求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）总述：一．利用递推关系式求数列通项的7种方法：累加法、 累乘法、 待定系数法、 倒数变换法、 由和求通项 定义法（根据各班情况适当讲）二。

基本数列：等差数列、等比数列。

等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。

三．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。

四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。

五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

一、累加法1．适用于：1()n n a a f n +=+----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。

例1已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。

例2已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

解法一：由1231n n n a a +=+⨯+得1231n n n a a +-=⨯+则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=⨯++⨯+++⨯++⨯++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-所以3 1.n n a n =+-解法二：13231n n n a a +=+⨯+两边除以13n +，得111213333n n n n n a a +++=++， 则111213333n n n n n a a +++-=+，故 因此11(13)2(1)2113133133223n n n n na n n ---=++=+--⨯， 则21133.322n n n a n =⨯⨯+⨯-练习1.已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式.答案：12+-n n练习2.已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.答案：裂项求和n a n 12-=评注：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项n a .①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和;③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。

二、累乘法1.适用于：1()n n a f n a +=----------这是广义的等比数列 累乘法是最基本的二个方法之二。

2．若1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n na aaf f f n a a a +===，，， 两边分别相乘得，1111()nn k a a f k a +==⋅∏ 例4.设{}n a 是首项为1的正项数列，且()011221=+-+++n n n n a a na a n （n =1，2，3，…），则它的通项公式是n a =________.解：已知等式可化为：[]0)1()(11=-++++n n n n na a n a a0>n a (*N n ∈)∴(n+1)01=-+n n na a ,即11+=+n na a n n∴2≥n 时，nn a a n n 11-=-∴112211a a a a a a a a n n n n n ⋅⋅⋅⋅=--- =121121⋅⋅--⋅- n n n n =n 1. 评注：本题是关于n a 和1+n a 的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到n a 与1+n a 的更为明显的关系式，从而求出n a .练习.已知11(1),1n n n a na a ++==,求数列{n a }的通项公式.三、待定系数法适用于1()n n a qa f n +=+基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

1．形如0(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型例6已知数列{}n a 中，111,21(2)n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式。

解法一：121(2),n n a a n -=+≥又{}112,1n a a +=∴+是首项为2，公比为2的等比数列12n n a ∴+=，即21n n a =-解法二：121(2),n n a a n -=+≥两式相减得112()(2)n n n n a a a a n +--=-≥，故数列{}1n n a a +-是首项为2，公比为2的等比数列，再用累加法的……练习．已知数列}{n a 中，,2121,211+==+n n a a a 求通项n a 。

答案：1)21(1+=-n n a2．形如：nn n q a p a +⋅=+1(其中q 是常数，且n ≠0,1)①若p=1时，即：nn n q a a +=+1，累加即可.②若1≠p 时，即：n n n q a p a +⋅=+1，求通项方法有以下三种方向：i.两边同除以1+n p .目的是把所求数列构造成等差数列即：nnn n n qp p q a p a )(111⋅+=++,令n nn p a b =，则nn n q p p b b )(11⋅=-+,然后类型1，累加求通项.ii.两边同除以1+n q .目的是把所求数列构造成等差数列。

即：q q a q p q a n n n n 111+⋅=++,令n nn q a b =,则可化为q b q p b n n 11+⋅=+.然后转化为类型5来解，iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列 设)(11n n n n p a p q a ⋅+=⋅+++λλ.通过比较系数，求出λ，转化为等比数列求通项.注意：应用待定系数法时，要求p ≠q ，否则待定系数法会失效。

例7已知数列{}n a 满足1112431n n n a a a -+=+⋅=，，求数列{}n a 的通项公式。

解法一（待定系数法）：设11123(3n n n n a a λλλ-++=+⋅)，比较系数得124,2λλ=-=，则数列{}143n na--⋅是首项为111435a --⋅=-，公比为2的等比数列， 所以114352n n n a ---⋅=-⋅，即114352n n n a --=⋅-⋅解法二（两边同除以1+n q）：两边同时除以13n +得：112243333n n n n a a ++=⋅+，下面解法略 解法三（两边同除以1+n p ）：两边同时除以12+n 得：nn n n n a a )23(342211⋅+=++，下面解法略 **3．形如b kn pa a n n ++=+1(其中k,b 是常数，且0≠k )例8在数列}{n a 中，,23,111n a a a n n +==+求通项n a .（逐项相减法） 解： ，,231n a a n n +=+①∴2≥n 时，)1(231-+=-n a a n n ，两式相减得2)(311+-=--+n n n n a a a a .令n n n a a b -=+1,则231+=-n n b b 利用类型5的方法知2351+⋅=-n n b 即13511-⋅=--+n n n a a ②再由累加法可得213251--⋅=-n a n n .亦可联立①②解出213251--⋅=-n a n n .**5.形如21 n n n a pa qa ++=+时将n a 作为()f n 求解分析：原递推式可化为211()() n n n n a a p a a λλλ++++=++的形式，比较系数可求得λ，数列{}1n n a a λ++为等比数列。

例11已知数列{}n a 满足211256,1,2n n n a a a a a ++=-=-=，求数列{}n a 的通项公式。

解：设211(5)()n n n n a a a a λλλ++++=++比较系数得3λ=-或2λ=-，不妨取2λ=-，（取-3结果形式可能不同，但本质相同） 则21123(2)n n n n a a a a +++-=-，则{}12n n a a +-是首项为4，公比为3的等比数列11243n n n a a -+∴-=⋅，所以114352n n n a --=⋅-⋅练习.数列{}n a 中，若2,821==a a ,且满足03412=+-++n n n a a a ,求n a . 答案：nn a 311-=.四、倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项 例16已知数列{}n a 满足112,12nn n a a a a +==+，求数列{}n a 的通项公式。

解：求倒数得11111111111,,22n n n n n n a a a a a a +++⎧⎫=+∴-=∴-⎨⎬⎩⎭为等差数列，首项111a =，公差为12，112(1),21n n n a a n ∴=+∴=+ 五、由和求通项已知数列{}n a 的各项均为正数，且前n 项和n S 满足2132,2n S n n a =-=求数列{}n a 的通项公式。

例19已知数列{}n a 的各项均为正数，且前n 项和n S 满足1(1)(2)6n n n S a a =++，且249,,a a a 成等比数列，求数列{}n a 的通项公式。

解：∵对任意n N +∈有1(1)(2)6n n n S a a =++⑴∴当n=1时，11111(1)(2)6S a a a ==++，解得11a =或12a = 当n ≥2时，1111(1)(2)6n n n S a a ---=++⑵ ⑴-⑵整理得：11()(3)0n n n n a a a a --+--= ∵{}n a 各项均为正数，∴13n n a a --= 当11a =时，32n a n =-，此时2429a a a =成立当12a =时，31n a n =-，此时2429a a a =不成立，故12a =舍去 所以32n a n =-练习。