已知函数()f x =Acos(x ωϕ+)的图象如图所示,2()23f π=-,则(0)f =( ) (A )23-(B) 23 (C)- 12 (D) 122π3,于是f(0)【解析】选B.由图象可得最小正周期为=f(2π3),注意到2π3与π2关于7π12对称,所以f(2π3)=-f(π2)=23.如果函数()cos 2y x φ=3+的图像关于点43π⎛⎫⎪⎝⎭,0中心对称,那么||ϕ的最小值 为( ) (A )6π (B )4π (C )3π (D) 2π【解析】选A.函数()cos 2y x φ=3+的图像关于点43π⎛⎫⎪⎝⎭,0中心对称4232k ππφπ∴⋅+=+13()6k k Z πφπ∴=-∈由此易得min ||6πφ=. 已知函数y=sin (ωx+ϕ)(ω>0, -π≤ϕ<π)的图像如图所示,则 ϕ=________________【解析】由图可知,()544,,2,1255T x πωπϕ⎛⎫=∴=+ ⎪⎝⎭把代入y=sin 有: 89,510ππϕϕ⎛⎫+∴= ⎪⎝⎭1=sin已知函数()2sin()f x x ωφ=+的图像如图所示,则712f π⎛⎫=⎪⎝⎭。
【解析】由图象知最小正周期T =32(445ππ-)=32π=ωπ2,故ω=3,又x =4π时,f (x )=0,即2φπ+⨯43sin()=0,可得4πφ=,所以,712f π⎛⎫=⎪⎝⎭2)41273sin(ππ+⨯=0。
)已知函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈(其中0,0,02A πωϕ>><<)的图象与x 轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为2π,且图象上一个最低点为2(,2)3M π-.(Ⅰ)求()f x 的解析式; (Ⅱ)当[,]122x ππ∈,求()f x 的值域.【解析】(1)由最低点为2(,2)3M π-得A=2.由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为2π得2T =2π,即T π=,222T ππωπ===由点2(,2)3M π-在图像上得242sin(2)2,)133ππϕϕ⨯+=-+=-即sin(故42,32k k Z ππϕπ+=-∈ 1126k πϕπ∴=- 又(0,),,()2sin(2)266f x x πππϕϕ∈∴==+故(2)7[,],2[,]122636x x πππππ∈∴+∈ 当26x π+=2π,即6x π=时,()f x 取得最大值2;当7266x ππ+=即2x π=时,()f x 取得最小值-1,故()f x 的值域为[-1,2]把函数y =cos(3x +4π)的图象适当变动就可以得到y =sin(-3x )的图象,这种变动可以是( )A.向右平移4π B.向左平移4πC.向右平移12π D.向左平移12π 分析:三角函数图象变换问题的常规题型是:已知函数和变换方法,求变换后的函数或图象,此题是已知变换前后的函数,求变换方式的逆向型题目,解题的思路是将异名函数化为同名函数,且须x 的系数相同.解:∵y =cos(3x +4π)=sin(4π-3x )=sin [-3(x -12π)] ∴由y =sin [-3(x -12π)]向左平移12π才能得到y =sin(-3x )的图象.答案:D4.将函数y =f (x )的图象沿x 轴向右平移3π,再保持图象上的纵坐标不变,而横坐标变为原来的2倍,得到的曲线与y =sin x 的图象相同,则y =f (x )是( )A.y =sin(2x +3π) B.y =sin(2x -3π) C.y =sin(2x +32π) D.y =sin(2x -32π)分析:这是三角图象变换问题的又一类逆向型题,解题的思路是逆推法.解:y =f (x )可由y =sin x ,纵坐标不变,横坐标压缩为原来的1/2,得y =sin2x ;再沿x 轴向左平移3π得y =sin2(x +3π),即f (x )=sin(2x +32π).若函数f (x )=sin2x +a cos2x 的图象关于直线x =-8π对称,则a =–1. 