函数的单调性与最值一、 知识梳理：（阅读教材必修1第27页—第32页）1．对于给定区间D 上的函数)(x f ，对于D 上的任意两个自变量12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说)(x f 在区间D 上是增函数; 当12x x <时，都有12()()f x f x >， 则称)(x f 是区间D 上减函数.2．判断函数单调性的常用方法：（1）定义法： （2）导数法： （3）利用复合函数的单调性; (4) 图象法.3.设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数.4.设)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.5.如果)(x f 和)(x g 都是增(或减)函数,则在公共定义域内是)()(x g x f +增(或减)函数;)(x f 增)(x g 减,则)()(x g x f -是增函数;)(x f 减)(x g 增,则差函数)()(x g x f -是减函数.6．基本初等函数的单调性（1）一次函数y kx b =+. 当0k >在(),-∞+∞上是增函数；当0k <在(),-∞+∞上是减函数（2）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠.当0a >在,2b a ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦上是减函数；在,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上是增函数； 当0a <在,2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上是增函数；在,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上是减函数； （3）反比例函数(0)ky k x=≠.当0k >在(),0-∞上是减函数，在()0,+∞上是减函数；当0k <在(),0-∞上是增函数，在()0,+∞上是增函数。

（4）指数函数(0,1)xy a a a =>≠.当1a >在(),-∞+∞上是增函数；当01a <<在(),-∞+∞上是减函数。

（5）指数函数log (0,1)a y x a a =>≠当1a >在()0,+∞上是增函数；当01a <<在()0,+∞上是减函数。

7.函数的最值对于函数y=f(x)，设定义域为A ，则 （1）、若存在，使得对于任意的，恒有 成立，则称f()是函数f(x)的 。

（2）、若存在，使得对于任意的，恒有 成立，则称f()是函数f(x)的 。

二、题型探究【探究一】：判断证明函数的单调性例1：试判断函数2()1xf x x =-在区间（0，1）上的单调性.例2：下列函数中，在区间]0,(-∞上是增函数的是（ ） （A ）842+-=x x y （B ） )(log 21x y -= （C ）12+-=x y （D ）x y -=1 探究二：抽象函数的单调性 例3：【2013师大精典题库】定义在R 上的函数f(x)，f(0) ,当x>0时, f(x)>1,且对任意的a 、b ，有f(a+b)=f(a)f(b). (1)求证：f(0)=1；(2)求证：对任意x ，f(x)> 0； (3)证明：f(x)是R 上的增函数。

例4：函数f(x)对任意a 、b ，有f(a-b) = f(a)-f(b)+1, 且x>0,时, f(x)> 1。

(1)证明：f(x)是R 上的增函数；(2)若f(4)=5,解关于m 的不等式f(3<3.探究三：与单调性有关的参数问题例5：若函数()y f x =在R 单调递增，且2()()f m f m >-，则实数m 的取值范围是（ ） .A (),1-∞- .B ()0,+∞ .C ()1,0- .D (),1-∞-()0,+∞探究四、函数的单调性与最值 例6：求下列函数的值域1、 y ＝－x 2－6x －5 2、 y=x+ 3、4、 ,表示不超过x 的最大整数例7：12．求f (x )＝x 2－2ax －1在区间[0,2]上的最大值和最小值．解：f (x )＝(x －a )2－1－a 2，对称轴为x ＝a . w w w .x k b 1.c o m①当a ＜0时，由图①可知， f (x )min ＝f (0)＝－1， f (x )max ＝f (2)＝3－4a .②当0≤a ＜1时，由图②可知， f (x )min ＝f (a )＝－1－a 2， f (x )max ＝f (2)＝3－4a .③当1≤a ≤2时，由图③可知， f (x )min ＝f (a )＝－1－a 2， f (x )max ＝f (0)＝－1.④当a ＞2时，由图④可知， f (x )min ＝f (2)＝3－4a ， f (x )max ＝f (0)＝－1.综上所述，当a ＜0时，f (x )min ＝－1，f (x )max ＝3－4a ；当0≤a ＜1时，f (x )min ＝－1－a 2，f (x )max ＝3－4a ；当1≤a ≤2时，f (x )min ＝－1－a 2，f (x )max ＝－1； 当a ＞2时，f (x )min ＝3－4a ，f (x )max ＝－1. 三、方法提升1、 函数的单调性只能在函数的定义域内讨论，函数在给定的区间的单调性反映函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质 ，但不一定是函数在定义域内上的整体性质，函数的单调性是针对某个区间而言的，所以受到区间的限制；2、 求函数的单调区间，首先请注意函数的定义域，函数的增减区间都是定义域的子区间;其次，掌握基本初等函数的单调区间，常用的方法有：定义法，图象法，导数法； 3、 利用函数的单调性可以解函数不等式、方程及函数的最值问题。

