心率为（ ）A 2B 3C ．7D ．33212．如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为( ) A.30π B. 41π C. 30π D. 64π第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．命题“000,sin cos 2x R a x x ∃∈+≥”为假命题，则实数a 的取值范围是____________． 14．在数列{a n }中，a 1=1，a 2=5，a n+2=a n+1-a n (n ∈N +)，则S 2020= .15．设抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，点A 为抛物线C 上一点，以F 为圆心，F A 为半径的圆交l 于B 、D 两点，若∠BFD =120°,∆ABD 3p = .16．黎曼函数（Riemannfunction ）是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出，黎曼函数定义在[0,1]上，其定义为：()[]1,,0,0,10,1q qx p q p p p R x x ⎧⎛⎫=⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩当都是正整数，是不可以再约分的真分数当或者上的无理数，若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )+f(2-x )=0，当x [0,1]时，f (x )=R (x )，则103310f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______.三、 解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
)（一）必考题：共60分。
17. （本小题12分）共享单车又称为小黄车，近年来逐渐走进了人们的生活，也成为减少空气污染，缓解城市交通压力的一种重要手段．为调查某地区居民对共享单车的使用情况，从该地区居民中按年龄用随机抽样的方式随机抽取了21人进行问卷调查，得到这21人对共享单车的评价得分统计填入茎叶图，如下所示（满分100分）：（1）找出居民问卷得分的众数和中位数； （2）请计算这21位居民问卷的平均得分；（3）若在成绩为70~80分的居民中随机抽取3人，求恰有2人成绩超过77分的概率．18．（本小题12分）函数f (x )＝Ａsin(ωx +ϕ)(A >0，ω>0，0<ϕ<π)的部分图象如图所示，又函数g (x )=f (x +8π). （1）求函数g (x )的单调增区间；（2）设∆ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，又c 3 且锐角C 满足g (C )= -1，若sin B =2sin A ，，求∆ABC 的面积.19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2AB BC CD DA ====，1PA =，120BAD ∠=︒，E 为BC 的中点．（1）求证：AE ⊥平面PAD ；（2）若F 为CD 的中点，求点D 到平面PEF 的距离．20. （本小题12分）在直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1y x C a b +=(0a b >>)2，左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1 且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，AF 1，BF 1的中点分别为E ，F ，△OEF 的周长为22 （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设△ABF 2的重心为G ，若2||OG =，求直线l 的方程．21.（本小题12分）已知函数()(1)ln f x x x =-. （1）求()f x 的单调性；（2）若不等式e ()e x x f x x a ≥+在(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，按所做的第一题计分。
22．（本小题10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为12(x a t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，)a R ∈．在以坐标原点为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2223cos 24sin 3ρθρθ+=．（1）若点A (2,0)在直线l 上，求直线l 的极坐标方程；（2）已知a >1，若点P 在直线l 上，点Q 在曲线C 上，且|PQ |，求a 的值．23．（本小题10分）【选修4 — 5：不等式选讲】（1）解不等式|2x -1|+|x +2|≥3；（2）设a ，b ，c >0且不全相等，若abc =1，证明：a 2(b +c )+b 2(c +a )+c 2(a +b )>6．兰州一中2020届高三冲刺模拟试题解析（1）数学（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设集合{|||2}A x N x =∈，2{|1}B y y x ==-，则A B 的子集个数为( )A ．2B ．4C ．8D ．16 【解答】{|22}{0A x N x =∈-=，1，2}，{|1}B y y =，{0AB ∴=，1}，AB ∴的子集个数为224=个．故选：B ．2．已知复数z 满足(4)1i z i +=+，则z 的虚部为( ) A ．i -B ．iC ．1-D ．1【解答】(4)1i z i +=+，141iz i i+∴+==-，3z i ∴=--，∴复数z 的虚部为1-．故选C ． 3．如图是某学校高三年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩y 关于测试序号x 的函数图像，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图像，给出下列结论： ①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好； ②二班成绩不够稳定，波动程度较大；③三班成绩虽然多次低于年级平均水平，但在稳步提升 其中错误的结论的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3【解析】由图可知，一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好，故①正确；二班的成绩有时高于年级整体成绩，有时低于年级整体成绩，特别是第六次成绩远低于年级整体成绩，可知二班成绩不稳定，波动程度较大，故②正确；三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，只有第六次高于年级整体成绩，但在稳步提升，故③正确。