分析:这是已知函数图象的对称轴方程,求函数解析式中参数值的一类逆向型题,解题的关键是如何巧用对称性.解:∵x 1=0,x 2=-4π是定义域中关于x =-8π对称的两点 ∴f (0)=f (-4π) 即0+a =sin(-2π)+a cos(-2π) ∴a =-1若对任意实数a ,函数y =5sin(312+k πx -6π)(k ∈N)在区间[a ,a +3]上的值45出现不少于4次且不多于8次,则k 的值是( )A.2B.4C.3或4D.2或3分析:这也是求函数解析式中参数值的逆向型题,解题的思路是:先求出与k 相关的周期T 的取值范围,再求k .解:∵T =3)3(,1263122=-++=+a a k k ππ又因每一周期内出现45值时有2次,出现4次取2个周期,出现45值8次应有4个周期.∴有4T ≥3且2T ≤3即得43≤T ≤23,∴43≤126+k ≤23解得23≤k ≤27,∵k ∈N,∴k =2或3.巧求初相角求初相角是高中数学学习中的一个难点,怎样求初相角?初相角有几个?下面通过错解剖析,介绍四种方法.如图,它是函数y =A sin(ωx +ϕ)(A >0,ω>0),|ϕ|<π的图象,由图中条件,写出该函数解析式. 错解:由图知:A =5由23252πππ=-=T 得T =3π,∴ω=T π2=32∴y =5sin(32x +ϕ)将(π,0)代入该式得:5sin(32π+ϕ)=0 由sin(32π+ϕ)=0,得32π+ϕ=k π ϕ=k π-32π(k ∈Z )∵|ϕ|<π,∴ϕ=-32π或ϕ=3π∴y =5sin(32x -32π)或y =5sin(32x +3π)分析:由题意可知,点(4π,5)在此函数的图象上,但在y =5sin(32x -32π)中,令x =4π,则y =5sin(6π-32π)=5sin(-2π)=-5,由此可知:y =5sin(32x -32π)不合题意.那么,问题出在哪里呢?我们知道,已知三角函数值求角,在一个周期内一般总有两个解,只有在限定的范围内才能得出惟一解.正解一:(单调性法)∵点(π,0)在递减的那段曲线上∴32π+ϕ∈[2π+2k π,32π+2k π](k ∈Z )由sin(32π+ϕ)=0得32π+ϕ=2k π+π ∴ϕ=2k π+3π(k ∈Z )∵|ϕ|<π,∴ϕ=3π正解二:(最值点法)将最高点坐标(4π,5)代入y =5sin(32x +ϕ)得5sin(6π+ϕ)=5 ∴6π+ϕ=2k π+2π ∴ϕ=2k π+3π (k ∈Z )取ϕ=3π正解三:(起始点法)函数y =A sin(ωx +ϕ)的图象一般由“五点法”作出,而起始点的横坐标x 正是由ωx +ϕ=0解得的,故只要找出起始点横坐标x 0,就可以迅速求得角ϕ.由图象求得x 0=-2x,∴ϕ=-ωx 0=-32 (-2π)=3π.正解四:(平移法)由图象知,将y =5sin(32x )的图象沿x 轴向左平移2π个单位,就得到本题图象,故所求函数为y =5sin 32(x +2π),即y =5sin(32x +3π).【基础知识精讲】1.用五点法作y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的图像时,我们采用换元法,将ωx+φ看成y=sinx 中的x ,模仿y=sinx 的五点法来作.ωx 1+φ=0⇒x 1=-ωΦ,ωx 2+φ=2π⇒x 2=ωπΦ-2ωx 3=π⇒x 3=ωπΦ-,ωx 4+φ=23π⇒x 4=ωπΦ-23,ωx 5+φ=2π⇒x 5=ωπΦ-2.即五点(-ωΦ,0),( ωπΦ-2,A),( ωπΦ-,0).(ωπΦ-23,-A).( ωπΦ-2,0)2.函数y=Asin(ωx+φ)的图像与y=sinx 的图像关系.(1)振幅变换函数y=Asinx(A >0,且A ≠1)的图像,可以看作是y=sinx 图像上所有点的纵坐标伸长(A >1)或缩短(0<A <1)到原来的A 倍(横坐标不变)而得到的.这种变换叫振幅变换,它实质上是纵向的伸缩.(2)周期变换函数y=sin ωx(ω>0,且ω≠1)的图像,可以看作是把y=sinx 的图像上各点的横坐标都缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的ω1倍(纵坐标不变)而得到的,由y=sinx 的图像变换为y=sin ωx 的图像,其周期由2π变ωπ2.