一、底部剪力法的适用条件： 建筑高度不超过40m 以剪切变形为主 质量和刚度沿高度分布均匀 假定位移反应以第一振型为主，接近于 直线
二、底部剪力法的计算步骤 1）底部剪力计算
FEk 1 Geq
α1 ——对应基本周期的地震影响系数 Geq ——结构等效总重力荷载代表值，单质 点时取总重力荷载代表值，多质点时，取总 重力荷载代表值85%，即
Fji j j X ji Gi
总效应
S

2 Sj
例
用振型分解法求结构的层间 剪力。设防烈度为8度第一组， Ⅲ类场地。
①求结构的自振周期和振型 T1=0.467s, T2=0.208s, T3=0.134s 第一振型 {X}1={0.334 0.667 1.00} 第二振型 {X}2={-0.667 -0.666 1.00} 第三振型 {X}3={4.019 -3.035 1.00}
②计算各振型的地震影响系数j
max=0.16, Tg=0.45s
Tg 1 T max 1
③计算振型参与系数
1
0.9
1=0.139 2=0.16 3=0.16
m X
i 1 n i 1 i
n
1i
2 m X i 1i
γ 1=1.363, γ 2=-0.428 , γ 3=0.063 注意:Σ γ =1
X 11 X 12 X 1n [ A ] 令 为振型矩阵 X n1 X n 2 X nn
} [ A] {q }， } [ A] {q } ， {x { x 则{x} [ A] {q}
称为对应k振型的广义质量 称为对应k振型的广义刚度
j≠k 时
[m1 X j1 X k1 m2 X j 2 X k 2 mn X jn X kn ] 0
可写成矩阵形式
数学中，当 {A}T {B} 0 时称为 {A}与{B}正交 {X j }T [M ]{X k } 0
j 1 ji
注意 j X
第i质点的位移
xi (t )

j 1
n
j j (t ) X ji
j 表达式
i (t ) x 加速度
惯性力
(t ) X ji j j
j 1
n
i (t ) g (t )] Fi (t ) mi [ x x X mi [ j j
点体系，用反应谱求地震作用。
(t )] g (t ) F ji mi j X ji [ x j max j j X jiGi
单质点解
分别求出各振型下i质点上的地震作用及效 应Sj，i质点上总的地震效应：
S

2 Sj
二、振型分解反应谱法的计算步骤：
求多质点体系的自振周期Tj、振型｛X｝j 求各振型下的地震反应效应: 由Xji计算振型参与系数γj， 由Tj得水平地震影响系数αj，
振型称为体系振动的形状函数，即当体系按 某一自振频率振动时，振动的型式不变，质点的 位移比不变，只是位移大小不同。
（1）振型的正交性
数学上，当两个向量乘积为零时，称这两个向 量 为正交的。 振型的正交性的物理意义是：多质点体系按某
一振型振动时，它的动能和位能不会转移到另一振
型上去，就是体系按某一振型振动时不会激起该体 系其他振型的振动，即各个振型是相互独立无关的。 利用振型正交性的原理可以使微分方程组的求 解大大的简化。
2 E jk Ekj ( 2 j k )[m1 X j1 X k 1 m2 X j 2 X k 2 mn X jn X kn ] 0
一个振型的力在另一个振型上做的功等于零
当k=j时
{ X k }T [ M ]{X k } M k { X k }T [ K ]{X k } K k
§4.2 反应谱用于多自由度体系—— 振型分解反应谱法
基本思路：
线弹性多自由度 利用正交性原理将振型分解 利用反应谱求出对应于各振型的n个独立的 等效单自由度体系的最大地震反应 求每一振型的作用效应 组合
一、多自由度弹性体系的振型分解
基本思路： 利用振型正交性原理，将耦联的震动微分 方程组解耦，形成n个独立的一维微分方程。 每个振型对应于1个等效的单自由度体系 （称为‘振子’），对于每个等效单自由度 体系可运用反应谱求解地震作用。 然后再将各振型的地震作用效应按一定的 规则进行组合。
可变荷载种类 雪荷载 屋面积灰荷载 屋面活荷载 按实际情况计算的楼面活荷载 藏书库、档案库 按等效均布荷载 计算的楼面活荷载 其他民用建筑 硬钩吊车 吊车悬吊物重力 软钩吊车 组合值系数 0.5 0.5 不计入 1.0 0.8 0.5 0.5 不计入
二、单自由度体系的计算步骤
计算重力荷载代表值G 计算结构抗侧移刚度K 计算自振周期T=2π/ω， k / m 由Tg、αmax等确定水平地震影响系数α 水平地震作用力FEk=α G 分别计算结构在水平及竖向荷载作用下内力 内力组合 承载力及位移验算 构造措施
ji
g (t )] j X ji x
求和后等于1
求解最大值比求Fi(t)容易。对于单质 点，用反应谱的方法可求出地震反应最 大值。对于多质点体系，利用振型分解， 对应于每一个振型 j 有一个
ji (t )和Fji (t ) x ji (t )、 x
对于一个按 j 振型的振动的多质点体系可 视为阻尼比为 j 频率为 j 的等效单质
第4章 地震作用计算（二）
——反应谱的应用
基本问题：
• 反应谱方法的实质是什么？ • 反应谱法有哪些基本假定？ • 反应谱法的适用范围？
§4.1 反应谱用于单自由度体系计算
单层房屋、水塔及其他类似的结构，一般 简化成单质点体系。
FEK F1 G
F1
F1
G
FEK
一、重力荷载代表值
计算地震作用时采用的建筑结构的重量称为重力荷载 代表值。 重力荷载代表值=结构的永久荷载标准值+Ei ×可 变荷载标准值 Ei为组合系数，考虑地震与可变荷载同时出现的可 能性。 Ei见下表
j (t )
x
0
t
g
( )e
g
j j ( t )
sin j (t )d
sin j (t )d
令
1
则
j 0 q j (t ) j j (t )
j n
x ( )e
1
t
j ( t )

