第三讲 微分方程的理论与数学建模一、微分方程模型的建立函数是事物的内部联系在数量方面的反映，如何寻找变量之间的函数关系，在实际应用中具有重要意义。

在许多实际问题中，往往不能直接找出变量之间的函数关系，但是根据问题所提供的情况，有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式。

这就是所谓的微分方程，从而得出微分方程模型。

例1 物体冷却过程的数学模型将物体放置于空气中，在时刻0=t 时，测量得它的温度为1500=u C ，10分钟后测量得温度为C u 1001=。

我们要求此物体的温度u 和时间t 的关系，并计算20分钟后物体的温度。

这里我们假定空气温度保持为C u a 24=。

解 为了解决上述问题，需要了解有关热力学的一些基本规律。

例如，热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的；在一定的温度范围内，一个物体的温度变化速度与这一物体的温度和其所在介质温度的差值成正比。

这是已为实验证实了的牛顿（Newton ）冷却定律。

设物体在时刻t 的温度为)(t u u =，则温度的变化速度以dtdu 来表示。

注意到热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的，因而a u u >0。

所以温度差a u u -恒正；又因物体将随时间而逐渐冷却，故温度变化速度dtdu 恒负。

故有： dtdu )(a u u k --= (1.1) 这里0>k 是比例常数。

方程(1.1)就是物体冷却过程的数学模型，它含有未知函数u 及它的一阶导数dtdu ，这样的方程称为一阶微分方程。

为了解出物体的温度u 和时间t 的关系，我们要从方程(1.1)中解出u 。

注意到a u 是常数，且0>-a u u ，可将(1.1)改写成kdt u u u u d aa -=--)( (1.2) 这样u 和t 就被分离开了。

两边积分，得到 c kt u u a ~)ln(+-=- (1.3) 这里c~是任意常数。

上式可写成 c kt a e u u ~+-=- 令ce c ~=，则有 kt a ce u u -+= (1.4)再根据初始条件：当0=t 时，0u u = (1.5)可得a u u c -=0，于是kt a a e u u u u --+=)(0 (1.6)如果k 的数值确定了，(1.6)就完全决定了温度u 和时间t 的关系。

根据条件10=t 时，1u u =，得到k a a e u u u u 1001)(--+= 由此得到a a u u u u k --=10ln 101051.066.1ln 101≈=。

从而 t e u 051.012624-+= (1.7)20分钟后物体的温度就是C u702≈。

方程(1.7)还可得到，当+∞→t 时，C u 24→，这可以解释为：经过一段时间后物体的温度和空气的温度没有什么差别了。

微分方程的“解”可以用图形来表示。

这往往给我们一个简明直观的了解。

从例1中可以大体上看出用微分方程解决实际问题的基本步骤：（1）建立起实际问题的数学模型，也就是建立反映这个实际问题的微分方程；（2）求解这个微分方程；（3）用所得的数学结果解释实际问题，从而预测到某些物理过程的特定性质，以便达到能动地改造世界，解决实际问题的目的。

在找到了变量之间所要满足的微分方程后，还需要找出代表所考虑的问题的初始状态的条件，这就是所谓的初始条件。

求一个微分方程满足一定的初始条件的解的问题，称为微分方程的初值问题。

二、微分方程初值问题的适定性a) 解的适定性对于一个微分方程的初值问题，通常要讨论如下三个问题：(1) 解的存在性，即初值问题是否有解？(2) 解的唯一性，即初值问题的解是否只有一个？(3) 解的稳定性，即初值问题的解关于初值、参数等的连续性、可导性等等。

以上三个问题也叫做微分方程的适定性。

当一个微分方程的定解问题的解是存在、唯一且解关于初值、参数等是稳定的时，就说这个定解问题是适定的。

否则，就说是不适定的。

微分方程的初值问题解的适定性具有重要的实际意义。

微分方程模型通常是用来描述确定性的模型的。

对于一个由实际问题所建立的微分方程模型，如果其初值问题的解不存在，或解不唯一，这样的模型本身就是不合理的，是没有实际意义的。

因为在一定的条件下物理现象到最后总会有确定的结果，这反映在模型上，就是定解问题有唯一解。

而解的稳定性更是具有重要的实际应用背景。

由于在测量初始条件的值和测量方程中各项系数（或参数）等的值时，不可避免地会出现测量误差，致使我们得到的微分方程模型，通常只能是近似地描述所讨论的实际问题。

自然会问：当测量的数据出现“小”的变动时，相应模型的“解”是否也只有“小”的变动？如果回答是肯定的，我们就说这个模型的解（在某种意义下）是稳定的，否则，就说这个模型的解是不稳定的。

