让我们先来认识一下俩位伟大的科学家
海伦（Heron of Alexandria，公元62年左右，生平不详），古希腊数学 家、力学家、机械学家。约公元62年活跃于亚历山大，在那里教过数学、物 理学等课程。海伦在论证中大胆使用某些经验性的近似公式，注重数学的实 际应用。他比较著名的著作之一是海伦公式。 海伦公式：假设在平面内，有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面 积S可由以下公式求得：
S p( p a)(p b)(p c)
而公式里的p为半周长（周长的一半）：
p abc 2
中国古代数学家------秦九韶
秦九韶（1208年－1261年），字道古，汉族，生于普州安岳（今四川省 安岳县）。南宋官员、数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。 精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，历任琼州知府、司农丞， 后遭贬，卒于梅州任所，1247年完成著作《数书九章》，其中的大衍求一术 （一次同余方程组问题的解法，也就是现在所称的中国剩余定理）、三斜求 积术和秦九韶算法（高次方程正根的数值求法）是有世界意义的重要贡献， 表述了一种求解一元高次多项式方程的数值解的算法-正负开方术。
a2
b2 4
c2
2
问：上面我们推导出了秦九韶公式，既然俩位科学家都是用 三角形的三边来求三角形的面积，那么海伦公式是否可以通过 秦九韶公式得到？
S
1 4
a 2b 2
a2
b2 4
c2
2
p( p a)( p b)( p c)
注：推导过程看黑板。
上面的推导过程说明海伦公式与秦九韶公式实质上是 同一个公式，所以我们也称为海伦-秦九韶公式。
他曾经提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式：
S
1 4
a2b2

a2
b2 4
c2
2
上面的俩位科学家都给出了用三角形的三边来求面积的公式， 那么是如何得到的？又有什么关系呢？
如图，在三角形ABC中，三条边分别为a，b，c，求三角形的面积。
A
解: 过点A作AD垂直于BC，交BC
点
点D，设BD=x ，则CD=a-x。
S p( p a)( p b)( p c)
17 (17 6)(17 5)(17 4)
22
2
2
15 7 4
四．课堂小结
该部分知识在初中阶段了解即可，但实用性非常大， 同学们应该掌握其推导过程，记住公式，并且能够 灵活运用。同时应该在推导过程中体会数学的美与 魅力。
则
则由勾股定理可知：
c
在Rt ADC 与Rt ADB中，
b
AD2 b2 x2
B D a
C AD2 c2 a x2
c2 a x2 b2 x2
化简得：x b2 a 2 c 2 , 2a
则AD
b2
b2 a2 c2 4a 2
2
SABC 1 a AD
2
1 4
a 2b2
海伦-秦九韶公式
回答下面几个问题：
问题1：求三角形面积的方法有哪些？
S 1 底高 2
问题2 ：如果知道三角形的三边，是否可以求出三角形的 面积？
教师总结：如果三角形的三边为特殊的数，如一组勾 股数（3,4,5），则由勾股定理的逆定理可知，该三角形 为直角三角形，所以可以求出三角形的面积。
问题3：如果三角形的三边不能够组成勾股数，那么是否 也可以求三角形的面积？
同时，应该注意的是我国数学家秦九韶得出结论的时 间比海伦公式早了约600多年。但由于海伦公式比秦九韶 公式更加容易记忆，所以在日常生活中，我们一般采用海 伦公式，即
S p( p a)(p b)(p c)
课堂练习
在三角形ABC中，AB=6,AC=5,BC=4,请用海伦-秦九韶公式求三角 形ABC的面积。 解：由题意可知：p= 6 5 4 17 由海伦-秦九韶公式得 2 2