这种变换叫做周期变换.它实质上是横向的伸缩.(3)相位变换函数y=sin(x+φ)(φ≠0)的图像,可以看作是把y=sinx 的图像上各点向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位而得到的.这种由y=sinx 的图像变换为y=sin(x+φ)的图像的变换,使相位x 变为x+φ,我们称它为相位变换.它实质上是一种左右平移变换.应用振幅变换、周期变换、相位变换(左右平移变移)和上下平移变换可由y=sinx 的图像得到y=Asin(ωx+φ)+k 的图像.事实上,设f 、t 、h 分别表示相位变换,周期变换,振幅变换,则变换作图法共有以下不同的程序.(1)f →t →h;(2)f →g →t(3)t →h →f;(4)t →f →h;(5)h →f →t;(6)h →t →f3.y=Asin(ωx+φ)(A >0,ω>0)与振动在物理学中,y=Asin(ωt+φ)(A >0,ω>0),其中t ∈[0,+∞),表示简谐振动的运动方程.这时参数A ,ω,φ有如下物理意义.A 称为振幅,它表示振动时物体离开平衡位置的最大距离.T=ωπ2称为周期,它表示振动一次所需的时间(亦即函数y 的最小正周期).f=T 1= πω2称为振动的频率,它表示单位时间内往复振动的次数,ωt+φ叫做相位,当t=0时的相位,即φ称为初相.4.函数图像的对称变换一个函数的图像经过适当的变换(例如对称、平移、伸缩等)得到与其图像有关函数的图像,叫做函数的初等变换.前面的平移、伸缩变换均属初等变换. 对称变换主要指下面几种:(1)函数y=-f(x)的图像与y=f(x)的图像关于x 轴对称. (2)函数y=f(-x)的图像与y=f(x)的图像关于y 轴对称. (3)函数y=f(-x)的图像与y=-f(x)的图像关于原点对称.(4)函数y=f -1(x)(或x=f(y))的图像与y=f(x)的图像关于直线y=x 对称. 【重点难点解析】重点:用“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)的简图及三角函数的图像变换. 难点:三角函数的图像变换.即由y=sinx 的图像变换到y=Asin(ωx+φ)的过程. 关键:理解A 、ω、φ的对图像变化所起的作用.例1 函数y=3cos(2x -4π)的图像可以由y=sinx 的图像经过怎样的变换得到?解:y=3cos(2x -4π)=3sin [2π+( 2x -4π)]=3sin(2x +4π).先将y=sinx 的图像向右平移4π个单位,得到y 1=sin(x+4π)的图像.再将y 1的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍,得到y 2=sin(2x +4π)的图像.再将y 2的图像上各点的纵坐标伸长到原来的3倍,就得到所求函数的图像.评析:这种图像变换的顺序通常是先作相位变换,再作周期变换,最后作振幅变换.本题中若将相位变换与周期变换的顺序交换,得到的结果将是y=3sin(2x +8π)而不是y=3sin(2x +4π).例2 用五点法作出函数y=4sin(2x +3π)在一个周期内的简图.解:函数y=4sin(2x +3π)的振幅A=4,周期T=4π,令2x +3π=0,得初始值x 0=-32π(初始值指图像由x 轴下方向上经过x 轴时的横截距).列表:2x +3π2π π23π 2πx-32π3π34π37π310πy4-4评注:注意到五点的横坐标是从x 0开始,每次增加周期的41,即x i =x i-1+4T(i=1,2,3,4)可简化x 的五个值的运算.例3 设三角函数f(x)=sin(5k x+3π)(k ≠0).(1)写出f(x)的最大值M ,最小值m 和最小正周期T ;(2)试求最小正整数k ,使得当自变量x 在任意两个整数间(包括整数本身)变化时,函数f(x)至少有一个值是M ,一个值是m.解:(1)M=1,m=-1,T=52k π=kπ10.