概率论的大厦是建筑在微积分的地基之上的,例如在函数关系的对应下,随机事件先是被简化为集合,继之被简化为实数,随着样本空间被简化为数集, 概率相应地由集函数约化为实函数.以函数的观点衡量分布函数)(x f,)(x f的性质是十分良好的: 单调有界、可积、几乎处处连续、几乎处处可导. 因之, 微积分中有关函数的种种思想方法可以通畅无阻地进入概率论领域. 随机变量的数字特征、概率密度与分布函数的关系、连续型随机变量的计算等, 显然借鉴或搬运了微积分的现有成果. 又如概率论中运用微积分的基础----极限论的地方也非常多, 诸如分布函数的性质、大数定律、中心极限定理等.总之,微积分的思想方法渗透到了概率论的各个方面, 换言之, 没有微积分的推动, 就没有概率论的公理化与系统化, 概率论就难以形成一门独立的学科. 微积分与概率论的亲缘关系, 决定了概率论的确定论的特征. 但是作为微积分的一门后继课程, 概率论并非按微积分中的思维方法发展下去,而是另辟蹊径, 其发展路径与微积分大相径庭, 最终成为了随机数学的典型代表, 具备了与微积分相当的地位. 更因其非线性、反因果的非理性特征, 显得比经典的微积分更具有时代精神. 而作为确定性数学典型代表的微积分对概率论的发展具有很大作用, 因此讨论微积分在概率论中的地位, 探究概率论与微积分的联系及方法的相互应用0 引言概率论与数学分析是数学的两个不同分支，数学分析是确定性数学的典型代表，概率论则是随机数学的典型代表。

由于两者所研究的方向不同，故它们的发展道路大相径庭，但是在各自的发展过程中二者却又紧密地结合在一起，数学分析的发展为概率论奠定了基础，而概率论中随机性、反因果论也逐渐滲透到数学分析当中，推动着数学分析的发展。

研究概率论与数学分析两者之间的相互关系，并寻绎概率论在解决数学分析中某些比较困难的问题的方法、思想，是很有意义的。

1 数学分析对概率论的渗透与推动1933 年，苏俄数学家柯尔莫哥洛夫以集合论、测度论为依据，导入了概率论的公理化体系，概率论得以迅猛发展，在其迅猛发展的道路上，数学分析的思想与方法随处可见。

1.1 集合论与概率论的公理化体系由于数学的研究对象一般都是具有某种性质或结构的集合，所以集合论是整个数学体系的基础。

集合论是在19 世纪数学分析的严密化过程当中培育出来的，两者之间是源和流的关系; 又由于勒贝格积分建立了集合论与测度论的联系，进而形成了概率论的公理化体系; 因而集合论对概率论的滲透，可视为微积分对概率论的一次较有力的推动数学分析中主要有黎曼积分和勒贝格积分两种。