g (t ) g (t ) X ji x x
代入多质点振动微分方程
} [c]{x } [k ]{x} [M ]{I } g (t ) [M ]{ x x
成为求解q的微分方程组
t cA t K A q qt M Aq g t I M x
解的形式为
{x(t )} j { X j } sin( j t )
2 2 {x(t )} j j { X j } sin( j t ) j {x(t )} j
当按某一振型振j动时，各质点位移相对比值保持不 变，振型向量{Xj}不随时间变化。 随时间变化的函数sin(ωjt+φ)对于各质点是相同 的，我们将它用函数qj(t)表示，由于{Xj}不变，qj(t)值 就间接决定了各质点的位移大小，所以又称之为‚广义 坐标‛。 可以证明，对于强迫振动，方程的解答仍然可以用 振型向量与广义坐标的乘积形式表达，只是qj(t)的具体 表达式要复杂一些。
将方程两边左乘[A]T得：
t A c Aq t A K Aqt A M Aq T g t A M I x
T T T
[A]T[M][A]相乘所得方阵中各元素为{Xj}T[M]{Xk}, 根据振型的正交性原理，其中j≠k的各项均为零， 只有j=k的元素（即矩阵对角线上的元素）不为零。 同理，[A]T[c][A]及[A]T[K][A]两项亦然。
展开后得到n个彼此独立的关于q的方程，第j个方程：
j Ck q j K k q j X M I g (t ) Mkq x
T j
经整理并化简得：
j 2 j j q j qj q
2 j
{ X } [ M ]{I } { X } [ M ]{X } j
称为振型关于质量矩阵的正交性 T 同样有 {X j } [ K ]{X k } 0 称为振型关于刚 度矩阵的正交性
{X j } [M ]{X k } 0, ( j k )
T
（2）振型分解
由前述，多自由度体系自由振动微分方程组
(t )} [k ]{x(t )} 0 [M ]{ x
④计算各振型各楼层的地震作用Fji Fji j j X jiGi
第一振型 F11=167.4KN F12=334.4KN F13=334.2KN 第二振型 F21=120.9KN F22=120.7KN F23=-120.8KN 第三振型 F31=107.2KN F32=-80.9KN F33=17.8KN ⑤计算各振型的层间剪力Vji V11=836KN V12=668.6KN V13=334.2KN V21=120.8KN V22=-0.1KN V23=-120.8KN V31=44.1KN V32=-63.1KN V33=17.8KN
当质点的质量为 m，频率为 ，位移为x(t) 则作用于质点m上的惯性力
F m a m x(t )
2

j振型
k振型
当结构以j振型振动时，作用于i 质点mi上的 惯性力为
mi X ji
2 j
当结构以k振型振动时，i质点上的惯性力