高中数学:用样本估计总体练习1．在样本频率分布直方图中,共有9个小长方形,若中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形的面积和的25,且样本容量为140,则中间一组的频数为(B)A．28 B．40C．56 D．60解析:设中间一组的频数为x,因为中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形的面积和的25,所以其他8组的频数和为52x,由x＋52x＝140,解得x＝40.2．(广东广雅中学联考)某市重点中学奥数培训班共有14人,分为两个小组,在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示,其中甲组学生成绩的平均数是88,乙组学生成绩的中位数是89,则m＋n的值是(C)A.10 B．11C．12 D．13解析:∵甲组学生成绩的平均数是88,∴由茎叶图可知78＋86＋84＋88＋95＋90＋m＋92＝88×7,∴m＝3,∵乙组学生成绩的中位数是89,∴n＝9,∴m＋n＝12.3．(山东济南一模)已知某7个数的平均数为4,方差为2,现加入一个新数据4,此时这8个数的平均数为x,方差为s2,则(A)A.x ＝4,s 2＜2 B ．x ＝4,s 2＞2 C.x ＞4,s 2＜2D ．x ＞4,s 2＞2解析:∵某7个数的平均数为4,∴这7个数的和为4×7＝28,∵加入一个新数据4,∴x －＝28＋48＝4,又∵这7个数的方差为2,且加入一个新数据4,∴这8个数的方差s 2＝7×2＋(4－4)28＝74＜2,故选A.4．(广东茂名五大联盟学校联考)甲、乙两组数的数据如茎叶图所示,则甲、乙的平均数、方差、极差及中位数相同的是( C )A.极差 B ．方差 C ．平均数D ．中位数解析:由题中茎叶图中数据的分布,可知方差不同,极差不同, 甲的中位数为16＋212＝18.5,乙的中位数为14＋182＝16, x 甲＝5＋16＋12＋25＋21＋376＝583,x 乙＝1＋6＋14＋18＋38＋396＝583,所以甲、乙的平均数相同．故选C.5．某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30]．根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( D )A．56 B．60C．120 D．140解析:由频率分布直方图知200名学生每周的自习时间不少于22.5小时的频率为1－(0.02＋0.10)×2.5＝0.7,则这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为200×0.7＝140,故选D.6．(北京东城质检)某班男女生各10名同学最近一周平均每天的锻炼时间(单位:分钟)用茎叶图记录如下:假设每名同学最近一周平均每天的锻炼时间是互相独立的．①男生每天锻炼的时间差别小,女生每天锻炼的时间差别大；②从平均值分析,男生每天锻炼的时间比女生多；③男生平均每天锻炼时间的标准差大于女生平均每天锻炼时间的标准差；④从10个男生中任选一人,平均每天的锻炼时间超过65分钟的概率比同样条件下女生锻炼时间超过65分钟的概率大．其中符合茎叶图所给数据的结论是(C)A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④解析:由茎叶图知,男生每天锻炼时间差别小,女生差别大,①正确．男生平均每天锻炼时间超过65分钟的概率P 1＝510＝12,女生平均每天锻炼时间超过65分钟的概率P 2＝410＝25,P 1＞P 2,因此④正确． 设男生、女生两组数据的平均数分别为x 甲,x 乙,标准差分别为s 甲,s 乙． 易求x 甲＝65.2,x 乙＝61.8,知x 甲＞x 乙,②正确．又根据茎叶图,男生锻炼时间较集中,女生锻炼时间较分散,∴s 甲＜s 乙,③错误, 因此符合茎叶图所给数据的结论是①②④.7．(石家庄质检)设样本数据x 1,x 2,…,x 2 018的方差是4,若y i ＝2x i －1(i ＝1,2,…,2 018),则y 1,y 2,…,y 2 018的方差为 16 .解析:设样本数据的平均数为x ,则y i ＝2x i －1的平均数为2x －1,则y 1,y 2,…,y 2 018的方差为12 018[(2x 1－1－2x ＋1)2＋(2x 2－1－2x ＋1)2＋…＋(2x 2 018－1－2x ＋1)2]＝4×12 018[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x 2 018－x )2]＝4×4＝16.8．为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位:cm),所得数据均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有 24 株树木的底部周长小于100 cm.解析:底部周长在[80,90)的频率为0.015×10＝0.15,底部周长在[90,100)的频率为0.025×10＝0.25,样本容量为60,所以树木的底部周长小于100 cm 的株数为(0.15＋0.25)×60＝24.9．一组数据1,10,5,2,x,2,且2＜x ＜5,若该数据的众数是中位数的23倍,则该数据的方差为 9 .解析:根据题意知,该组数据的众数是2,则中位数是2÷23＝3, 把这组数据从小到大排列为1,2,2,x,5,10, 则2＋x2＝3,解得x ＝4,所以这组数据的平均数为x ＝16×(1＋2＋2＋4＋5＋10)＝4,方差为s 2＝16×[(1－4)2＋(2－4)2×2＋(4－4)2＋(5－4)2＋(10－4)2]＝9.10．(江西新余一模)“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称．某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度,对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛,满分为100分(90分及以上为认知程度高)．现从参赛者中抽取了x 人,按年龄分成5组,第一组:[20,25),第二组:[25,30),第三组:[30,35),第四组:[35,40),第五组:[40,45),得到如图所示的频率分布直方图,已知第一组有6人．