1 C 0 0 1 n 0 0 C n
那么比较等式两边易得C(i,j)=0(i≠j),于是S(A)的维 数为n维,它的一组基可取为E11,E22,…,Enn. □ 例6.1.2 (北京航空航天大学,2005年)设向量组
1 , 2 ,, s 与 1 , 2 ,, t 是两组n维向量,证明:
若这两个向量组都线性无关,则 L( , ,, 的维数等于齐次方程组 x x x y 的解空间的维数.
1 2 1 1 2 2 s s
s
) L(1 , 2 ,, t ) y 2 2 yt t 0
1 1
证明:设 W1 1 , 2 ,, s , W2 1 , 2 ,, t ,那么 由题知dim(W1)=s,dim(W2)=t. 记矩阵 A (1,2 ,, s , 1, 2 ,, t ),
f ( ) ( 1 ) ( 2 ) ( s )
r 1 r2
rs
则V可分解为A的不变子空间的直和
V=V1 △V2△…△Vs,其中: Vi {X | (i I A) r X 0, X V }
i
是A属于 i 的根子空间.
2.子空间的性质 我们用dimV表示线性空间V的维数. (1) 设V1和V2是线性空间V的子空间,则 dimV1+dimV2=dim(V1+V2)+dim(V1∩V2). (2) 设V1,V2,…,Vm是线性空间V的真子空间,则必存 在 V ,使 Vi ,1 i m , (3) 设V1=L(u1,u2,…,um),v1,v2,…,vr是V1中的r个线性 无关的向量,且r<m,则可以从u1,u2,…,um中去掉r个向 量,使剩下的m-r个向量与v1,v2,…,vr合在一起仍生成 子空间V1. 3.子空间的和与交的基与维数的求法 设V1和V2是线性空间V的子空间, 1 , 2 ,, k 是V1的一组基, 1 , 2 ,, l 是V2的一组基.
l i j 1 ij
j
(1)dim/AV=A的秩, / AV L(/ A1 , / A 2 ,, / A n ) ,其中
1 , 2 ,, n 是线性空间V的一组基.
(2)dim/AV+dimA-1(0)=dimV. (3) 设 1 , 2 ,, r 是/AV的一组基且 / A i i , 1≤i≤r,则V=/A-1(0)△ L(1 , 2 ,, r.) 一般地V不等 于/AV与/A-1(0)的直和.
第六章 线性空间及线性变换 一、基本概念和重要结果 1.空间的直和 我们用W=V1+V2记子空间V1与V2的和,用 W=V1△V2记W是V1与V2的直和. (1) W=V1△V2当且仅当W=V1+V2,对任意的 W 有 1 2 ,其中 i Vi ,i=1,2,且表示法是唯一的. (2) W=V1△V2当且仅当W=V1+V2且零向量的表示 法是唯一的. (3) W=V1△V2当且仅当W=V1+V2且V1∩V2={0}. (4) W=V1△V2当且仅当W=V1+V2且W的维数=V1的 维数+V2的维数.
X=(x1,x2,…,xs,y1,y2,…,yt)T. 那么方程组AX=0的解空间的维数为:s+t-r (A),注意 到W1+W2= 1 , 2 ,, s , 1 , 2 ,, t ,那么显然有 dim(W1+W2)=r(A).于是有: s+t-r(A)=dimW1+dimW2-dim(W1+W2)=dim(W1∩W2). 即解空间的维数等于 1,2 ,,s 1, 2 ,, t 的维数.
解: (1) 任取f(A),g(A)∈F(A),k∈P, 有 f(A)+g(A)=(f+g)(A).显然由f(x), g(x)∈P[x]可得 (f+g)(x)=f(x)+g(x)∈P[x],于是有f(A)+g(A)∈F(A).而 kf(A)=(kf)(A),那么由kf(x)∈P[x] 可知kf(A)∈F(A),即 知F(A)是Pn×n的一个线性子空间. (2) 不妨设A的最小多项式为 m( ) ,并记 (m( )) =m+1,那么由m(A)=0 且m( )的首项系数为1可知Am+1 可被I,A,A2,…,Am线性表出. 显然有任意f(A)∈F(A),都可使得f(A)被 I,A,A2,…,Am线性表出.下证I,A,A2,…,Am线性无关,利 用反证法. 若I,A,A2,…,Am线性相关,那么存在一组不全为零的 数k0,k1,…,km∈P,使得: k0I+k1A+k2A2+…+kmAm=0.
的特
(5) 设W是线性空间V的子空间且W L(1 , 2 ,, r ) , 则W是A的不变子空间当且仅当 / A i W ,i=1,2,…,r. (6) 设V1是线性变换/A的不变子空间,则对任一多 项式f, V1是f(A)的不变子空间. (7) 设/A和/B是线性变换且/A/B=/B/A, V 是/A的 V 特征子空间,则 也是/B的不变子空间. (8) V1是线性变换/A和/B的不变子空间,则它也是 /A+/B及/A/B的不变子空间.