(2)f(x)在它的每一个周期中都恰好有一个值是M 与一个值是m ,而任意两个整数间的距离都≥1,因此要使任意两个整数间函数f(x)至少有一个值是M 与一个值m ,必须且只须f(x)的周期≤1,即kπ10≤1,|k |≥10π=31.4,可见,k=32就是这样的最小整数.例4 已知正弦数y=Asin(ωx+φ)(其中A >0,ω>0)的一个周期的图像如图所示,试求函数的解析式.分析:求函数的解析式,就是确定解析式中A ,ω,φ的值.由图像中三个已知点的坐标列出A ,ω,φ的方程组求解.若令X=ωx+φ,要注意x 0=-25π是初始值,对应于X=0,x=-π时对应于X=π.∴函数解析式为y=2sin(32x+35π).【难题巧解点拔】例1 指出将y=sinx 的图像变换为y=sin(2x+3π)的图像的两种方法.思路1 x →2x →2(x+6π)=2x+3π.解法 1 y=sinx 纵坐标不变横坐标缩短为原来的−−−−−−−−−−→−21y=sin2x −−−−−−−→−π单位向左平移6y=sin[2(x+6π)]=sin(2x+3π).思路2 x →x+3π→2x+3π.解法2y=sinx −−−−−−−→−π单位向左平移3y=sin(x+3π)纵坐标不变横坐标缩短为原来的−−−−−−−−−−→−21y=sin(2x+3π).说明:在解法1中,先伸缩,后平移.在解法2中,先平移,后伸缩.表面上看来,两种变换方法中的平移是不同的(即6π和3π),但由于伸缩变换的影响,所以实质上都是一致的.例2 函数f(x)的横坐标伸长到原来的两倍,再向左平移2π个单位,所得到的曲线是y=21sinx 的图像,试求函数y=f(x)的解析式.分析:这个问题有两种解法,一是考虑以上变换的“逆变换”(所谓“逆变换”,即将以上变换倒过来,由y=21sinx 变换到y=f(x);二是代换法,即设y=Asin(ωx+φ),然后按题设中的变换分两步得:y=Asin [2ω(x+2π)+φ],它就是y=21sinx ,即可求得A 、ω、φ的值.解法1:问题即是将y=21sinx 的图像先向右平移2π个单位,得y=21sin(x-2π);再将横坐标压缩到原来的21,得y=21sin(2x-2π),即y=-21cos2x.这就是所求函数f(x)的解析式.例2 已知正弦函数y=Asin(ωx+φ)的一段曲线(如下图),试求解析式.解:(1)因为A=3,T=π,ω=2,φ=-ωx 0=-2(-52π)=54π,所以y=3sin(2x+54π).(2)A=2,当x=0时,y=1,所以2sin φ=1,又|φ|<2π,所以φ=4π,当x=1211π时,y=0,即2sin(ω·1211π+4π)=0,所以ω=1121,所以y=2sin(1121x+4π).评析:若已知曲线与x 轴的交点的坐标,先确定ω=T π2;若已知曲线与y 轴的交点的坐标,先确定φ;若先确定ω则有φ=-ωx 0,其中x 0是离y 轴最近的递增区间的中心点的横坐标.1.如图,是正弦函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A >0,ω>0)的一个周期的图像. (1)写出f(x)的解析式;(2)若g(x)与f(x)的图像关于直线x=2对称,写出g(x)的解析式.2.试说明y=cosx 的图像经怎样的变换可得到y=3cos(3x+2π)+1的图像?3.已知y=Asin(ωx+φ)(A >0,ω>0,0<φ<π)的最小正周期为32π,最小值为-2,且过点(95π,0),求它的表达式.1.已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A >0,ω>0,|φ|<2π)的图像在y 轴上的截距为1,它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x 0,2)和(x 0+3π,-2). (Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)y=f(x)的图像上所有点的横坐标缩短到原来的31(纵坐标不变),然后再将所得图像向x 轴正方向平移3π个单位,得到函数y=g(x)的图像.写出函数y=g(x)的解析式并用列表作图的方法画出y=g(x)在长度为一个周期的闭区间上的图像. 