n 1 2
它的收敛域为 | x | 1, 发散域为 | x | 1.
n 0
在收敛域内和函数是 1 n x , x ( 1,1). 1 x n 1
1 , 即有 1 x
4
s( x ) u1 ( x ) u2 ( x ) un ( x ) 定义域
n 2 x 1 x x 的和函数. 显然 lim rn ( x ) 0 (x在收敛域上) n 0
n
注
函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是
数项级数 的收敛问题.
5
例 求函数项级数的 ( 1)
n 1

n 1
x 收敛域. n
3n
解 由比值(达朗贝尔)判别法
x un1 n 3 3 n 1 lim lim 3 n lim x x n u n n 1 n x n n (1) 当 x 1时, 原级数 绝对收敛;
n 0
2


2.收敛点与收敛域 定义2 设x0 (a , b), 若数项级数 un (x0 ) 收敛 (或发散) 则称x0为函数项级数 un ( x )
n 1
n 1

的收敛点 (或发散点). 函数项级数 un ( x )的
n 1

所有收敛点 (或发散点) 称为其收敛域 (或发 散域).
函数项级数的基本概念
1
函数列和函数项级数
1.定义 定义1 设u1 ( x ), u2 ( x ), un ( x )为定义在(a, b)内 的函数序列, 则
un ( x ) u1 ( x ) u2 ( x ) un ( x ) n 1
称为定义在(a, b)内的函数项级数. 如 级数 x n 1 x x 2
总之,所讨论的级数的收敛域为区间 ( 1,1].
把函数项级数中的变量x视为参数, 通过常数 项级数的敛散性判别法, 来判定函数项级数对哪 些 x 值收敛, 哪些 x 值发散, 这是确定函数项级数 收敛域的基本方法.
7
幂 级 数
作 业
8
3
3.和函数
定义3
设{ sn ( x )} 为函数项级数 un ( x lim s( x ) s( x ), x (a , b) 存在, 则s(x)称为函数项级数 un ( x )的和函数.
n x 1 x x 如, 等比级数
(2) 当 x 1时, 原级数 发散.
6
3 n 3
(3) 当 x 1
即x 1, x 1时，
n 1 n 1
n 1 ( 1 ) n 1

x 3n n
级数为 ( 1) x 1时 ，
1 , 条件收敛 n
1 级数为 , 发散 x 1时 ， n 1 n
s(x) 的定义域就是 级数的收敛域. 1 时 , 它的定义域是 一般考虑函数 s ( x ), lim sn ( x ) s( x ) 函数项级数的部分和 1 n x n ( ,1) (1,), 但只有在 D ( 1,1)上, 它才是 余项 rn ( x ) s( x ) sn ( x )