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定积分复习重点
定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使
用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物
理问题等．
1. 定积分的运算性质
(1) b
b
kf (x)dx
k f (x)dx(k 为常数 ).
a a
(2) b
b
f 1 ( x)dx
b
2 ( x)dx.
[ f 1 ( x) f 2 ( x)]dx
f a a a
b
c b 其中 a<c<b
(3) f (x)dx
f (x)dx f ( x)dx(
a
a c
2．微积分基本定理
如 果 f ( x) 是 区 间 [a ， b] 上 的 连 续 函 数 ， 并 且 F '
( x)
f ( x) ， 那 么
b
F (a)
f ( x)dx F (b)
a
，这个结论叫微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼兹公式。
3. 求定积分的方法
（ 1）利用微积分基本定理就定积分①对被积
分函数 , 先简化 , 再求定积分 .
3
(1-2sin 2
)d
( 2
x 23
) x
(-cos x) sin x 例如： 0 2 注： 3
， ②分段函数 , 分段求定积分 , 再求和 . （被积函数中带有绝对值符号时，计算的基本思路就是用分段函数表示被积函数，以去掉绝对值符号，然后应用定积分对积分区间的可加性，分段进行计算）
1．计算积分
3
2 2x
3 | dx
| x
2
解 1.
由于在积分区间 [ 2,3] 上，被积函数可表示为
| x
2
2x 3|
x 2
2x 3 , 2 x
1,
( x 2 2x 3) , 1 x
3.
3
2x 3 | dx
1
2x 3) dx
3
2x 3)dx 13 .
所以| x 2
( x 2
(x
2
2
2
1
（2）利用定积分的几何意义求定积分
1
2
dx
1
1 x 如定积分 0
4 ，其几何意义就是单位圆面积的 4 。
（课本 P60 B 组第一题 ）
(3) 利用被积函数的奇偶性
a
a.
若
f ( x) 为奇函数，则 f (x)dx
a ；
a
a
b.
若
f ( x)
为偶函数，则
f ( x)dx 2 f (x)dx
；其中
a
0 。
a
2 2( x 3
+5x 5
)dx 0
例题： 1.
第3题）
2
（同步训练 P32
a
a
a
2dx 4a
2.
(x cos x -5sin x 2)dx(x cosx -5sin x)dx
a
a
a
6
8
6
f ( x)dx
3) (2007
f ( x)dx
枣庄模拟 ) 已知 f(x) 为偶函数，且 0
，则
6
等于（B ）
Ａ. ０ Ｂ.4 Ｃ.8 Ｄ .16 （同步训练 P30 第 6 题）
4．利用定积分求曲边多边形的面积
在直角坐标系中，要结合具体图形来定：
(1)S
b
f ( x)dx;
a
(2) S
b b
f ( x)dx
f ( x)dx;
a a
(3) S
c b c b f ( x)dx
f (x) dx
f (x)dx
f ( x)dx;
a c
a
c
(4) S
b g( x)] dx
[ f (x)
a
方法总结： 求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤
(1) 画出图形，（ 2）求出交点的横坐标．定出积分的上、下限；
(3) 确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置；。
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(4) 写出平面图形面积的定积分的表达式；(5) 运用微积分基本定理计算定积分，求面积．
5. 定积分在物理中的应用
（ 1）变速直线运动问题
如果作变速直线运动的物体的速度 v 关于时间 t 的函数是 v v(t ) v(t)
0 ，那
么物体从时刻 t a 到t
b(a b) 所经过的路程为：
b v(t )dt
s
a
（ 2）变力做功问题
W
b F ( x)dx
a
巩固练习：
1．由直线 y
0, x e, y
2x 及曲线 y
2
所围成的封闭的图形的面积为 ( )
x
A. 3 2 ln 2
B.
3
C.
2e 2
3 D.e
2．由曲线 y
sin x, y cos x 与直线 x
0, x
所围成的平面图形 ( 图中的阴影部分 ) 的面积
2
是 .
2
2
dx
7．4 x
.
8．曲线 y 2 ＝x 与 y ＝ x 2 围成的图形的面积为 ______________．
巩固练习答案：
1． B
1
e 2
2
1 e
1
2 3，故选 B.
2xdx
dx x
|0 2ln x |1
1
x
2． 2 2
2
故 S
2 4 (cos x sin x)dx
2 (sin x
cos x) |04 2 (
2
2 1)222
2
2
3． e
1
4．
10
3
S
xdx
( x 2)dx
3
4
2
4
2
3 2 10 .
2
x 2
(
x
2x)
42
4
4
2
3
2
2
3
3
y
1
y=x
,3
3
y= 3
(3,3)
1
(1,1)
y= x
O
x
5． 3
6． 4
ln3
3．在平面直角坐标系 xOy 中，由直线 x 0, x 1, y 0 与曲线 y e x
围成的封闭图形的面积
1 3
1
dx 3 x dx 4 ln 3
则所求区域面积为
S 1
3 是.
3
x
1
4．曲线 y
0, y
x , y x 2 所围成的封闭图形的面积为
．
2
x 2
dx
7．
根据积分的几何意义，由图可得
4
，故填 .
5．由直线 x ＝－ ， x ＝ ， y ＝ 0 与曲线 y ＝cosx 所围成的封闭图形的面积为
．
3
3
( 2
x 23
1
6．曲线 xy
1与直线 y x 和 y
3 所围成的平面图形的面积为
_________.
8．
1
S
1
0 ( x
x 2
)dx
1 x 3 ) 1
，故选 A ．
3
3
3
3。