和为600°，那么除去的这个角的度数是120° ， 这个多边形是 六 边形。
交一份满意的答卷！
1.已知四边形ABCD中,∠A与∠C互补.如果 ∠B=80°,则∠D的度数是 100° . 2.某四边形四个内角的度数之比为1:2:3:3,这 四个内角的度数分别是 40 °, 80 °, 120 °, 120 . °
解：设这个多边形的边数为 n，根据题意得：
(n－2) ×180=108n 解得：n=5 答：这个多边形是五边形。
Now I can ……
那么正五边形、正六边形、正八边形、 正n边形的每个内角分别是多少度呢？
……
正n边形
（5-2）×180°（6-2）×180° 5 6 （8-2）×180° 8 （n-2）×180° n
这就是说，如果四边形的一组对角互补， 那么另一组对角也互补。
清晨，小明沿一个 五边形广场周围的小路， 按逆时针方向跑步。
•（1）小明每从一条 街道转到下一条街 道时，身体转过的 角是 哪 个 角？ • （2）他每跑完一圈，身体转过的角 度之和是多少？ • （3）在上图中，你能求出1+ 2+ 3+ 4+ 5=吗？你是怎样得到的？
其 他 方 案
图3
C D
如图3，在四边形外任取一点P,连接PA、 PB、PC、PD将四边形变成有一个公 共顶点的四个三角形，四边形内角和 等于180° ×3－ 180° = 360°
照猫画虎
我们也可以利用以上不同的方法分 割多边形，得到n边形的内角和公式
An
p
A 1
A5
A4
A 1
An
A5
A4
A2
A 3
3.在四边形ABCD中,已知∠A=85 ° ∠C =115 ° ∠B比∠D大20°,则∠B的度数是 90° ， ∠D的度数是 70 ° .
练一练: 已知在四边形ABCD中, ∠A= 90° ∠C= 90°,BE平分∠ABC,交CD于点E,DF 平分∠ADC,交AB于点F.求证:BE∥DF.
A
F B
= 180°
内角和增加180°
例3. 五边形中,前四个角的比是1:2:3:4,第五个角比 最小角多100 °,则这个五边形的内角分别为_____ • 解;设五边形中前四个角的度数分别是x,2x,3x,4x, 则第五个角度数是x+ 100 °. • X+2x+3x+4x+x+ 100 °= （5－2）×180° • 11X +100 °= 540° • 11X = 440° • X = 40° • 则这个五边形的内角分别为40, 80°, 120°, 160°, 140°.
练习
1、 若多边形的外角和与内角和之比为2∶9， 求这个多边形的边数及内角和。
2 、一个多边形中的各内角相等，且每个内角 与外角之差的绝对值为60°，求此多边形的边 数。 3、 已知多边形的一个内角的外角与其它 各内角的度数总和为600°，求边数．
4 、如果多边形的每个内角都比它相邻的 外角的4倍还多30°，求这个多边形的内 角和及对角线的总条数．
这个多边形的边数为6。
例2. 一个多边形当边数增加1时，它的内角和增加
多少度？ 外角和呢？ 边数增加2或3呢？ 解： 设多边形的边数为n， ∵它的内角和等于 (n-2)•180°， 当边数增加1时，内角和为(n+1-2)•180°， (n+1-2)•180°- (n-2)•180° =n•180°-180°-n•180°+360°
1 B
A
5 E
2
C
3
4
D
A' θ
E'
结论： 1， 2， 3， 4， 5的和等于 360ْ
α B'
δ O β γ
D'
C'
多边形的外角和
如果广场的形状是六边形、八 边形，那么还有类似的结论吗？ 多边形 内角的一边与另一边的反 向延长线所组成的角叫做这个多 边形的外角。 在每个顶点处取这个多边形的一 个外角，它们的和叫做这个多边 形的外角和。
2 180 360
0
n 180 (n 2) 180
0
0
0
多边形的外角和等于
例1. 已知一个多边形，它的内角和 等于外 角和的2倍，求这个多边形的边数。
解： 设多边形的边数为n ∵它的内角和等于 (n-2)•180°，
多边形外角和等于360º ，
∴ (n-2)•180°=2× 360º 。 解得: n=6
多边形及其内角和
1、填空：如图，此多边形应记作 五 边形 ABCDE，AB 边的邻边是 AE 、 BC ，顶点E处的内角为 ∠AED ，过 2 条，它们 顶点A画出这个多边形的对角线，共有 把多边形分成 3 个三角形。 2、n边形有 n 个顶点， n 条边，有 n 个角， n 有 个不同顶点的外角． 5 条 3、四边形有 2 条对角线。五边形有 对角线。 4、四边形的一条对角线将它分成 2 个三角形． 5、从六边形的一个顶点出发可以画 ３ 条对角线，它 们将六边形分成 ４ 个三角形． E 6、正多边形的 边 相等, 角 相等． 7、多边形分为 凸多边形 和 凹多边形 两类． A
3. 一个多边形除了一个内角为 130°外，其余各内角的和为 2030°，求多边形的边数． 4. 已知五边形五个内角的比为 1∶1.5∶2∶2.5∶3，求这个五边形 的五个外角．
8.已知多边形的内角和与某一个外角 的度数总和为1350°，求多边形的边 数.
