数列一、等差数列与等比数列 1.基本量的思想：常设首项、（公差）比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等。

转化为“基本量”是解决问题的基本方法。

2.等差数列与等比数列的联系1）若数列{}n a 是等差数列，则数列}{n aa 是等比数列，公比为da ，其中a 是常数，d 是{}n a 的公差。

（a>0且a ≠1）；2）若数列{}n a 是等比数列，且0n a >，则数列{}log a n a 是等差数列，公差为log a q ，其中a 是常数且0,1a a >≠，q 是{}n a 的公比。

3）若{}n a 既是等差数列又是等比数列,则{}n a 是非零常数数列。

3.等差与等比数列的比较等差数列等比数列定义 常数）为(}{1d a a P A a n n n =-⇔⋅+ 常数）为(}{1q a a P G a nn n =⇔⋅+ 通项公式 n a =1a +（n-1）d=k a +（n-k ）d=dn+1a -dk n k n n q a q a a --==11求和公式n d a n d d n n na a a n s n n )2(22)1(2)(1211-+=-+=+=⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na s n n n中项公式A=2b a +推广：2n a =m n m n a a +-+ab G =2。

推广：m n m n n a a a +-⨯=2性质1 若m+n=p+q 则 q p n m a a a a +=+ 若m+n=p+q ，则q p n m a a a a =。

2 若}{n k 成A.P （其中N k n ∈）则}{nk a 也为A.P 。

若}{n k 成等比数列 （其中N k n ∈），则}{n k a 成等比数列。

3 ．n n n n n s s s s s 232,,-- 成等差数列。

n n n n n s s s s s 232,,--成等比数列。

4)(11n m nm a a n a a d nm n ≠--=--= 11a a q n n =- ， mn m n a aq =- )(n m ≠ 4、典型例题分析【题型1】 等差数列与等比数列的联系例1 （2010陕西文16）已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列.（Ⅰ）求数列{a n }的通项;（Ⅱ）求数列{2an}的前n 项和S n . 解：（Ⅰ）由题设知公差d ≠0， 由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得121d +＝1812dd++， 解得d ＝1，d ＝0（舍去）， 故{a n }的通项a n ＝1+（n －1）×1＝n. (Ⅱ)由（Ⅰ）知2ma =2n，由等比数列前n 项和公式得S m =2+22+23+ (2)=2(12)12n --=2n+1-2.小结与拓展：数列{}n a 是等差数列，则数列}{n aa 是等比数列，公比为da ，其中a 是常数，d 是{}n a 的公差。

（a>0且a ≠1）.【题型2】 与“前n 项和Sn 与通项an ”、常用求通项公式的结合例 2 已知数列{a n }的前三项与数列{b n }的前三项对应相同，且a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8n 对任意的n∈N *都成立，数列{b n ＋1－b n }是等差数列．求数列{a n }与{b n }的通项公式。

解：a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8n(n∈N *) ①当n≥2时，a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －2a n －1＝8(n －1)(n∈N *) ②①－②得2n －1a n ＝8，求得a n ＝24－n，在①中令n ＝1，可得a 1＝8＝24－1，∴a n ＝24－n(n∈N *)． 由题意知b 1＝8，b 2＝4，b 3＝2，∴b 2－b 1＝－4，b 3－b 2＝－2，∴数列{b n ＋1－b n }的公差为－2－(－4)＝2，∴b n ＋1－b n ＝－4＋(n －1)×2＝2n －6， 法一（迭代法）b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n －8) ＝n 2－7n ＋14(n∈N *)． 法二（累加法）即b n －b n －1＝2n －8，b n －1－b n －2＝2n －10， …b 3－b 2＝－2， b 2－b 1＝－4， b 1＝8，相加得b n ＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n －8)＝8＋(n －1)(－4＋2n －8)2＝n 2－7n ＋14(n∈N *)．小结与拓展：1）在数列{a n }中，前n 项和S n 与通项a n 的关系为：⎩⎨⎧∈≥-===-)N n ,2( )1(111n S S n S a a n n n .是重要考点；2）韦达定理应引起重视；3）迭代法、累加法及累乘法是求数列通项公式的常用方法。

【题型3】 中项公式与最值（数列具有函数的性质）例3 （2009汕头一模）在等比数列｛a n ｝中，a n ＞0 (n ∈N ＊），公比q ∈(0,1)，且a 1a 5 + 2a 3a 5 +a 2a 8＝25，a 3与a s 的等比中项为2。

