时钟问题（一）
【知识要点】
时钟问题就是研究钟面上时针和分针关系的问题。
大家都知道，钟面的一周分为60格，分针每走60格，时针正好走5格，所以时针的速度是分针速度的5
÷60＝12
1。
时钟问题经常围绕着两针（指示针和分针）重合、两针垂直、两针
成直线、两针成多少度角提出问题。
因为时针与分针的速度不同，并且都沿顺时针方向转动，所以经常将时钟问题转化为追及问题来解。
【例题讲解】
例1．现在是2点，什么时候时针与分针第一次重合？
例2．在7点与8点之间，时针与分针在什么时刻相互垂直？
例3．在3点与4点之间，时针和分针在什么时刻位于一条直线上？
例4．晚上7点到8点之间电视里播出一部动画片，开始时分针与时针正好成一条直线，结束时两针正好重合。
这部动画片播出了多长时间？
例5．3点过多少分时，时针和分针离“3”的距离相等，并且在“3”的两边？
例6．小明做作业的时间不足1时，他发现结束时手表上时针、分针的位置正好与开始时时针、分针的位置交换了一下。
小明做作业用了多少时间？
【课内练习】
1．时针与分针在9点多少分时第一次重合？
2．王师傅2点多钟开始工作时，时针与分针正好重合在一起。
5点多钟完工时，时针与分针正好又重合在一起。
王师傅工作了多长时间？
3．8点50分以后，经过多长时间，时针与分针第一次在一条直线上？
4．小红8点钟开始画一幅画，正好在时针与分针第三次垂直时完成，此时是几点几分？
5．3点36分时，时针与分针形成的夹角是多少度？
6．3点过多少分时，时针和分针离“2”的距离相等，并且在“2”的两边？
7．小明在7点与8点之间解了一道题，开始时分针与时针正好成一条直线，解完题时两针正好重合，小明解题共用了多少时间？
答案
【例题讲解】
例1 现在是2点，什么时候时针与分针第一次重合？
分析：如右图所示，2点分针指向12，时针指向2，分针在时针后面5×2
＝10（格）。
因为时针速度是分针的121，所以分针走1格，时针走12
1
格，分针
比时针多走1－121（格）。
分针要比时针多走10格，需走10÷12
11
＝121110（格），
即11
1010
例2 在7点与8点之间，时针与分针在什么时刻相互垂直？ 分析与解：7点时分针指向12，时针指向7（见右图），分针在时针后 面5×7
＝35（格）。
时针与分针垂直，即时针与分针相差15格，在7点与8点之间，有下图所示的两种情况：
（1）顺时针方向看，分针在时针后面15格。
从7点开始，分针要比时针多走35-15=20（格），需
（2）顺时针方向看，分针在时针前面15格。
从7点开始，分针要比时针多走35＋15＝50（格），需
例3 在3点与4点之间，时针和分针在什么时刻位于一条直线上？ 分析与解：3点时分针指向12，时针指向3（见右图），分针在时针后 面5×3＝15（格）。
时针与分针在一条直线上，可分为时针与分针重合、时针与分针成180°角两种情况（见下图）：
（1）时针与分针重合。
从3点开始，分针要比时针多走15格，需15÷
（2）时针与分针成180°角。
从3点开始，分针要比时针多走15＋30＝45
（格），需45÷⎪⎭
⎫ ⎝⎛-1211＝11149（分）。
此时是3点11149分。
例4 晚上7点到8点之间电视里播出一部动画片，开始时分针与时针正好
成一条直线，结束时两针正好重合。
这部动画片播出了多长时间？
分析与解：这道题可以利用例3的方法，先求出开始的时刻和结束的时刻，
再求出播出时间。
但在这里，我们可以简化一下。
因为开始时两针成180°，结束时两针重合，分针比时针多转半圈，即多走30格，所以播出时间为
例1～例4都是利用追及问题的解法，先找出时针与分针所行的路程差是多少格，再除以它们的速度差求出准确时间。
但是，有些时钟问题不太容易求出路程差，因此不能用追及问题的方法求解。
如果将追及问题变为相遇问题，那么有时反而更容易。
例5 3点过多少分时，时针和分针离“3”的距离相等，并且在“3”的两边？ 分析与解：假设3点以后，时针以相反的方向行走，时针和分针相遇的时刻就是本题所求的时刻。
这就变成了相遇问题，两针所行距离和是15个格。
分针
速度为每分钟一格，时针速度为每分钟12
1
格，列成算式是：
3点13
11
13
分，时针与分针在“3”的两侧，且离“3”的距离相等。
例6 小明做作业的时间不足1时，他发现结束时手表上时针、分针的位置正好与开始时时针、分针的位置交换了一下。
小明做作业用了多少时间？
分析与解：从左上图我们可以看出，时针从A 走到B ，分针从B 走到A ，两针一共走了一圈。
换一个角度，问题可以化为：时针、分针同时从B 出发，反向而行，它们在A 点相遇。
两针所行的
时
间是：
【课内练习】
1.时针与分针在9点多少分时第一次重合？
解：11149121145=⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-÷（分）
2.王师傅2点多钟开始工作时，时针与分针正好重合在一起。
5点多钟完工时，时针与分针正好又重合在一起。
王师傅工作了多长时间？
解：分针比时针多转5-2=3（圈），所以王师傅工作了
()1141961211360=⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-÷⨯（分）＝3时11416分。
3.8点50分以后，经过多长时间，时针与分针第一次在一条直线上？
解：从9点开始，分针还要比时针多走15格，所求时间为
10＋15÷114261211=⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-（分）。
4.小红8点钟开始画一幅画，正好在时针与分针第三次垂直时完成，此时是
几点几分？
解：8点分针在时针后面40格，第一次垂直分针要比时针多走40-15=25
（格），第三次垂直要多走25＋30×2=85（格），需85÷118921211=⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-（分）＝
1时32
11
8
（分）。
完成时是9点32
11
8
分。
5.3点36分时，时针与分针形成的夹角是多少度？ 解：分针走36格，时针走36÷12=3（格）。
3点36分时，分针在时针前面36-（5×3＋3）=18（格），它们形成的夹角是
360°×（18÷60）＝108°。
6.3点过多少分时，时针和分针离“2”的距离相等，并且在“2”的两边？
解：与例5类似，假设2点以后，时针以相反的方向走，时针与分针第2次相遇的时刻就是所求的时刻。
第一次相遇，两针共走5×2＝10（格），第二次相遇，两针还要共走一圈，即60格。
所以需要 （10＋60）÷138641211=⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+（分）＝1时4138分，
即3点4
13
8
分，时针和分针位于“2”的两侧，且距离相等。
7.小明在7点与8点之间解了一道题，开始时分针与时针正好成一条直线，解完题时两针正好重合，小明解题共用了多少时间？ 解：要求小明解题共用了多少时间，必须先求出小明解题开始时是什么时刻，解完题时是什么时刻。
①小明开始解题时的时刻： 因为小明开始解题时，分针与时针正好成一条直线，也就是分针与时针的夹角为180°，此时分针落后时针60×（180÷360）=30（个）格，而7点整时分针落后时针5×7＝35（个）格，因此在这段时间内分针要比时针多走35－30＝5（个）
格，则这段时间为⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-÷12115＝1155（分），所以小明开始解题时是7点1155分。
②小明解题结束时的时刻：
因为小明解题结束时，两针正好重合，那么从7点整到这一时刻分针要比时
针多走5×7＝35（个格，因此这一段时间为：⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-÷121135＝11238（分）。
所以
小明结束时是7点11
2
38
分。
最后求小明解题所用的时间：。