学习了本节课你有 哪些 收获？
随堂练习
求下列图形中x的值：
1400
1500 1200
2x0
x0
(1)
1200 80
x
0
x0
(2)
0
E
D
x
0
1500
750
(3)
x
0
600
1350
C
A
(4)
B
AB∥CD
思考一：一个三角形中，它的内角最多可以有几个锐角？ 为什么？
思考二：一个四边形中，它的内角最多可以有几个锐角？ 为什么？
思考三：一个多边形中，它的内角最多可以有几个锐角？ 为什么？
D
B
C
想一想
浙江金华兰溪诸葛八卦村
布局精巧玄妙，从高空俯视，全村呈八卦形，房屋、街巷 的分布走向恰好与历史上写的诸葛亮九宫八卦阵暗合。
你能算出八卦图的内角和吗？
你能算它的内角和吗？
想一想
它们的内角和该怎么计算呢？
其他多边形的内角和呢？
你还记得三角形内角和是多少度？
（三角形内角和 180°）
你知道长方形和正方形的内角和是多少？
A2
p
An
A 3
An
A 1
A2
A5
A4
A 3
A 1
A5
A4
A2
p
A 3
最终结论
n边形内角和等于 （n－2）× 180°
抢 答
1、八边形的内角和等于多少度？ 十边形呢？
（8－2) ×180°= 1080° (10－2) ×180°= 1440°
2、已知一个多边形每个内角都等108° ， 求这个多边形的边数？
D E
C
4.若一个n边形的内角都相等，且内角的度数 与和它相邻的外角的度数比为3∶1，那么，这 个多边形的边数为________. 5.若一个十边形的每个外角都相等，则它的 每个外角的度数为________，每个内角的度数 为________.
Hale Waihona Puke 6.若一个凸多边形的内角和等于它的外角和， 则它 的边数是_________. 7.如果一个多边形的每一个外角都相等，并 且它的内角和为2880°，那么它的内角为 _________.
3
一个多边形中，它的外角最多可以有几个钝角？
多边形的外角和等于 360ْ
An
A8
A1
A2 A3 A4
A7 A6
各抒己见
多边形 外角与内角有何关 系？还有其他方法可以推 导出多边形外角和？
A5 多边形的任何一个内角加上与它相邻的 内角都等于180°（平角），n个外角连同 它们的各自相邻的内角，共有n个180°， 总和为n× 180° ，再用它减去n个内角的 和，剩下的就是多边形的外角和了！
=108°
=120°
=135°
典型例题
例1、如果一个四边形的一组对角互补， 那么另一组对角有什么关系？ C 解：如图四边形ABCD中， D
A C 180
因为：
0
A
0 0
B
A B C D (4 2) 180 360
所以: B D 3600 (A C) 1800
随堂练习
72° 1.正五边形 的每一个外角等于___. 每一个内角等于 144° _____, 2.如果一个正多边形的一个内角等于120°,则这个 6 多边 形的边 数是_____
3.如果一个多边形的每一个外角等于30°,则这个多 12 边形的边数是_____
今天的收获
1、 由n条不在同一直线上的线段首尾顺 次连结组成的平面图形称为n边形，又称为 多边形。 2、n边形从一个顶点所画对角线的条 数为：n－3 3、n边形的内角和等于：（n－2）×180° 4、利用类比归纳、转化的学习方法，可 以把多边形问题转化为三角形问题来解决; 5、方程的数学思想在几何中有重要的作用。
课后思考
1、一天小明爸爸给小明出了一道智力题考 考他。将一个多边形截去一个角后(没有过 顶点）得到多边形的内角和将会（ ） A、不变 B、增加 180°
C、减少 180° D、无法确定
1. 如果把多边形的边数增加1条，它的 内角和是2160°，那么这个多边形