2016级高三文科数学综合训练试题（3）一、选择题1．若复数z 满足()21z i ⋅-=（i 为虚数单位），则z =（ ）AB ．15 CD2．已知全集{}2|1U x x =≥，集合(){}|ln 10A x x =-≤，则U C A =（ ）A ．{}|12x x x ≤->或B ．{}|2x x >C ．{}|12x x x x ≤->或=1或D ．{}|=12x x x >或 3．在ABC ∆中，角,A B C ,所对的边分别为,,a b c．若3,60a b A ==︒，则边c =（ ）A ．1B ．2C ．4D ．64．设,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不重合的平面．下列命题中正确的是（ ）A ．若,,//a a αβαβ⊥⊥则B ．若,a b 与α所成的角相等，则a b 与平行或相交C ．若α内有三个不共线的点到β的距离相等，则//αβD ．若,b aαβ⋂=//,//a a b αβ且则5．已知样本：8 6 4 7 11 6 8 9 10 5 则样本的平均值x 和中位数a 的值是（ ）A ．7.3,7.5x a ==B ．7.4,7.5x a ==C ．7.3,78x a ==和D ．7.4,78x a ==和 6．如图是某算法的程序框图，当输出的结果70T >时，正整数n 的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 7．记集合(){}22,|16A x y xy =+≤，集合()(){},|40,,B x y x y x y A =+-≤∈表示的平面区域分别为12,ΩΩ．若在区域1Ω内任取一点(),P x y ，则点P 落在区域2Ω中的概率为（ ）A ．24ππ- B ．324ππ+ C ．24ππ+ D ．324ππ- 8．函数()2cos 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调增区间是（ ）A ．(),36k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭B ．()2,63k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭C ．()2,236k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭D ．()22,263k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭9．函数()(),f x g x 都不是常数并且定义域均为R ，则“()(),f x g x 同是奇函数或同是偶函数”是“()()f x g x 与的积是偶函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分条件也非必要条件 10．已知变量,x y 满足约束条件2x y x y a -≥⎧⎨+≤⎩，且z x ay =+的最大值为16，则实数a =（ ）A ．5-或6B ．5或6-C ．6-D ．611．已知双曲线()22221024x y b b b -=<<-与x 轴交于,A B 两点，点()0,C b ，则ABC ∆面积的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．812．在平面直角坐标系中，O 为原点，()()()4,0,0,4,1,0A B C -，动点D 满足1CD =，OA OB OD ++的最大值是（ ）AB． C ．6 D ．5 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13．已知方程：31210x x a -+-=在[]1,3上有解，则实数a 的取值范围是 ．14．已知三棱锥A BCD -满足棱,,AB AC AD两两互相垂直，且BC CD5BD =．则三棱锥A BCD -外接球的体积为 ．15．过点()3,1P -引直线，使点()2,3A -，()4,5B 到它的距离相等，则这条直线的方程为 ．16．把正整数排列成如图甲所示的三角形数阵，然后，擦去第奇数行中的奇数和第偶数行中的偶数，得到如图乙所示的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{}n a ．若n a =902，则n = ．三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题共12分）对于数列{}n a ，定义其积数是()123,nn a a a a V n N n+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∈．（1）若数列{}n a 的积数是1n V n =+，求n a ；（2）等比数列{}n a 中，23,a =324a a a 是和的等差中项，若数列{}n a 的积数n V 满足21n t V n -≥对一切n N +∈恒成立，求实数t 的取值范围．18．（本小题共12分）甲、乙两位同学玩猜数字游戏：（1）给出四个数字0，1，2，5，先由甲将这四个数字组成一个四位数，然后由乙来猜甲的四位数是多少，求乙猜对的概率；（2）甲先从1，2，3，4，5，6这六个数中任选出两个数（不考虑先后顺序），然后由乙来猜．若乙至少答对一个数则乙赢，否则甲赢．问这种游戏规则公平吗？请说明理由．19．（本小题共12分）已知E 是矩形ABCD （如图1）边CD 上的一点，现沿AE 将△DAE 折起至△D 1AE （如图2），并且平面D 1AE ⊥平面ABCE ，图3为四棱锥D 1—ABCE 的主视图与左视图． （1）求证：直线BE ⊥平面D 1AE ； （2）求点A 到平面D 1BC 的距离．20．（本小题共12分）已知函数()()ln ,xf x ex k =+（k 为常数，e =2.71828……是自然对数的底数）．函数()y f x =的导函数为()f x '，且()10f '=．（1）求k 的值；（2）设()()()()2,xxe g xf x f x e x x ϕ'⎡⎤=-+=⎣⎦，()()g x t x ϕ≤⋅恒成立．求实数t 的取值范围．21．（本小题共12分）已知O 为坐标原点，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴长为2，F 为其右焦点，P为椭圆上一点，且PF 与x 轴垂直， 3OF OP ⋅=．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，若以AB 为直径的圆恒过原点O ，求||AB 弦长的最大值. 选做题：请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，BA 是⊙O 的直径，AD ⊥AB ，点F 是线段AD 上异于A 、D 的一点，且BD 、BF 与⊙O 分别交于点C 、E ．求证：BC BFBE BD=．