写出下面每个数的所有的因数：
1的因数：（ 1
）
4 16的因数：（ 1、16、2、8、 ）
25的因数：（1、25、5 ） 36的因数：（1、36、2、18、 ） 3、12、
2的因数：（ 1、2 ） 3的因数：（ 1、3 ） 4的因数：（ 1、2、 ） 4 5的因数：（ 1、5 ） 6的因数：（ 1、2、 ） 3、 6 7的因数：（ 1、7 ） 8的因数： （ 1、2、4、8 ） 9的因数： （ 1、3、9 ） 10的因数：（ 1、2、5、10）
5、平方差公式A2－B2＝（A＋B）· （A－B）， 其中A＋B与A－B的奇偶性相同。

例6：已知一个自然数减去50是一个 完全平方数，而这个自然数加上39 也是一个完全平方数，求这个自然 数。


一个两位数与其数字相同而顺序相反的 两位数之和恰是一个完全平方数，这样 的数中最大的一个是多少？ 能不能找到自然数n，使n是完全平方数， 且n+1999也是完全平方数。
4、 9、 6
49的因数：（ 1、49、7 ）
完全平方数之“鸡系列”

3、“因鸡”：完全平方数有奇数个因数， 有奇数个因数的自然数是完全平方数。 。
（约数个数为3的自然数一定是某个 质数的平方。)

例2：有一百盏灯，排成一行，从左到右 我们给电灯编上号码1，2，3，4， 5，……，100，最初电灯全都是关着的， 有100名学生，也编成1，2，3，4，……， 100号，每人都在100盏灯前走过，凡是 电灯的号码能被自己的号码整除时，就 把这盏灯的开关拉一下，这样做之后， 哪些灯是亮着的。
观察：整数乘方的个位数字

整数的个位数字只有0，1，2，3，4， 5，6，7，8，9十种。下面我们列出 表格，看一看经过平方之后，个位数 字如何变化。
二、完全平方数的性质及推论


1、完全平方数的尾数只能是0，1， 4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。 2、在两个连续正整数的平方数之间 不存在完全平方数。
完全平方数之“鸡系列”

“藕鸡”：完全平方数个位为奇数，十位 必为偶数。反之不成立！
完全平方数之“鸡系列”

“鸡肉”：完全平方数的个位数字是6时， 他的十位数字一定是奇数。完全平方数 十位数字是奇数时，个位一定是6。

例4.甲乙二人合养了n头羊，而每头羊的 卖价恰为n元，全部卖完后，两人分钱的 方法如下：现由甲拿10元，再由乙拿10 元，如此轮流，拿到最后剩下不足10元 时，轮到乙拿去。为了平均分配，甲应 补给乙多少元？
二、完全平方数的性质及推论



7、完全平方数的个位数字为奇数时，十位数 字一定是偶数。 8、完全平方数的个位数字是6时，他的十位 数字一定是奇数。反之成立！ 9、完全平方数分解质因数后，每种质因子必 为偶数个，即每种质因子的指数必为偶数； 反之如果一个数分解质因数后，每种质因子 都为偶数个，即每种质因子的指数都为偶数， 则这个数必为完全平方数。

“两个鸡蛋”：完全平方数个位为0，十 位必为零。反之不成立！
练习：哪个数是完全平方数 ？
× 3240 × 8972 √ 2116 2475 × 2400 ×

袖珍性质：

1、鸡系列：因奇，偶奇，奇6，两个鸡蛋 2、个位不能是2,3,7,8 3、分解质因数每种质因子均为偶数个 4、被2,3,4除余0或1，被5,8除余0或1或4



例5．46035乘以一个自然数a，积是一 个整数的平方，求最小的a及这个整数。
3
a最小为3 5 11 31 5115
46035 3 5 11 31
补充


完全平方数个位为0，十位必为零。反之 不成立！ 完全平方数个位是5，十位必为2。反之 不成立！
完全平方数之“鸡系列”
二、完全平方数的性质及推论



4、若质数p整除完全平方数a2，则 p能整除a。 5、完全平方数被2或3或4除的余数 是0或1。 6、完全平方数被5或8除的余数为0 或1或4。
【例3】问在数列1，11，111， 1111，…，11111...1 中，有几个完全平 n个1 方数？


∵完全平方数被4除余0或余1 ∴1是完全平方数，11不是完全平方 数，在这一列数中，除1外，其余各 数被4除都余3，从而这一列数中，除 1外没有完全平方数。
4 5 6 7 1 292
2 2
二、完全平方数的性质及推论

10、完全平方数若能被质数p整除，则一定能被p2 整除（完全平方数若能被3整除，则一定能被9整 除；完全平方数若能被5整除，则一定能被25整 除；…）
11、两个完全平方数的积还是完全平方数。一个 完全平方数与一个非完全平方数的积不是完A＋B与A－B的奇偶性相同。
一、什么是完全平方数？


一个自然数平方后所得到的数叫完全 平方数，也叫平方数。 0，1，4，9，16，25，36，49，64， 81，100，121，144，169，196，225， 256，289，324，361，400，441， 484，……都是完全平方数，同学们 要数记前20个完全平方数。
1 2 3 4 1 5 2 2 3 4 5 1 11 3 4 5 6 1 19
2 2
a a1 1n ) a n 2) 3 ( a 1 3 ) a (a 3) 1 1 n n( (2 n(n 3) 1
【例1】下面是一个算式

1+1×2+1×2×3+1×2×3×4+1×2×3×4 ×5+1×2×3×4×5×6 这个算式的得数是否是某个数的平方？

∵和的末位数字为1+2+6+4+0+0 =3 但完全平方数的末位数字不可能为2，3，7,8。 ∴ 该和不是完全平方数。
对应练习：

若1×2×3×……×n+3是一个自然 数的平方，试确定n的值。