线性代数习题讲解
第六章 二次型
一、要点复习 二、作业讲解 三、典型例题介绍
一、要点复习
定义 矩阵表示
二次型
可逆线性变换 正配 交方 变法 换
标准二次型
正定二次型 正定矩阵 定义 判定
1. 二次型及其矩阵表示
n 定义6.1 含有 个变量 x1 , x2 , , xn的二次齐次函数
f (x1, x2 , , xn ) a11x12 a22 x22 ann xn2 2a12 x1x2 2a13 x1x3 2a1n x1xn 2an1n xn1xn
6. 正定二次型
设有实二次型 f ( X ) X T AX ，如果对任
何 X 0都 f (X ) 0（ f (0) 0），则称 f (X ) 为正定二次型，并称对称矩阵 A是正定的，记
作A 0 ；如果对任何 X 0 都有 f (X ) 0则称
f (X )为负定二次型，并称对称矩阵 A是负定

2 x12

3x
2 2

3x32

2ax2 x3 (a

0)
通过正交变换可化为标准形 f ( y1, y2 , y3 ) y12 2 y22 5y32
求参数 a 及所用的正交变换矩阵.
分析 本题是已知二次型通过正交变换所得到的标准形，这等于知道了二次型矩阵
的特征值.
解：二次型矩阵为 2 0 0 A 0 3 a 0 a 3
分析 这是本章的一个主要问题，只要按步骤求解即可， 关键还是求
特征值和特征向量。
解：
2 0 0 A E 0 3 2 (2 )(1 )(5 ) 0
0 2 3
得 1 1 ，2 2 ，3 5
当 1 1 时，特征向量为 1 （0 -1 1）T 当 2 2 时，特征向量为 2 （1 0 0）T 当 3 5 时，特征向量为 3 （0 1 1）T
分析 化二次型为标准形可用正交变换法也可用配方法，这要看题目的具体要求. 若无要求，在变量不多时配方法相对简单些.
解： f (x1 , x2 , x3 ) x12 2x32 2x1x3 2x2 x3 （x1 x3 )2 x22 （x2 x3 )2
由

x1 x2
x3 y2
解：(1)
f (x, y, z) x
y
z

1 1
1 1
2 x 2 y
2 2 7 z
(2)
1
f (x1, x2 , x3 ) x1 x2 x3 2 / 2
2
2 / 2 2 x1 5 0 x2 0 0 x3
f

2 y12

2
y
2 2
7 y32
4. 求一个正交变换将下列二次型化成标准形：
f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) x12 x22 x32 x42 2x1x2 2x1x4 2x2 x3 2x3 x4
解：
1 1 0
1 1 1 A E
方项，即不含交叉项，再对这些平方项引入新 变量以达到二次型成为关于新变量的平方项之
和.具体做法是：
如的果各二 项次 集型 中中 ，含按有x某i 配xi成的完平全方平项方，，则然先后把按含此xi
法对其它变量配方，直至都配成平方项；如果
二次型中不含平方项，但有某个 aij 0(i j) ，
则先作一个可逆的线性变换：
解：
1 2 2
A E 2 - 2 4 (2 )2 (7 ) 0
2 4 -2
得 1 2 2 ，3 7 .
当 1 2 2 时，特征向量为 1 （2 0 1）T ， 2 （- 2 1 0）T
通过施密特正交化得到
e1
特征值为 1 1，2 2 ，3 5
故 A 2(9 a2 ) 10 ，又 a 0 ，得
a2
当 1 1 时，特征向量为 1 （0 -1 1）T
当 2 2 时，特征向量为 2 （1 0 0）T 当 3 5 时，特征向量为 3 （0 1 1）T
称为n 元二次型，
用矩阵表示为 f ( X ) X T AX
其中向量 X (x1, x2 , , xn )T ，矩阵 A (aij )n , aij a ji (i, j 1,2, ,n) 所以 A是对称矩阵，A称为二次型 f (X )的矩阵，
f (X ) 称为对称矩阵A 的二次型，并称 A的秩为该二次型的秩 .
C
为合同变换，矩阵 称为合同变换矩阵.
对任意可逆方阵 C，若A对称，则 CT AC 也对称且 R( A) R(CT AC)
用可逆变换把实二次型化为标准形等同于用合同变换 把实对称矩阵化为对角矩阵.实对称矩阵可以用正交的相 似变换对角化，又正交的相似变换也是合同变换.
4.化二次型为标准型方法和步骤
当 4 3 时，特征向量为 4 （1 1 1 1）T
取
1 0
1 2