显然，只有“稳定的”解才具有可靠性，只有“稳定的”解才会有使用价值。

相反，“不稳定的”解是不会有任何使用价值的。

因为初值、参数等的微小误差或干扰将导致“差之毫厘，谬以千里”的严重后果。

容易举出初值问题的解不唯一的例子。

例如对于初值问题⎪⎩⎪⎨⎧===02303x y y dx dy ，0=y 就是一个解，除外，对于任何常数0>c ，函数⎩⎨⎧≥-<=c x c x c x y ,)(,02也是它的解。

b) 微分方程初值问题解的存在唯一性对于微分方程初值问题解的存在性，有时就归结为如何去解方程了。

对于一些一阶微分方程，有一些初等的解法，对于高阶常系数线性方程，有所谓特征值法，而对于一般的一阶微分方程的初值问题，还可以用Picard 迭代法求其近似解，这个方法有时也能求精确解。

例2 求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==--++-=10)sin cos cos (cos )sin (sin 0x y dy y x x y y x x dx x y y 的解。

解 用y e -乘方程两边，原方程即为恰当方程。

不难求得方程的通解是c y x x y e y =+-)sin cos (。

再由初始条件可得1-=e c ，于是初值问题的解是1)sin cos (--=+e y x x y e y 。

例3 用Picard 迭代法求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=+-==11202x y x xy dxdy 的解。

解 首先，将求上面初值问题的解转化为求下面积分方程问题的连续解：⎰+-=x ds s sy y 02121 按Picard 迭代法，取1)(00==y x ϕ，则)1ln(11)(21)(20201x ds s s s x x +-=+-=⎰ϕϕ； )1(ln 21)1ln(11)]1ln(1[211)(21)(2220220212x x ds s s s ds s s s x x x +++-=+++-=+-=⎰⎰ϕϕ; 一般地，有 )1(ln !1)1()1ln(11)(21)(22021x n x ds ss s x n n x n n +-+++-=++=⎰- ϕϕ。

不难看出2)1ln(11)(lim 2x e x x n n +==+-∞→ϕ，即初值问题的解是211x y +=。

需要说明的是，一个微分方程即使其解存在，但方程仍可能是解不出的。

事实上，能用初等的方法求出解的微分方程只是极少数。

例如，形式上很简单的黎卡提(Riccati)方程)()()(2x R y x Q y x P dxdy ++= 一般地就没有初等解法，这一事实为法国数学家刘维尔(Liouville)在1841年所证明，然而在很宽松的条件下，就可得到这个方程初值问题的解是存在且唯一的。

如果一个微分方程的解不是一个初等函数，由于我们不能将方程的解函数像初等函数一样地将它表示出来，也就可能出现方程解不出的情况。

对于一阶微分方程解的存在唯一性有以下结论：定理1 如果),(y x f 在R 上连续且关于y 满足利普希兹条件，则方程(3.1)存在唯一的解)(x y ϕ=，定义在区间h x x ≤-||0上，连续且满足初始条件00)(y x =ϕ (2.1) 这里|),(|max ,,min ),(y x f M M b a h R y x ∈=⎪⎭⎫ ⎝⎛=。

设),(y x f 是矩形域b y y a x x R ≤-≤-||,||:00 (2.2)上的连续函数。

函数),(y x f 称为在R 上关于y 满足利普希兹（Lipschitz ）条件，如果存在常数0>L ，使得不等式|||),(),(|2121y y L y x f y x f -≤-对所有R y x y x ∈),(),,(21都成立。

L 称为利普希兹常数。

定理1的结论可以推广到一阶线性微分方程组初值问题的情况：定理2 如果)(t A 是n n ⨯矩阵，)(t f 是n 维列向量，它们都在区间b t a ≤≤上连续，则对于区间b t a ≤≤上的任何数0t 及任一常数向量T n ),,,(21ηηηη =方程组)()(t f x t A x +=' (2.3)存在唯一解)(t ϕ，定义于整个区间b t a ≤≤上，且满足初始条件ηϕ=)(0t对于n 阶线性方程)()()()(1)1(1)(t f x t a x t a x t a x n n n n =+'+++-- ，总可通过变量变换x x =1，x x '=2，)1(,-=n n x x ，将它化成一阶线性方程组。

这样自然应付有以下结论：推论 如果)(),(,),(1t f t a t a n 都是区间b t a ≤≤上的连续函数，则对于区间b t a ≤≤上的任何数0t 及任何n ηη,,1 ，方程)()()()(1)1(1)(t f x t a x t a x t a x n n n n =+'+++--存在唯一解)(t w ，定义于整个区间b t a ≤≤上且满足初始条件：n n t w t w t w ηηη=='=-)(,,)(,)(0)1(2010c) 微分方程初值问题解的稳定性考虑一阶非线性方程2By Ay dt dy -=(2.4) 其中B A ,为常数，且0>AB ，初始条件给定为0)0(y y =。

易见，方程有两个常数解0)(1≡t y 和B A t y =)(2 (2.5) 当0≠y 和BA y ≠时，方程（1）可写成 dt By A y dy =-)( 解得c At By A y +=--||ln ||ln这就是方程（1）的通解，再利用初始条件),0()0(00BA y y y ≠=得到 00ln By A y c -=， 这样就得到所给初值问题的解是At e B y A B Ay -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=0 (2.6)对应于初值0y 的所有可能情况，解（3）的图形如上。