13.4 课题学习最短路径问题
基础巩固
1．有两棵树位置如图，树脚分别为A，B.地上有一只昆虫沿A—B的路径在地面上爬行．小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处，问小鸟飞至AB之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置．
2．已知，如图所示，甲、乙、丙三个人做传球游戏，游戏规则如下：甲将球传给乙，乙将球立刻传给丙，然后丙又立刻将球传给甲．若甲站在∠AOB内的P点，乙站在OA上，丙站在OB上，并且甲、乙、丙三人的传球速度相同．问乙和丙必须站在何处，才能使球从甲到乙、乙到丙、最后丙到甲这一轮所用的时间最少？
3．如图所示，P，Q为△ABC边上的两个定点，在BC上求作一点R，使△PQR的周长最小．
4．七年级(1)班同学做游戏，在活动区域边OP放了一些球(如图)，则小明按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，才能最快拿到球跑到目的地A?
能力提升
5．公园内两条小河MO，NO在O处汇合，两河形成的半岛上有一处景点P(如图所示)．现计划在两条小河上各建一座小桥Q和R，并在半岛上修三段小路，连通两座小桥与景点，这两座小桥应建在何处才能使修路费用最少？请说明理由．
6．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸CD的距离分别为AC，BD，且AC＝BD，若A到河岸CD的中点的距离为500 m.
(1)牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？在图中作出该处，并说明理由；
(2)最短路程是多少？
参考答案
1．解：如图，作D 关于AB 的对称点D ′，连接CD ′交AB 于点E ，则点E 就是所求的点．
2．解：如图所示，(1)分别作点P 关于OA ，OB 的对称点P 1，P 2；
(2)连接P 1P 2，与OA ，OB 分别相交于点M ，N .
因为乙站在OA 上，丙站在OB 上，所以乙必须站在OA 上的M 处，丙必须站在OB 上的N 处才能使传球所用时间最少．
3．解：(1)作点P 关于BC 所在直线的对称点P ′；
(2)连接P ′Q ，交BC 于点R ，则点R 就是所求作的点(如图所示)．
4．解：如图，作小明关于活动区域边线OP 的对称点A ′，连接AA ′交OP 于点B ，则小明行走的路线是小明→B →A ，即在B 处捡球，才能最快拿到球跑到目的地A
.
5．解：如图，作P 关于OM 的对称点P ′，作P 关于ON 的对称点P ″，连接P ′P ″，
分别交MO ，NO 于Q ，R ，连接PQ ，PR ，则P ′Q ＝PQ ，PR ＝P ″R ，则Q ，R 就是小桥所在的位置．
理由：在OM上任取一个异于Q的点Q′，在ON上任取一个异于R的点R′，连接PQ′，P′Q′，Q′R′，P″R′，PR′，则PQ′＝P′Q′，PR′＝P″R′，且P′Q′＋Q′R′＋R′P″＞P′Q＋QR＋RP″，所以△PQR的周长最小，故Q，R就是我们所求的小桥的位置．
6．解：(1)作法：如图作点A关于CD的对称点A′；
连接A′B交CD于点M.则点M即为所求的点．
证明：在CD上任取一点M′，连接AM′，A′M′，BM′，AM，
因为直线CD是A，A′的对称轴，M，M′在CD上，
所以AM＝A′M，AM′＝A′M′，所以AM＋BM＝A′M＋BM＝A′B，
在△A′M′B中，因为A′M′＋BM′＞A′B，
所以AM′＋BM′＝A′M′＋BM′＞AM＋BM，即AM＋BM最小．
(2)由(1)可得AM＝A′M，A′C＝AC＝BD，所以△A′CM≌△BDM，
即A′M＝BM，CM＝DM，所以M为CD的中点，且A′B＝2AM，
因为AM＝500m，所以A′B＝AM＋BM＝2AM＝1 000 m．即最短路程为1 000 m.。