例2 右图为某三角函数图像的一段(1)试用y=Asin (ωx+φ)型函数表示其解析式;(2)求这个函数关于直线x=2π对称的函数解析式.y 13ππ3解:(1)T= 13π3- π3=4π. ∴ω=2πT = 12.又A=3,由图象可知 所给曲线是由y=3sin x 2沿x 轴向右平移 π3而得到的. ∴解析式为 y=3sin 12 (x -π3).(2)设(x ,y)为y=3sin(12 x -π6)关于直线x=2π对称的图像上的任意一点,则该点关于直线x=2π的对称点应为(4π-x ,y),故与y=3sin(12 x -π6)关于直线x=2π对称的函数解析式是y=3sin [12(4π-x)- π6]=-3sin(12 x +π6). 点评 y=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象由y=sin ωx 的图象向左平移(φ>0)或向右平移(φ<0)|φ|ω个单位.特别要注意不能搞错平移的方向和平移的单位数量.求一个函数的图象关于一条直线对称图象的函数解析式时,要注意解几知识的运用.例1 求函数f(x)=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x 的最大值,并求出此时x 的值.分析 由于f (x )的表达式较复杂,需进行化简.解 y=sin 2x+cos 2x+sin2x+1+cos2x=sin2x+cos2x+2= 2 sin(2x+π4)+2 当2x+π4=2k π+π2, 即x=k π+π8 (k ∈Z)时,y max = 2 +2 .点评 要熟练掌握y=asinx+bcosx 类型的三角函数最值的求法,asinx+bcosx= a 2+b 2sin (x+φ).例2 若θ∈[-π12, π12],求函数y=cos(π4+θ)+sin2θ的最小值. 分析 在函数表达式中,含有两个角和两个三角函数名称,若能化成含有一个角和一个三角函数名称的式子,则问题可得到简化.解 y=cos(π4+θ)-cos [2(θ+π4)]=cos(π4+θ)-[2cos 2(θ+π4)-1]=-2cos 2(θ+π4)+cos(π4+θ)+1 =-2[cos 2(θ+π4)-12cos(θ+π4)]+1 =-2[cos(θ+π4)-14]2+98. ∵θ∈[-π12, π12], ∴θ+π4∈[π6,π3]. ∴12≤cos(θ+π4)≤ 3 2, ∴y 最小值 = 3 -12. 点评 (1)三角函数表达式转化成一个角的一个三角函数的形式(即f(sinx)或g(cosx)),是常见的转化目标;(2)形如y=f(sinx)或y=g(cosx)的最值,常运用sinx ,cosx 的有界性,通过换元转化成y=at 2+bt+c 在某区间上的最值问题;(3)对于y= Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的最值的求法,应先求出t=ωx+φ的值域,然后再由y=Asint 和y=Acost 的单调性求出最值.例3 试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值.分析 由于sinx+cosx 与sinxcosx 可以相互表示,所以令sinx+cosx=t ,则原三角函数的最值问题转化成y=at 2+bt+c 在某区间上的最值问题.解 令t=sinx+cosx ,则y=t+t 2+1=(t+12)2+34,且t ∈[- 2 , 2 ], ∴y min =34 ,y max =3+ 2 .点评 注意sinx+cosx 与sinxcosx 的关系,运用换元法将原三角函数的最值问题转化成y=at 2+bt+c 在某个区间上的最值问题.【知能集成】较复杂的三角函数的最值问题,往往通过需要恒等变形,转化成形如y=f(sinx)或y=g(cosx)型或y= Asin(ωx+φ)+k 型的三角函数的最值问题,运用三角函数的有界性、单调性求三角函数的最值.用换元法解题,特别要注意sinx+tcosx 与sinxcosx 的关系,令sinx+cosx=t ,则sinxcosx=t 2-12. y=sinxcosx+sinx+cosx ,求x ∈[0,π3]时函数y 的最大值。