全等三角形综合复习
切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。

例1. 如图，,,,A F E B 四点共线，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。

求证：ACF BDE ∆≅∆。

例2. 如图，在ABC ∆中，BE 是∠ABC 的平分线，AD BE ⊥，垂足为D 。

求证：21C ∠=∠+∠。

例3. 如图，在ABC ∆中，AB BC =，90ABC ∠=。

F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，BE BF =，连接,AE EF 和CF 。

求证：AE CF =。

例4. 如图，AB //CD ，AD //BC ，求证：AB CD =。

例5.如图，,
AP CP分别是ABC
∠的平分线，它们交于点P。

求证：BP为MBN
∠
∠和NCA
∆外角MAC
的平分线。

例6.如图，D是ABC
=，ADB BAD
∆的边BC上的点，且CD AB
∆的中线。

∠=∠，AE是ABD
求证：2
=。

AC AE
例7.如图，在ABC
∆中，AB AC
>，12
->-。

∠=∠，P为AD上任意一点。

求证：AB AC PB PC
同步练习
一、选择题：
1. 能使两个直角三角形全等的条件是( ) A. 两直角边对应相等
B. 一锐角对应相等
C. 两锐角对应相等
D. 斜边相等
2. 根据下列条件，能画出唯一ABC ∆的是( ) A. 3AB =，4BC =，8CA = B. 4AB =，3BC =，30A ∠=
C. 60C ∠=，45B ∠=，4AB =
D. 90C ∠=，6AB =
3. 如图，已知12∠=∠，AC AD =，增加下列条件：①AB AE =；②BC ED =；③C D ∠=∠； ④B E ∠=∠。

其中能使ABC AED ∆≅∆的条件有( )
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
4. 如上图2，12∠=∠，∠A=∠D ，,AC BD 交于E 点，下列不正确的是( ) A. DAE CBE ∠=∠ B. CE DE =
C. DEA ∆不全等于CBE ∆
D. EAB ∆是等腰三角形
5. 如上图3，已知AB CD =，BC AD =，23B ∠=，则D ∠等于( )
A. 67
B. 46
C. 23
D. 无法确定
二、填空题：
6. 如图，在ABC ∆中，90C ∠=，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，
且:2:3CD AD =，10AC cm =，则点D 到AB 的距离等于__________cm ；
7. 如图，已知AB DC =，AD BC =，,E F 是BD 上的两点，且BE DF =，若100AEB ∠=，
30ADB ∠=，则BCF ∠=____________；
8. 将一正方形纸片按如图的方式折叠，,BC BD 为折痕，则CBD ∠的大小为_________；
9. 如图，在等腰Rt ABC ∆中，90C ∠=，AC BC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D ，DE AB ⊥于E ，若10AB =，则BDE ∆的周长等于____________；
10. 如图，点,,,D E F B 在同一条直线上，AB //CD ，AE //CF ，且AE CF =，若10BD =，2BF =，则EF =___________； 三、解答题：
11. 如图，ABC ∆为等边三角形，点,M N 分别在,BC AC 上，且BM CN =，AM 与BN 交于Q 点。

求AQN ∠的度数。

12. 如图，90ACB ∠=，AC BC =，D 为AB 上一点，AE CD ⊥，BF CD ⊥，交CD 延长线于F 点。

求证：BF CE =。

全等三角形综合复习答案
例1. 解答过程：
AC CE ⊥，BD DF ⊥∴90ACE BDF ∠=∠=；在Rt ACE ∆与Rt BDF ∆中
AE BF
AC BD =⎧⎨
=⎩
∴Rt ACE Rt BDF ∆≅∆(HL)∴A B ∠=∠AE BF =∴AE EF BF EF -=-，即AF BE =
在ACF ∆与BDE ∆中
AF BE
A B AC BD =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴ACF BDE ∆≅∆(SAS) 例2.解答过程：延长AD 交BC 于F 在ABD ∆与FBD ∆中
90
ABD FBD BD BD
ADB FDB ⎧∠=∠⎪
=⎨⎪
∠=∠=⎩∴ABD FBD ∆≅∆(ASA ；∴2DFB ∠=∠又1DFB C ∠=∠+∠；∴21C ∠=∠+∠。

例3.解答过程：90ABC ∠=，F 为AB 延长线上一点∴90ABC CBF ∠=∠=
在ABE ∆与CBF ∆中；AB BC ABC CBF BE BF =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
；∴ABE CBF ∆≅∆(SAS)；∴AE CF =。

例4.解答过程：连接AC ；AB //CD ，AD //BC ；∴12∠=∠，34∠=∠
在ABC ∆与CDA ∆中
1243AC CA ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
；∴ABC CDA ∆≅∆(ASA)；∴AB CD =。

例5.解答过程：过P 作PD BM ⊥于D ，PE AC ⊥于E ，PF BN ⊥于F
AP 平分MAC ∠，PD BM ⊥于D ，PE AC ⊥于E ；∴PD PE = CP 平分NCA ∠，PE AC ⊥于E ，PF BN ⊥于F ；∴PE PF =；
PD PE =，PE PF =
∴PD PF =；
PD PF =，且PD BM ⊥于D ，PF BN ⊥于F ；∴BP 为MBN ∠的平分线。

例6.解答过程：延长AE 至点F ，使EF AE =，连接DF ；在ABE ∆与FDE ∆中
AE FE AEB FED BE DE =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
；∴ABE FDE ∆≅∆(SAS)；∴B EDF ∠=∠；ADF ADB EDF ∠=∠+∠，
ADC BAD B ∠=∠+∠；又ADB BAD ∠=∠；∴ADF ADC ∠=∠；AB DF =，AB CD =
∴DF DC =；在ADF ∆与ADC ∆中；
AD AD ADF ADC DF DC =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
；∴ADF ADC ∆≅∆(SAS) ∴AF AC =；又2AF AE =；∴2AC AE =。

例7.解答过程：法一：在AB 上截取AN AC =，连接PN ；在APN ∆与APC ∆中
12AN AC AP AP =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
；∴APN APC ∆≅∆(SAS)；∴PN PC =；在BPN ∆中，PB PN BN -< ∴-<-PB PC AB AC ，即AB －AC>PB －PC 。

法二：延长AC 至M ，使AM AB =，连接PM ；在ABP ∆与AMP ∆中
12AB AM AP AP =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
；∴ABP AMP ∆≅∆(SAS)；∴PB PM =；在PCM ∆中，CM PM PC >- ∴AB AC PB PC ->-。

同步练习的答案
一、选择题： 1. A
2. C
3. B
4. C
5. C
二、填空题： 6. 4
7. 70 8. 90
9. 10
10. 6
三、解答题： 11. 解：
ABC ∆为等边三角形；∴AB BC =，60ABC C ∠=∠=；在ABM ∆与BCN ∆中
AB BC ABC C BM CN =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
；∴ABM BCN ∆≅∆(SAS)；∴NBC BAM ∠=∠ ∴60AQN ABQ BAM ABQ NBC ∠=∠+∠=∠+∠=。

12. 证明：AE CD ⊥，BF CD ⊥；∴90F AEC ∠=∠=；∴90ACE CAE ∠+∠=
90ACB ∠=；∴90ACE BCF ∠+∠=；∴CAE BCF ∠=∠
在ACE ∆与CBF ∆中
F AEC CAE BCF AC BC ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
；∴ACE CBF ∆≅∆(AAS)；∴BF CE =。