(1)求x ；(2)求抽取的x 人的年龄的中位数(结果保留整数)；(3)从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户,五种人中用分层抽样的方法依次抽取6人,42人,36人,24人,12人,分别记为1～5组,从这5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛,分别代表相应组的成绩,年龄组中1～5组的成绩分别为93,96,97,94,90,职业组中1～5组的成绩分别为93,98,94,95,90.(ⅰ)分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差；(ⅱ)以上述数据为依据,评价5个年龄组和5个职业组对“一带一路”的认知程度,并谈谈你的感想．解:(1)根据频率分布直方图得第一组的频率为0.01×5＝0.05,∴6x ＝0.05, ∴x ＝120.(2)设中位数为a ,则0.01×5＋0.07×5＋(a －30)×0.06＝0.5, ∴a ＝953≈32,则中位数为32.(3)(ⅰ)5个年龄组成绩的平均数为x 1＝15×(93＋96＋97＋94＋90)＝94,方差为s 21＝15×[(－1)2＋22＋32＋02＋(－4)2]＝6.5个职业组成绩的平均数为x 2＝15×(93＋98＋94＋95＋90)＝94,方差为s 22＝15×[(－1)2＋42＋02＋12＋(－4)2]＝6.8.(ⅱ)从平均数来看两组的认知程度相同,从方差来看年龄组的认知程度更稳定．感想合理即可．11．在一个文艺比赛中,12名专业人士和12名观众代表各组成一个评判小组,给参赛选手打分,如图是两个评判组对同一选手打分的茎叶图:(1)求A 组数的众数和B 组数的中位数；(2)对每一组计算用于衡量相似性的数值,回答:小组A 与小组B 哪一个更像是由专业人士组成的？并说明理由．解:(1)由茎叶图可得:A 组数据的众数为47,B 组数据的中位数为55＋582＝56.5.(2)小组A ,B 数据的平均数分别为x A ＝112(42＋42＋44＋45＋46＋47＋47＋47＋49＋50＋50＋55)＝56412＝47, x B ＝112(36＋42＋46＋47＋49＋55＋58＋62＋66＋68＋70＋73)＝67212＝56, 小组A ,B 数据的方差分别为s2A＝112[(42－47)2＋(42－47)2＋…＋(55－47)2]＝112(25＋25＋9＋4＋1＋0＋0＋0＋4＋9＋9＋64)＝12.5,s2B＝112[(36－56)2＋(42－56)2＋…＋(73－56)2]＝112(400＋196＋100＋81＋49＋1＋4＋36＋100＋144＋196＋289)＝133.因为s2A＜s2B,所以A组成员的相似程度高,由于专业裁判给分更符合专业规则,相似程度应该高,因此A组更像是由专业人士组成的．12．(河北石家庄教学质量检测)某学校A、B两个班的兴趣小组在一次对抗赛中的成绩如茎叶图所示,通过茎叶图比较两个班兴趣小组成绩的平均值及标准差．①A班兴趣小组的平均成绩高于B班兴趣小组的平均成绩；②B班兴趣小组的平均成绩高于A班兴趣小组的平均成绩；③A班兴趣小组成绩的标准差大于B班兴趣小组成绩的标准差；④B班兴趣小组成绩的标准差大于A班兴趣小组成绩的标准差．其中正确结论的编号为(A)A.①④B．②③C．②④D．①③解析:A班兴趣小组的平均成绩为53＋62＋64＋…＋92＋9515＝78,其方差为115×[(53－78)2＋(62－78)2＋…＋(95－78)2]＝121.6,则其标准差为121.6≈11.03；B班兴趣小组的平均成绩为45＋48＋51＋…＋9115＝66,其方差为115×[(45－66)2＋(48－66)2＋…＋(91－66)2]＝175.2,则其标准差为175.2≈13.24.故选A.13．某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计,发现消费金额(单位:万元)都在区间[0.3,0.9]内,其频率分布直方图如图所示．(1)直方图中的a＝3；(2)在这些购物者中,消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为 6 000.解析:(1)由频率分布直方图可知:0．1×(0.2＋0.8＋1.5＋2.0＋2.5＋a)＝1,解得a＝3.(2)消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的频率为0.1×(3.0＋2.0＋0.8＋0.2)＝0.6,所以所求购物者的人数为0.6×10 000＝6 000.14．全世界越来越关注环境保护问题,某监测站点于2016年8月某日起连续n天监测空气质量指数(AQI),数据统计如下表:空气质量指数(μg/m3)[0,50](50,100](100,150](150,200](200,250] 空气质量等级优良轻度污染中度污染重度污染天数2040m 10 5(2)由频率分布直方图,求该组数据的平均数与中位数；(3)在空气质量指数分别为(50,100]和(150,200]的监测数据中,用分层抽样的方法抽取5天,从中任意选取2天,求事件A“两天空气质量等级都为良”的概率．解:(1)∵0.004×50＝20 n,∴n＝100,∵20＋40＋m＋10＋5＝100, ∴m＝25.40 100×50＝0.008；25100×50＝0.005；10 100×50＝0.002；5100×50＝0.001.由此完成频率分布直方图,如图:(2)由频率分布直方图得该组数据的平均数为25×0.004×50＋75×0.008×50＋125×0.005×50＋175×0.002×50＋225×0.001×50＝95,∵[0,50]的频率为0.004×50＝0.2,(50,100]的频率为0.008×50＝0.4,∴中位数为50＋0.5－0.20.4×50＝87.5.(3)由题意知在空气质量指数为(50,100]和(150,200]的监测天数中分别抽取4天和1天,在所抽取的5天中,将空气质量指数为(50,100]的4天分别记为a,b,c,d；将空气质量指数为(150,200]的1天记为e,从中任取2天的基本事件为(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),共10个, 其中事件A“两天空气质量等级都为良”包含的基本事件为(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),共6个,所以P(A)＝610＝35.。