《计算传热学基础》对空气在有泡沫金属介质管内流动与传热的研究热能与动力工程系10-1班张皓威10123113雒飞10123112陈诚10123115白代立10123122指导教师：黄善波巩亮徐会金2013年7月目录题目 (1)一、问题分析 (3)二、解题过程 (4)（一）对各个模型的流动和换热进行无量纲化 (4)1、对各个模型的换热进行无量纲化 (4)2、对各个模型的流动进行无量纲化 (5)（二）Darcy模型的温度分布 (7)（三）Brinkman模型的速度分布和温度分布 (9)（四）Forchheimer模型的速度和温度分布 (13)（五）Brinkman模型和Forchheimer模型的速度分布和温度分布进行对比。

(17)（六）Brinkman模型和Forchheimer模型的f, fRe, Nu值 (18)（七）总结 (20)附录 (21)附录1 计算Darcy模型的温度程序 (21)附录2 计算Brinkman模型的速度和温度及Nu程序 (23)附录3 计算Forchheimer模型的速度和温度及Nu程序 (26)附录4 计算f和fRe的程序 (30)参考文献 (31)问题三十三（难度：5.0）一根完全填充多孔介质管外表面为恒热流边界条件（2500m w q w =），管内径为00.02=r m ，平1=m u m s 的空气在管内流动，其内部层流充分发展流动模型通常有Darcy 模型、Brinkman 模型和forchheimer 模型，管内填充孔隙率为0.6ε=的多孔介质，渗透率表示为：()2321501εε=-d K惯性系数表示为：231.75150ε=F C有效导热系数表示为：(1)εε=+-e f s k k k充分发展的Darcy 流动模型：μ=-f dpu dz k （1） 充分发展的Brinkman 模型：2μμ∇=-+∇fe p u u K（2）充分发展的forchheimer 模型：2μμρε∇=-+∇-ff f FC p u u u u KK（3） 质量守恒方程：0=∇u动量方程：()()2ρμμρεε⋅∇=-∇---⎡⎤⎣⎦f f f f FC u u p u u u u J K K（4） 式中，J=u/∣u ∣是沿坐标轴方向的单位速度矢量；ρf 和μf 分别为流体的密度和动力粘度；V 为速度矢量；K ，ε，C F 分别为渗透率、孔隙率和惯性系数。

动量方程右边的4项分别为：压力梯度、Brinkman 项、Darcy 项和forchheimer 项。

能量守恒方程：()[]ρν⋅∇=∇⋅⋅∇f F e C T k T （5）参数：31.205ρ=f Kg m()0.0259=⋅f k W m k51.8110μ-=⨯398()=⋅s k W m k()153.54=⋅e k W m k231.750.2150ε==F C()1005=⋅f C J Kg k试通过数值迭代计算：1. 将该问题的流动和换热进行无量纲化；2. Darcy 模型的温度分布；3. Brinkman 模型的速度分布和温度分布，计算该模型下的f 、fRe 、Nu 数；4. forchheimer 模型的速度分布和温度分布，计算该模型下的f 、fRe 、Nu 数，并与Brinkman 模型的速度分布和温度分布进行对比。

组员分工：1、资料搜集：白代立2、能量方程无量纲化离散：张皓威3、Brinkman 模型无量纲化离散：雒飞4、Forchheimer 模型无量纲化离散：陈诚、白代立5、编程：雒飞、陈诚、张皓威6、word 录入：白代立 陈诚7、ppt 总结：张皓威一 问题分析（1）分析动量方程题目的研究对象是充满泡沫金属管内充分发展段的空气，边界条件为恒热流密度，求在不同模型下的速度和温度分布。

由于在垂直于轴向的圆形截面内，整个速度和温度分布呈轴对称，所以问题就变成求在圆形横截面内径向方向上的速度和温度分布。

由于流动过程为充分发展段，所以动量方程（4）等号左侧项等于0，可简化为：()20μμρε=-∇-∇--f f f F C p u u u u J K K根据上式可以得到不同模型的动量方程，即上面给到的式（1）、（2）、（3），所以在求每个模型的速度分布时可以直接对（1）、（2）、（3）式进行处理即可。

（2）分析温度的边界条件 ·0 ·1 ·2 ···· · N-2· N-1· R · NδR δR 用方法A 在径向从截面圆心到外边界取点如上图所示。

由元体能量法处理第二类边界条件(无内热源)10δ--+=N N w e T Tq k R1δ-=+w N N eq RT T k二 解题过程（一） 对各个模型的流动和换热进行无量纲化1．对各个模型的换热进行无量纲化：由于三种模型的能量方程均一样，温度解均用同一能量方程进行编程计算，唯一不同的是：在darcy 模型中U=um=1,在Brinkman 和Forchheimer 模型中计算各点温度需要将已计算出的各点速度带入U 即可，均为无量纲量。