二、基本方法 1.V1,V2是线性空间V的两个子空间,证明V=V1△V2 只要证明以下两点: (1)V1∩V2={0}; (2)dimV=dimV1+dimV2. 2.求线性空间V的基与维数,可先找到V的一个生成 元组 1 , 2 ,, n ,然后证明 1 , 2 ,, n线性无关. 3.证明多个子空间的和是直和,一般采用零向量的 表示方法是唯一的. 4.几种常见的线性空间: (1)数域P上的线性空间Pn,dimPn=n, 1 , 2 ,, n 是Pn的一组基,其中 i =(0,…,1,…,0),i=1,2,…,n.
注意到ImB|V=W,那么有dimImB|V=dimW.而 dimV=m-r(AB),kerB|V=kerB∩V.若Bx=0,显然有 ABx=0,所以有kerB V,那么有B=B∩V. 注意到dimkerB即为Bx=0的解空间的维数,它等于 m-r(B),于是有dimkerB|V=dimkerB∩V=dimkerB=mr(B),代入等式(I)有: dimW+(m-r(B))=m-r(AB). 移项即 得: dimW=r(B)-r(AB). □ 例6.1.4 (中南大学,2003年)设P是一个数域,A是Pn×n 中一个矩阵,令F(A)={f(A)|f(x)∈P[x]}.证明: (1)F(A)是Pn×n的一个线性子空间. (2)可以找到非负整数m,使I,A,A2,…,Am是F(A)的一组 基. (3)F(A)的维数等于A的最小多项式的次数.
(5) 若 1 , 2 ,, n 是线性空间V的一组基,则
V L(1 , 2 ,, r )L( r 1 , r 2 ,, n )
其中 L(1 , 2 ,, r ) 表示由 1 , 2 ,, r 生成 的子空间. (6) 若W=V1+V2且V1与V2正交,则W=V1△V2. 上面的结论可推广到多个子空间的情况. (7) 设线性变换/A的特征多项式为:
1 0 0 n
,求S(A)的基与维数.
解: (1)显然只要验证对加法和数乘封闭即可.
对任意Z1,Z2∈S(A),任意k∈R,有 A(Z1+Z2)=AZ1+AZ2=Z1A+Z2A=(Z1+Z2)A.知 Z1+Z2∈S(A). (kZ1)A=kAZ1=A(kZ).知kZ1∈S(A).即知 S(A)为一个子空间. (2)对任何矩阵C,若:
(1) V1+V2的基与维数. 令矩阵 A (1 , 2 ,, k , 1 , 2 ,, l ) ,求A的秩,则 V1+V2的维数等于A的秩r,A中r个线性无关的列即为 V1+V2的基. (2) V1∩V2的基与维数. 令 x11 x2 2 xk k y11 y2 2 yl l ,解这 个方程组求它的一个基础解系: (xi1,xi2,…,xik,yi1,yi2,…,yil)/,i=1,2,…,d,d=k+l-r,则 z y i=1,2,…,d是V1∩V2的一组基, V1∩V2的维数等于 d=k+l-r. 4.线性变换的值域与核 线性变换/A的值域 / AV { y | y V , y / A , V } ,/A的 核/A-1(0)={y|y∈V,/Ay=0}.
□
例6.1.3 (北京理工大学,2004年)设A,B分别是数域K 上的p×n、 n×m矩阵,令 V={x|x∈Km,ABx=0},W={y|y=Bx,x∈V}.证明: W是向 量空间的子空间,且dimW=r(B)-r(AB). 证明: 要证明W是一个子空间,只要说明它对加法和 数乘封闭即可. 若y1,y2∈W,k∈K,那么存在x1,x2∈V,使得 y1=Bx1,y2=Bx2,显然V是方程组ABx=0的解空间,它是 一个子空间,那么有x1+x2∈V, kx1∈V,这时 y1+y2=Bx1+Bx2=B(x1+x2).于是有y1+y2∈W,而 ky1=kBx1=B(kx1),知ky1∈W,知W必是向量空间的一个 子空间. 把B看成是向量空间Km到向量空间Kn的线性映射, 那么有:W=B(V),于是有: dimImB|V+dimkerB|V=dimV (I)
(4)/AV和/A-1(0)都是线性变换/A的不变子空间. (5)/A与/B可换,则/B的核与值域也是/A的不变子空 间. 5.不变子空间 (1) 线性空间V的子空间W是线性变换/A的不变子 空间当且仅当对任意的 W 有 / A W .
(2) 设 是线性变换/A的特征根,则A属于 征子空间 V {x | Ax x}是A的不变子空间. (3) 不变子空间的和与交是不变子空间. (4) 任一空间是数乘变换的不变子空间.