∴错误结论的个数为0，故选A. 4．我们从这个商标中抽象出一个图像如图，其对应的函数可能是( )A ．()211f x x =- B ．()211f x x =+ C ．()11f x x =- D ．()11f x x =-【解析】由图像得函数的定义域为{}1x x ≠±，排除B,C.由1()02f > 排除A.故选：D.5．已知正项等比数列{}n a 中，354a a =，且4a ，61a +，7a 成等差数列，则该数列公比q 为( ) A ．14B ．12C ．2D ．4【解答】解：正项等比数列{}n a 中，354a a =，可得0q >，24354a a a ==，即42a =，4a ，61a +，7a 成等差数列，可得47622a a a +=+，即322242q q +=+，解得2q =，故选：C ．6．已知函数()x x f x e e -=-（e 为自然对数的底数），若0.50.7a -=，0.5log 0.7b =，0.7log 5c =，则( ) A ．()()()f b f a f c << B ．()()()f c f b f a << C ．()()()f c f a f b <<D ．()()()f a f b f c <<【解析】因为0.50.71a -=>，01b <<，0c <，∴a b c >> 又()f x 在R 上是单调递减函数，故()()()f a f b f c <<. 故选:D . 7．设tan α=12，cos(π+β)= -45（β∈（0，π）），则tan(2α-β)的值为( ) A ．724-B ．524-C ．524D ．724【解析】，，，， ，，，，故选：D.8. 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为AC ，A 1B 的中点，则下列说法错误．．的是( ) A.MN ∥平面ADD 1A 1B. MN ⊥AB1tan 2α=22tan 4tan21tan 3ααα==-()4cos cos 5πββ+=-=-()(0,βπ∈4cos 5β∴=3sin 5β=3tan 4β=()43tan2tan 734tan 2431tan2tan 24134αβαβαβ---===++⨯C.直线MN 与平面ABCD 所成角为45°D.异面直线MN 与DD 1所成角为60°【解析】如图，连结BD ，1A D ，由M ，N 分别为AC ，1A B 的中点知 1//MN A D ， 选项A 、B 、C 均正确；而11A DD ∠为异面直线MN 与1DD 所成角，应为45°. 故选D.9．过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆截直线20x ay ++=所得弦长的最小值等于（ ）A ．3B ．3C 13D ．13【解析】设圆心坐标P 为（a,-2），则r 2＝()()()()2222132422a a -++=-++，解得a=1，所以P （1，-2）.又直线过定点Q （-2，0），当直线PQ 与弦垂直时，弦长最短，根据圆内特征三角形可知弦长22l=2r -PQ =225-13=43直线20x ay ++=被圆截得的弦长为3B ．10．已知线段AB =4，E ，F 是AB 垂直平分线上的两个动点，且||2EF =，则AE BF ⋅的最小值( )A ．5-B ．3-C ．0D ．3【解答】以AB 所在直线为X 轴，AB 的中垂线为Y 轴，建立如图所示坐标系；则(2,0)A -，(2,0)B ，设(0,)E y 则(0,2)F y -；∴(2,)AE y =，(2,2)BF y =--；∴24(2)(1)5AE BF y y y =-+-=--；∴当1y =时，AE BF 的最小值为5-；故选：A ．方法二：2444()52AE BF AC CE BC CF CE CF CE CFCE CF CE CF =+++=--=--≥--=-（）（）=-4+ 11．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,,F F O 为坐标原点.P 是双曲线在第一象限上的点，直线2,PO PF 分别交双曲线C 左、右支于另一点,M N .若122PF PF =, 且260MF N ∠=，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．7D ．332【解析】由题意，a PF PF PF PF 2,22121=-=，a PF a PF 2,421==∴，又︒=∠∴︒=∠60,60212PF F N MF ,由余弦定理可得，解得：︒⋅⋅-+=60cos 2424164222a a a a c ，得a c 3=，3==∴ace ，综上所述，选B. 12．如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为( ) A.30π B. 41π C. 30π D. 64π【解析】根据三视图得出，该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥ABCD O -， 正方体的棱长为4，A 、D 为棱的中点，根据几何体判断：球心应该在过A 、D 的平行于底面的中截面上， 设球心到截面BCO 的距离为x ，则到AD 的距离为x -4，∴222)22(+=x R ，222)4(2x R -+=，解得出：23=x ，4418)23(22=+=R ， 该多面体外接球的表面积为：ππ4142=R ，选B 。