对能量守恒方程（5）处理：1ρ∂∂∂⎛⎫= ⎪∂∂∂⎝⎭f F e T T C u k r x r r r其中温度的偏导为轴向的，可有以下得出：2500=w q W m在管子轴向取微元段：T T+dT2H dxrX能量守恒得：ρππ=22f F m w c u H dT q Hdx所以:2w f F m q dT dx c u H ρ=所以（5）式可化为：2221f f we mT T q u k Hu r r r⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭(6) 定义无量纲： f w f w sT T q H k θ-=r R H = =muU u 带入（6）式得：222f w f wm e ms s q q Uu k Hu RHk R k H R θθ⎛⎫∂∂=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭化简得无量纲式如下：22210θθ∂∂+-=∂∂f f seek U R R R k2．对各个模型的流动进行无量纲化（1）Darcy 模型由于该模型下的速度为平均速度，所以流动模型无需进行无量纲化。

（2）Brinkman 模型 动量方程的处理：该模型中的压降部分和Darcy 模型中的压降相等，由式(1)可得:μμ=-=-f f m dpu dz K K将上式带入到（2）式中去得：2μμμε-=-+∇f ff u u K K Brinkman 模型无量纲化221μμμε⎛⎫∂∂-=-++ ⎪∂∂⎝⎭f ffu u u K K r r r 定义无量纲： u=Uu m r=RH 代入得22221f ffU U U K K H RH R R μμμε⎛⎫∂∂-=-++ ⎪∂∂⎝⎭ 整理得该模型下的无量纲方程()222110U U H U R R R Kε∂∂++-=∂∂（3）Forchheimer 模型 动量方程的处理：该模型中的压降与前两种的有所不同，根据下式计算：2μρ=--f f F m m C dp u u dz K K将上式带入到（3）式得：22221μρμμρε⎛⎫∂∂--=-++-⎪∂∂⎝⎭ff Ffff F m mC C u u u u u u KK rr r KK整理得：222210μρμμρε⎛⎫∂∂+--++= ⎪∂∂⎝⎭f f F ff f F m m C C u u u u u u rr r K K K K定义无量纲： m U u u = R=r/H 代入得222220ff F m f mf f F m m m m C u u C u U u U U U u u H R RH RH K K K K μρμμρε⎛⎫∂∂+--++= ⎪∂∂⎝⎭整理得无量纲式子：2222222210f F m f Fm f f H C u H C U U H H U U u R R R K K K Kερερεεμμ∂∂+--++=∂∂（二） Darcy 模型的温度分布 无量纲式如下：22210θθ∂∂+-=∂∂f f seek U R R R k 离散后得到：222102θθθθθδ+--+-=∂E W PE W sep ek U R R R k由于该模型中的速度为已知的平均速度，取U=Um=1整理得：22222111122θθθδδδδδ⎛⎫⎛⎫=++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭se P E W p p e k R R R R R R R k （7） 边界条件：0=R ，0d dRθ= 1=R ，1se N e k Rk Rδθ-=-（由第二类边界条件可得） 由（7）式和边界条件可得计算方程组： 01θθ=1202221122111122se e k R R R R R R R k θθθδδδδδ⎛⎫⎛⎫=++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23122222221111()()22se ek R R R R R R R k θθθδδδδδ=++-- 。

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21322222221111()()22se N N N N N ek R R R R R R R k θθθδδδδδ-----=++--1se N e k Rk Rδθ-=-计算程序在附录1给出。

取距离壁面9H/10处的点进行独立性检验：所以取60段，61个节点。

由程序得到的结果如下图所示:在图1中，R表示径向，由图可知，流体和固体温度均随离开壁面距离的增大而迅速降低,且该数值和文献中的的相近，证明本程序是正确的。

（三） Brinkman 模型的速度分布和温度分布整个过程的流程图如下：在计算温度的时候需要用到每个点的速度值，所以两个量的计算在一个程序中完成。

1、 求速度分布该模型下的无量纲方程为：2221(1)0U U H U R R R Kε∂∂++-=∂∂ 离散2222102εεδδ+--+-+=E W P E W p p U U U U U H H U R R R K K整理得2222(2)(1)(1)22δεδδδε+=-+++P W E ppR H RRR H U U U KR R K（8）速度边界条件 010,0,∂===∂UR U U R1,0==N R U由式（8）和边界条件可得速度方程组为：01=U U 222210211(2)(1)(1)22δεδδδε+=-+++R H RRR H U U U KR R K222221322(2)(1)(1)22δεδδδε+=-+++R H RRR H U U U KR R K22221211(2)(1)(1)22δεδδδε----+=-+++N N N N N R H RRR H U U U KR R K(0)=N U（2）求温度分布： 无量纲式如下：22210θθ∂∂+-=∂∂ff se ek U R R R k 以下为对其离散过程：222102θθθθθδδ+--+-=E W P E W seP ek U R R R k 整理得:222221111()()22θθθδδδδδ=++--se P E W PP P e k U R R R R R R R k （9） 边界条件：010,0,θθθ===d R dR11,se N e k RR k R δθ-==-（由第二类边界条件可得）由式（9）和边界条件可得温度方程组为： 01θθ=120122211221111()()22θθθδδδδδ=++--se ek U R R R R R R R k 231222222221111()()22θθθδδδδδ=++--se e k U R R R R R R R k213222222221111()()22se N N N N N N ek U R R R R R R R k θθθδδδδδ------=++-- 1se N e k Rk Rδθ-=-计算程序在附录2给出。