（1）求数列｛a n ｝的通项公式；（2）设b n ＝log 2 a n ，数列｛b n ｝的前n 项和为S n 当1212n S S S n++•••+最大时，求n 的值。

解：（1）因为a 1a 5 + 2a 3a 5 +a 2a 8＝25，所以，23a + 2a 3a 5 +25a ＝25又a n ＞o ，…a 3＋a 5＝5 又a 3与a 5的等比中项为2，所以，a 3a 5＝4 而q ∈（0,1），所以，a 3＞a 5，所以，a 3＝4，a 5＝1，12q =，a 1＝16，所以， 1511622n n n a --⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭（2）b n ＝log 2 a n ＝5－n ，所以，b n ＋1－b n ＝－1，所以，{b n }是以4为首项，－1为公差的等差数列。

所以，(9),2n n n S -=92n S nn -= 所以，当n ≤8时，n S n ＞0，当n ＝9时，n S n ＝0，n ＞9时，n Sn＜0， 当n ＝8或9时，1212n S S Sn++•••+最大。

小结与拓展：1）利用配方法、单调性法求数列的最值；2）等差中项与等比中项。

二、数列的前n 项和 1.前n 项和公式Sn 的定义：S n =a 1+a 2+…a n 。

2.数列求和的方法（1）（1）公式法：1）等差数列求和公式；2）等比数列求和公式；3）可转化为等差、等比数列的数列；4）常用公式:1nk k ==∑12123(1)n n n ++++=+；21nk k ==∑222216123(1)(21)n n n n ++++=++；31nk k==∑33332(1)2123[]n n n +++++=；1(21)nk k =-=∑2n 1)-(2n ...531=++++。

（2）分组求和法：把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或等比数列，然后由等差、等比数列求和公式求解。

（3）倒序相加法：如果一个数列{a n }，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。

如：等差数列的前n 项和即是用此法推导的。

（4）裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。

适用于⎭⎬⎫⎩⎨⎧+1n n a a c 其中{n a }是各项不为0的等差数列，c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。

如：1）11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭和11n n a a +⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭（其中{}na 等差）可裂项为：111111()n n n n a a d a a ++=-⋅；2）1111()n n n n a a da a ++=-+。

（根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消 求和）常见裂项公式：（1）111(1)1n n nn ++=-；（2）1111()()n n k k nn k++=-；（3）1111(1)(1)2(1)(1)(2)[]n n n n n n n -++++=-；（4）11(1)!!(1)!n n n n ++=-（5）常见放缩公式：21211112()2()n n n n n nnn n +-+++--=<<=-.3.典型例题分析【题型1】 公式法例1 等比数列{}n a 的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ－p ，则2232221n a a a a ++++ ＝________.解：1）当n=1时，p -2a 1=；2）当2n ≥时，1-n 1-n n1-n n n 2p)-(2-p)-(2S -S a ===。

因为数列{}n a 为等比数列，所以1p 12p -2a 1-11=⇒===从而等比数列{}n a 为首项为1，公比为2的等比数列。

故等比数列{}2n a 为首项为1，公比为4q 2=的等比数列。

1)-(4314-1)4-1(1nn 2232221==++++na a a a小结与拓展：1）等差数列求和公式；2）等比数列求和公式；3）可转化为等差、等比数列 的数列；4）常用公式:（见知识点部分）。

5）等比数列的性质：若数列{}n a 为等比数列，则数列{}2na 及⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1也为等比数列，首项分别为21a、1a 1，公比分别为2q 、q 1。

【题型2】 分组求和法例 2 （2010年丰台期末18）数列{}n a 中，11a =，且点1(, )n n a a +()n *∈N 在函数()2f x x =+的图象上.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）在数列}{n a 中，依次抽取第3，4，6，…，122n -+，…项，组成新数列{}n b ，试求数列{}n b 的通项n b 及前n 项和n S .解：（Ⅰ）∵点1(, )n n a a +在函数()2f x x =+的图象上，∴12n n a a +=+。

∴12n n a a +-=，即数列}{n a 是以11a =为首项，2为公差的等差数列，∴1(1)221n a n n =+-⨯=-。

（Ⅱ）依题意知：11222(22)123n n n n b a --+==+-=+∴12n n S b b b =+++=11(23)23nniii i n ==+=+∑∑=1122323212n n n n ++-+=+--.小结与拓展：把数列的每一项分成多个项，再把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或等比数列，然后由等差、等比数列求和公式求解。