四、反思感悟。

五、课时作业一、选择题1. 【15高考改编】函数)ln()(2x x x f -=的定义域为（ ）A. ),1()0,(+∞-∞ B ),1[]0,(+∞-∞ C.)1,0( D. ]1,0[2. 【15高考改编】已知函数||5)(x x f =，)()(2R a x ax x g ∈-=，若1)]1([=g f ，则=a （ C ）A. 3B. 2C. 1D. -13.已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调递增，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是（A ）A ．（13，23） B ．（∞-，23） C ．（12，23） D ．⎪⎭⎫⎝⎛+∞,32 4.若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是 （D ）A ．)2()1()23(f f f <-<- B ．)2()23()1(f f f <-<-C ．)23()1()2(-<-<f f f D ．)1()23()2(-<-<f f f5.已知f （x ）是R 上的奇函数()f x ，且f （2）=0，x 为单调增函数，求x f （x ）的解集（ ）A ．[-2，0] B.C. D.6.偶函数 在 上单调递增，则 与 的大小关系是（ ）A ．)2()1(+≥+b f a fB ．)2()1(+<+b f a fC ．)2()1(+≤+b f a fD ．)2()1(+>+b f a f7.设a ，b ∈R ，且a ＞0，函数f (x )＝x 2＋ax ＋2b ，g (x )＝ax ＋b ，在[－1，1]上g (x )的最大值为2，则f (2)等于( )．A ．4B ．8C ．10D ．168.函数f(x)= x 2+2(a －1)x+2在区间(－∞,4)上递减,则a 的取值范围是( ) A. [)3,-+∞B. (],3-∞-C. (－∞,5)D.[)3,+∞9.已知函数3()log 2,[1,9]f x x x =+∈，则函数22[()]()y f x f x =+的最大值是 （ ） A ．22 B ．13 C ．11 D ．－310.函数xx xx x x f cos 22)4sin(2)(22++++=π的最大值为M ，最小值为m ，则 A.4=-m M B.4=+m M C.2=-m M D.2=+m M二、填空题11.函数⎩⎨⎧++=762)(x x x f ]1,1[]2,1[-∈∈x x ，则)(x f 的最大值、最小值为 。

12. 当x 则函数的最大值为 。

13.设x ∈R ，则函数f (x ) =16)12(122+-++x x 的最小值为 。

14.已知22x y ++22(8)(6)x y -+-= 20，则| 3 x – 4 y – 100 |的最大值为 ，最小值为 。

三、解答题15.求证：函数()1f x x x=+，在区间()0,1上是减函数。

16.已知函数. （1）当12a =时，求函数()f x 的最小值； （2）若对任意[2,),()0x f x ∈+∞>恒成立，求实数a 的取值范围。

17.已知函数()12(1)x x f x a a a 2=--> （1）求函数()f x 的值域；（2）若[2,1]x ∈-时，函数()f x 的最小值为7-，求a 的值和函数()f x 的最大值。

18.对于定义域为D 的函数)(x f y =，若同时满足下列条件：①)(x f 在D 内单调递增或单调递减；②存在区间[b a ,]D ⊆，使)(x f 在[b a ,]上的值域为[b a ,]；那么把)(x f y =（D x ∈）叫闭函数。

（1）求闭函数3x y -=符合条件②的区间[b a ,]； （2）判断函数)0(143)(>+=x xx x f 是否为闭函数？并说明理由； （3）判断函数2++=x k y 是否为闭函数？若是闭函数，求实数k 的取值范围。

答案解析一、选择题1.A2.C3.A4.D5.A6.D7.B8.B9.B 10.D二、填空题11.10,－1 12. 13.1314.100 + 253，100 – 253。

三、解答题15.解析：设()120,1x x <∈则()()()()()()121212211212121212121211 1 11 f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -=+---=-+⎛⎫=-- ⎪⎝⎭-=-12x x < 120x x -< ()120,1x x ∈ 120x x > 1210x x -<()()120f x f x ∴->()()12f x f x ∴>∴()1f x x x=+在区间()0,1上是减函数。