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为25x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），若以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=+． （1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）当()0,θπ∈时，求直线l 与曲线C 公共点的极坐标．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知实数a b 和()0b ≠，若不等式22a b a b M b ++-≤⋅有解，记实数M 的最小值为m ． （1）求m 的值；（2）解不等式13x x m -+-≤．2016级高三文科数学综合训练试题（3）含答案DCCDB BBAAD BC13．[]15,8-- 1415．41303x y x --==或 16．43612．=516OA OB OD OA OB OC CD OA OB OC CD +++++≤+++=+=17．解：（1）1n V n =+ ()1231na a a a n n ∴⋅⋅=+ ……………… ① 当2n ≥，()12311n a a a a n n -∴⋅⋅=-⋅ ……………… ② ①/②得：11n n a n +=- ……………………………………………………（4分） 当111,2n a V === 211n a n n ⎧⎪∴=+⎨⎪-⎩ ()()12,n n n N +=≥∈…………………（6分）（2）设等比数列{}n a 的公比为q 3a 是2a 和4a 的等差中项，且2a =33242a a a ∴=+ 22222a q a a q⋅=+ 2210q q -+= ()210q -= 1q ∴=………………………（8分）()3213,n n n t a V n N n n+-∴==≥∈则恒成立即()min213nt -≤ 213t -≤ 即2t ≤………………………………（12分）18．解：（1）由0，1，2，5组成的四位数共有18种，如下： 1025，1052，1205，1502，1250，1520，2015，2051，2105，2501，2150，2510， 5012，5021，5102，5201，5120，5210 ∴乙猜对的概率为118P =…………………………………………（6分） （2）从1，2，3，4，5，6中任选出2个数，共有15种，如下：（1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6） （2，3） （2，4） （2，5）（2，6） （3，4） （3，5） （3，6） （4，5） （4，6） （5，6） 乙赢的概率为93=155P =乙 甲赢的概率为62=155P =甲 P P >乙甲 ∴这种游戏规则不公平 …………………………………（12分）19．解：（1）证明：由主视图和左视图易知：1AD DE EC BC ====∴2AE BE AB === ∴222AE BE AB +=11BE AED AE ABCE D AE ABCE AE ∴⊥⎫⎪⊥⎬⎪⋂=⎭又平面平面平面平面1BE D AE ⇒⊥平面……………………（5分）（2）分别取,AE BC 中点M ，N 111D A D E ==111D M AED AE ABCE D AE ABCE AE ∴⊥⎫⎪⊥⎬⎪⋂=⎭ 又平面平面平面平面 ABCE M D 平面⊥⇒1 11D M BCMN BC D M MN M ∴⊥⎫⎪⊥⎬⎪⋂=⎭1BC D MN ⇒⊥平面 1BC D N ∴⊥ 1R t D M N ∆中，1322D M MN ==12D N ∴= 设A 到平面1D BC 的距离为d11A D BC D ABC V V --= 111133D BC ABC S d D M S ∆∆∴⋅=⋅⋅111122D N BC d D M AB BC ⋅⋅=⋅⋅121d ⋅=⨯d ∴=……………………（12分）20、解：（1）()()()1ln ,10xx f x ex k e f ek e x''=++⋅∴=+=1k ∴=- ………………………………………………………（4分）（2）()11ln xg x e x x ⎛⎫=⋅-- ⎪⎝⎭，由()()g x t x ϕ≤ 得11ln xx e e x t x x ⎛⎫--≤⋅ ⎪⎝⎭即()11ln 0tx x x x--≤> ()1ln 0t x x x x ∴≥--> 令()1ln h x x x x =--，()0x > 则()()2ln 20,h x x x e -'=-+== ()h x ∴在()()()()2222max10,,,,1e eh x h e e---+∞∴==+211t e ∴≥+ ……………………………………………………………（12分）21．解：（1）由已知得22,1b b ==，又32===∠=⋅c POF24a ∴= ∴椭圆C 的方程为2214x y += …………………………（5分） （2）（i ）当直线OA的斜率不存在或斜率为零时，易知||AB ==；…（7分）（ii ）当直线OA 的斜率存在且不为零时， 直线OA ，OB 互相垂直且由图像的对称性知，直线OA ，OB 为椭圆C 有四个交点，从中任取两点作弦长AB 所得的值相等. 设直线OA 方程为：y kx = ()0k ≠联立：2214y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得：22414x k =+ 不妨取A ⎛⎫ 同理取B ⎛⎫则||AB====<∴ 综上(i) (ii)可知：max ||AB ………………………（12分）22．证明：连接AC ，EC, 90BAC ABC ∠+∠=︒ ,90ABC FDB ∠+∠=︒∴BAC FDB ∠=∠，又=BAC BEC ∠∠，∴=BEC FDB ∠∠又=CBE FBD ∠∠，BCE BFD ∴∆∆∽,BC BFBE BD∴=……………………（10分）23．解：（1）由55y t =+得55t y =-，将其代入25x =+中得：280x y -+= ∴直线l 的直角坐标方程为280x y -+= …………………………（3分）由=2cos 4sin ρθθ+，得2=2cos 4sin ρρθρθ+2224x y x y ∴+=+ 即22240x y x y +--=∴曲线C 的直角坐标方程为22240x y x y +--=……………………………（6分）（2）由22280240x y x y x y -+=⎧⎨+--=⎩ 得04x y =⎧⎨=⎩ ∴直线l 与曲线C 的公共点为()0,4 ()0,θπ∈ ∴直线l 与曲线C 公共点的极坐标为4,2π⎛⎫⎪⎝⎭………（10分）24．解：（1）由22a b a b M b ++-≤⋅，得22a b a bM b++-≥()2222=4a b a b a b a bbb+--++-≥要使不等式22a b a b M b ++-≤⋅有解，则44M m ≥∴=，………………（5分） （2）由（1）知4m =，∴不等式为134x x -+-≤ 由绝对值的几何意义知04x ≤≤∴不等式解集为{}|04x x ≤≤…………………………（10分）。