黎曼积分处理性质良好的函数时得心应手，但对于级数、多元函数、积分与极限交换次序等较为棘手的问题时，常常比较困难。

勒贝格积分的出现，使黎曼积分遇到的难题迎刃而解，微积分随之进化到了实变函数论的新阶段。

有了勒贝格积分理论以后，集合测度与事件概率之间的相似性便显示出来了。

不仅如此，测度论中的几乎处处收敛与依测度收敛，实质上就是弱大数定律与强大数定律中的收敛。

1933 年，苏俄数学家柯尔莫哥洛夫，建立了在测度论基础上的概率论的公理化体系［2］，统一了原先概率的古典定义、几何定义及频率定义纷争不一的局面。

他建立的公理化体系，具备了独立性、无矛盾性、完备性的公理化特征，确定了事件与集合、概率与测度的关系，使集合论加盟概率论。

概率论在坚实的公理化基础上，已成为一门严格的演绎科学，取得了与其他数学分支同等的地位，并通过集合论与其他数学分支密切地联系着。

1.2 傅立叶变换与特征函数傅立叶级数是数学分析中十分有效的工具。

事实上，不仅是傅立叶级数，还有傅立叶积分、傅立叶变换等等也都是数学分析中的重要工具。

它们除了在数学分析领域内发挥着重要的作用之外，也已滲透到了概率论领域当中。

其中，把傅立叶变换应用于分布函数或密度函数，就产生了所谓的“特征函数”。

于是，对于处理独立随机变量和与随机变量序列的问题，就显得十分方便了。

1． 3 雅可比行列式与随机变量函数的分布在数学分析当中，我们所接触的函数大多是显函数，但除了显函数外，也常会遇到另一种形式的函数———隐函数，尤其是隐函数组。

为了确定所给方程组的隐函数组是否存在，德国数学家雅可比在偏微分方程的研究中，引进了“雅可比行列式”对此问题给予了解决。

同样，在概率论中，应用雅可比行列式J ，可以一下子解决多维随机变量）（Y X , 的函数),(Y X Z 的概率分布问题1． 4 同阶数量级与极限定理大数定律与中心极限定理是概率论研究的中心问题，也是数理统计中的理论基础。

由于两者讨论的都是随机变量序列的极限问题，这与数学分析中的数列极限、函数列极限极为相似且联系十分密切，因此，对于数学分析中的同阶数量级方法在解决概率论的大数定律与中心极限定理的有关问题中同样是适用的。

1． 5 函数与随机变量、分布函数函数是数学分析中最基本的概念之一，当它被引入概率论领域以后，概率论中的许多问题便得到了简化，从而使概率论进入了一个崭新的阶段。

随机变量与分布函数是概率论中最为重要的两个概念，并且都是函数，其中，随机变量X 为集函数，分布函数为实函数。

在函数关系的对应下，随机事件先是被简化为集合，继之被简化为实数，随着样本空间转化为数集，概率相应地由集函数约化为实函数。

以函数的观点衡量分布函数，分布函数的性质是十分良好的: 单调有界、可积、几乎处处连续、几乎处处可导。

此外，随机变量X 的数字特征、概率密度与分布函数的关系、连续型随机变量X 的概率计算等等，同样运用了微积分的现成成果。

随机变量与分布函数的导入，从理论上结束了概率的古典时代。

概率论的公理化、体系化的动力源，不仅是集合论和测度论，更重要、更基本的，仍然是数学分析那一套理论。

概率论形成体系后的快速发展，不妨视作概率论向着微积分的靠拢与回归。

尽管随机变量X 的导入方式有一定的自由度，不具备唯一性; 尽管随机变量X 的取值需服从一定的概率分布; 尽管分布函数可以视为集函数，可以描述任何种类的随机变量X 的随机性质，但是在函数的范畴内，它们的本质是一致的，既然都是函数家族的成员，就具备了确定性和因果律。

综上可见，数学分析的思想方法，已经滲透到了概率论的各个方面。

没有微积分的推动，就没有概率论的公理化与系统化，概率论就难以形成一门独立的学科。

2 概率方法在数学分析中的应用从上可知，在数学分析的渗透与推动作用下，概率论得到了飞快地发展。

与此同时，由于概率论本身所具有的特征，使得数学分析中某些比较困难的问题得以高效简捷性地解决。

2． 1 数学期望与不等式不等式是数学分析中的重要内容，在数学分析中不等式问题经常碰到，例如级数不等式、积分不等式等等。

数学分析中可以使用多种方法进行证明这些不等式，可是证明起来却相当不容易。

然而倘若巧妙地运用概率论中数学期望性质，数学分析中的不等式问题便可以很轻易地得到证明。

2． 2 中心极限定理在数学分析中的特殊作用概率论的中心极限定理为棣莫弗－ 拉普拉斯中心极限定理，林德贝格－ 勒维中心极限定理，林德贝格中心极限定理、李雅普诺夫中心极限定理。