1 2

0 P
1 0
1 0 1

1 2

1 2
1
2

1 2

1 2
1 2

则利用正交变换 x Py
二次型可化为标准型
f

y12

y22
y32

3y
2 4
5.
二次型
f
(x1 , x2 , x3 )
y1
x2 x3 y3
得 x1 y1 y2 y3

x2

y2
x3 y2 y3
取
1 1 1
C 0 1 0
0 1 1
C可逆，由变换 x Cy
得二次型的规范型为 f (x1 , x2 , x3 ) y12 y22 y321（2 5 Nhomakorabea0
1）T
，e2
1 （- 2 35
5
4）T
当 3 7 时，特征向量为
3
（
1 2
-1
1）T
单位化得
e3
1（1 3
2
2）T
取
2 5
2 35

1 3
P


0
5 35

2
3

1 5
4 35
2 3

则利用正交变换 x Py
二次型可化为标准型
取
0
1 0
P


-


1
2 1
2
0 0
1
2 1
2

用正交变换 x Py
二次型标准型为
f

y12

2
y
2 2
5 y32
6. 用配方法化 f (x1, x2 , x3 ) x12 2x32 2x1x3 2x2 x3
为规范形，写出所用变换的矩阵．
阵 P ，得正交变换 X PY
；
•第五步 写出标准形 f (Y ) 1 y12 2 y22 n yn2
，
其中 i (i 1 n) 为 A 的特征值，其顺序应和 P 中
的列特征向量顺序相对应.
以上步骤与把实对称矩阵化为对角阵的步骤基
本一致.
(2) 用配方法化二次型为标准形 这种方法是将二次型的各项归并成完全平
n
f
(X)
的矩阵
A

(aij
)n 的特征值.
步骤:
•第一步 写出二次型 f (X ) 所对应的实对称矩阵 A ；
•第二步 求出 A 的所有特征值；
•第三步 对 A 的每一特征值求出对应的特征向量，把
对应于特征单根的特征向量规范化，对应于特征重根
的特征向量正交化、规范化；
•第四步 以全体正交规范化向量为列向量构成正交矩
注 用配方法化二次型为标准形所用的线性变换只是 可逆的，这实际上是对二次型作了合同变换.而特征 向量正交、规范化所得的变换是正交变换.由于配方 的方法不同，因此所作的合同变换是不唯一的，自然 所得到的标准形也不唯一.
7. 判别下列二次型的正定性：
(1) f (x1, x2 , x3 ) 2x12 6x22 4x32 2x1x2 2x1x3
(2) f x12 3x22 9x32 19 x42 2x1x2 4x1x3 2x1x4 6x2x4 12 x3 x4
注 二次型的矩阵要求是对称矩阵.还有正定矩阵也是这样 .
2. 二次型的标准形
只含平方项的二次型
f (X)
X T AX
Y T (C T AC)Y
d1 y12

d
2
y
2 2


d
n
y
2 n
称为 f (X )的标准形或法式.
特别地，当标准形中的系数di (i 1,2, , n)只取1，-1或0时，
的，记作 A 0 .
判断实二次型正定的充要条件 （1) 实二次型标准形中的个系数全为正； （2) 实二次型的矩阵的特征值全为正； （3) 实二次型的矩阵的各阶顺序主子式全
大于零. 至于 f (x) 的负定性可通过 - f (x) 的正定性来 判断.
注 判断一实对称矩阵的正定性可用定义也可用充要 条件若是一具体的实对称矩阵一般用顺序主子式判断 相对方便些. 另要强调的是,我们说是正定矩阵是在为实对称矩阵 的大前提下讲的,离开了这一点就会犯下列错误: • 各阶顺序主子式大于0的矩阵为正定矩阵； • 特征值全大于0 的矩阵为正定矩阵； • 对任意X 0 ,使X T AX 0 的矩阵为正定矩阵.