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第5讲 锐角三角函数的
综合应用
※题型讲练
【例1】如图，在顶角为30°的等腰三角形ABC 中，AB =AC ，若过点C 作CD ⊥AB 于点D ．根据图形求tan ∠BCD 的值．
【例2】如图，在等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，，AC =6，D 为AC 上一点，若tan ∠DAB = ，求AD 的长．
【例3】如图，在△ABC 中∠C 是锐角，BC ＝a ，AB ＝c ． (1)证明：△ABC 的面积S △ABC = acsinB ；
(2)若△ABC 是等边三角形，边长为4，求△ABC 的面积． 【例4】如图，点E 是矩形ABCD 中CD 边上一点，△BCE 沿BE 折叠为△BFE ，点F 落在AD 上． (1)求证：△ABF ∽△DFE ；
(2)若sin ∠DFE ＝1
3
，求tan ∠EBC 的值．
【例5】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上， 请按要求完成下列各题：
(1)用签字笔画AD ∥BC （D 为格点），连接CD ；
(2)请你在△ABD 的三个内角中任选一个锐角，若你所选的锐角是 ，则它所对应的正弦函数值是 ． (3)若E 为BC 中点，则tan ∠CAE 的值是 ．
【例6】如图，已知一次函数y =kx +b 的图象经过A (－2，－1)，B (1，3)两点，并且交x 轴于点C ，交y 轴于点D ， (1)求该一次函数的解析式； (2)求tan ∠OCD 的值； (3)求证：∠AOB =135°．
【例7】已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根分别为sinθ 和cosθ，且锐角θ 的范围是0°<θ<45°．
(1)求m 的值； (2)求方程的两根及此时θ的值． 【例8】已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，AC =10， BD =8．
(1)若AC ⊥BD ，试求四边形ABCD 的面积 ；
(2)若AC 与BD 的夹角∠AOD =60°，求四边形ABCD 的面积； (3)试讨论：若把题目中“平行四边形ABCD ”改为“四边形ABCD ”，且∠AOD =θ，AC =a ，BD =b ，试求四边形ABCD 的面积（用含θ，a ，b 的代数式表示）． ※课后练习
1．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥AB ，AD ＝CD ，cos ∠DCA ＝4
5
，BC ＝10，则AB 的值是( )
A ．3
B ．6
C ．8
D ．9
1．菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC =45°，OC =2，则点B 的坐标为( ) A ．(2，1)
B ．(1，2)
C ．(2+1，1)
D ．(1，2+1)
3．在Rt △ABC 中，a 、b ，c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，∠C =90°，则a 3cosA +b 3cosB 等于（ ）
A ．abc
B ．(a +b )c 3
C ．c 3
D ．
4．如图，A ，B ，C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC ′B ′，则tan B ′的值为( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．24
5．如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P (3，4)，则 sinα= ．
6．如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于点E ，cosA =3
5，BE =4，
则tan ∠DBE 的值是 ．
7．如图，在矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，若tan ∠AEH =4
3，四边形EFGH 的周长为40，则矩
形ABCD 的面积为 ．
8．如图，已知：在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，AB ＝82． 求△ABC 的面积(结果可保留根号)．
9．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tanB =cos ∠DAC ． (1)求证：AC ＝BD ；
(2)若sinC = ，BC =12，求AD 的长．
10．已知：如图，在△ABC 中，AC ＝b ，BC ＝a ． 求证： ．
11．如图，在直角坐标系中，将矩形OABC 沿OB 对折，使点A 落在A 1处，已知OA =3，AB =1，求点A 1的坐标.
12．如图，△ABC 是等腰三角形，∠ACB =90°，过BC 的中点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，连结CE ，求sin ∠ACE 的值．
5
1
2
1()
.
abc a b c +B
b A a
sin sin =13
12
第4题图
第2题图
第6题图 第7题图
第1题图
第5题图。