这4 个中心极限定理的建立不仅为概率论的发展开辟了广阔的前景，同时使概率论与数学分析保持着密切地联系。

极限是数学分析的基础，微积分中一系列重要的概念和方法，都与极限关系密切，数学分析中有一些复杂的极限问题，用通常的数学分析方法是难以计算的，但应用概率论中的中心极限定理则可较简便地得以解决。

2． 3 随机变量函数与积分数学分析中积分概念产生于求不规则面积、体积和弧长等问题，通过“分割、近似求和、取极限”，最终都化为形如)()(1n 1i -=-∑i i ix x f ξ的和式极限问题。

而对于概率论中的连续型随机变量，基本的概念有分布律、分布函数、概率密度，其中分布律和分布函数的关系是“求和”关系，即)(x X p x F ≤=）（ ，分布函数和概率密度是原函数与积分函数的关系，即)()('x f x F =，而分布律和概率密度是积分关系，即dt t f x X p x⎰∞-=≤)()(。

当然上述关系成立的前提是X 为连续随机变量，而对于离散型情况，概率密度是不存在的。

由此可以看出，概率论中的随机变量函数与数学分析中的积分关系密切。

此外，对于数学分析中某些“积不出来”的积分问题，借助概率密度函数的思想，将原积分进行转换，则可以很方便地求解出结果。

数学分析与概率论是数学家族中资历最深的两个成员。

二者行世的时间差不多, 但发展的路径却大相径庭。

据史载, 费尔马于1 6 2 9年, 便在名日《求最大值和最小值的方法》的手稿中, 论及了求切线的方法, 1 6 5 4年, 费尔马在与帕斯卡的通信中,解决了由法国赌徒梅累提出的“赌点问题” , 这是古典概率中的一个典型案例。

由于费尔马是解析几何、微积分、概率论的最重要的奠基人之一, 据此不难推断, 数学分析、概率论的历史, 时间上限差不多, 都只有35 年左右。

微积分创立后, 先后引爆了数学史上的第二次、第三次数学危机, 数学分析内部的攻伐聚讼,进入20 世纪后才算基本平息。

在概率论的发育过程中, 雅各·伯努利、棣莫弗、辛普生、蒲丰、拉普拉斯、高斯、泊松、切比雪夫等数学家, 作出了积极的贡献, 除了蒲丰的“投针问题”具有浓厚的悖论色彩外, 其余的成就都是不存争议的。

1 9 3 3年,苏俄数学家柯尔莫哥洛夫以集合论、测度论为依据, 导入了概率论的公理化体系, 使概率论中断烂丛碎的理论片断, 获得了崭新的分布顺序, 首次以一个独立学科的面目, 出现于近代数学领域, 成为有别于微积分的后起之秀。

半个多世纪以来, 概率论突飞猛进, 获得了举世公认的进步。

在五花八门的类型研究中, 概率论的学科地位持续跃迁。

按照流行的数学学科“三分祛” , 数学可以分为确定性数学、随机数学、模糊数学三大类, 而数学分析、概率论分别是前边二者的典型代表, 因此概率选不仅具备了与微积分分庭抗礼的地位, 更因其非线性、反因果的非理性特征,显得比经典的数学分析更具有时代精神。

概率论的先锋色彩是不容置疑的, 但是曾经哺育和推动过概率论的微积分, 并非是落拓背时的代名词。

在概率论的间架结构中, 因果论、确定性的路印四处可见。

应该说, 概率论的大厦, 是建筑在微积分的地基上的, 而概率论的调色板, 则始终是以数学分析为底色的。

在此意义下, 寻绎数学分析在概率论中的地位, 阐述概率论的因果论特征, 是很有意义1集合论与概率论的介理化体系集合论是在微积分的营养液中培育出的一颗明珠。

19 世纪末, 康托尔的朴素集合论, 将第三次数学危机推向高潮, 随着康托尔悖论、罗素悖论的出现与廓清, 公理集合论应时而生, 公理集合论使微积分的纷争彻底休止, 声势浩大的数学公理化运动宣告开始。