选修2-2 知识点及习题答案解析导数及其应用一.导数概念的引入 1. 导数的物理意义：瞬时速率。

一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。

容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n nn f x f x kx x -=-，当点n P 趋近于P时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即000()()lim()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆二.导数的计算基本初等函数的导数公式:1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1()f x x αα-'=;3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()x f x a =,则()ln x f x a a '=6 若()x f x e =,则()x f x e '=7 若()log xa f x =,则1()ln f x x a'=8 若()ln f x x =,则1()f x x'=导数的运算法则 1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=± 2.[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''∙=∙+∙ 3. 2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''∙-∙'=复合函数求导 ()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数(())()y f g x g x '''=∙三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间(,)a b 内(1)如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增；(2)如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减.2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.求函数()y f x =的极值的方法是:（1）如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值（2）如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值;4.函数的最大(小)值与导数求函数()在[,]a b上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数y f x=在(,)a b内的极值；y f x()=（2）将函数()的各极值与端点处的函数值()f a，()f b比较，其中最y f x=大的是一个最大值，最小的是最小值.推理与证明考点一合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理.类比推理的一般步骤:(1)找出两类事物的相似性或一致性;(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);(3)一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的.(4)一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可靠.考点二演绎推理(俗称三段论)由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理.考点三 数学归纳法1. 它是一个递推的数学论证方法.2. 步骤:A.命题在n=1（或0n ）时成立，这是递推的基础；B.假设在n=k 时命题成立； C.证明n=k+1时命题也成立,完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n>=0n ,且n N ∈)结论都成立。

考点三 证明1. 反证法: 2、分析法: 3、综合法: 数系的扩充和复数的概念 复数的概念 (1)复数:形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数，a 和b 分别叫它的实部和虚部. (2)分类:复数(,)a bi a R b R +∈∈中,当0b =,就是实数; 0b ≠,叫做虚数;当0,0a b =≠时,叫做纯虚数. (3)复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等. (4)共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数. (5)复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴，y 轴除去原点的部分叫做虚轴。

(6)两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。

复数的运算1.复数的加，减，乘，除按以下法则进行 设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈则（1）12()()z z a c b d i ±=±+±（2）12()()z z ac bd ad bc i ∙=-++ （3） 12222()()(0)z ac bd ad bc i z z c d-++=≠+ 2,几个重要的结论(1) 2222121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+ (2) 22||||z z z z ∙== (3)若z 为虚数,则22||z z ≠ 3.运算律(1) m n m n z z z +∙=;(2) ()m n mn z z =;(3)1212()(,)n n n z z z z m n R ∙=∙∈ 4.关于虚数单位i 的一些固定结论：（1）21i =- （2）3i i =- （3）41i = （2）2340n n n n i i i i ++++++= 练习一组 一、选择题1．在平均变化率的定义中，自变量x 在x 0处的增量Δx( ) A ．大于零 B ．小于零 C ．等于零 D ．不等于零 [答案] D[解析] Δx 可正，可负，但不为0，故应选D.2．设函数y ＝f(x)，当自变量x 由x 0变化到x 0＋Δx 时，函数的改变量Δy 为( )A ．f(x 0＋Δx)B ．f(x 0)＋ΔxC ．f(x 0)·ΔxD ．f(x 0＋Δx)－f(x 0) [答案] D[解析] 由定义，函数值的改变量Δy＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)，故应选D.3．已知函数f(x)＝－x 2＋x ，则f(x)从－1到－0.9的平均变化率为( )A ．3B ．0.29C ．2.09D ．2.9 [答案] D[解析] f(－1)＝－(－1)2＋(－1)＝－2. f(－0.9)＝－(－0.9)2＋(－0.9)＝－1.71.∴平均变化率为f(－0.9)－f(－1)－0.9－(－1)＝－1.71－(－2)0.1＝2.9，故应选D.4．已知函数f(x)＝x 2＋4上两点A ，B ，x A ＝1，x B ＝1.3，则直线AB 的斜率为( )A ．2B ．2.3C ．2.09D ．2.1 [答案] B[解析] f(1)＝5，f(1.3)＝5.69. ∴k AB ＝f(1.3)－f(1)1.3－1＝5.69－50.3＝2.3，故应选B.5．已知函数f(x)＝－x 2＋2x ，函数f(x)从2到2＋Δx 的平均变化率为( )A ．2－ΔxB ．－2－ΔxC ．2＋ΔxD ．(Δx)2－2·Δx [答案] B[解析] ∵f(2)＝－22＋2×2＝0，∴f(2＋Δx)＝－(2＋Δx)2＋2(2＋Δx) ＝－2Δx－(Δx)2，∴f(2＋Δx )－f(2)2＋Δx－2＝－2－Δx，故应选B.6．已知函数y ＝x 2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则ΔyΔx等于( )A ．2B ．2xC ．2＋ΔxD ．2＋(Δx)2 [答案] C[解析] Δy Δx ＝f(1＋Δx )－f(1)Δx＝[(1＋Δx )2＋1]－2Δx＝2＋Δx.故应选C.7．质点运动规律S(t)＝t 2＋3，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为( )A ．6.3B ．36.3C ．3.3D ．9.3 [答案] A[解析] S(3)＝12，S(3.3)＝13.89，∴平均速度v ＝S(3.3)－S(3)3.3－3＝1.890.3＝6.3，故应选A.8．在x ＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x 、②y＝x 2、③y ＝x 3、④y＝1x中，平均变化率最大的是( )A ．④B ．③C ．②D ．①[答案] B[解析] Δx＝0.3时，①y＝x 在x ＝1附近的平均变化率k 1＝1；②y＝x 2在x ＝1附近的平均变化率k 2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x 3在x ＝1附近的平均变化率k 3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；④y＝1x在x ＝1附近的平均变化率k 4＝－11＋Δx ＝－1013.∴k 3＞k 2＞k 1＞k 4，故应选B. 9．物体做直线运动所经过的路程s 可以表示为时间t 的函数s ＝s(t)，则物体在时间间隔[t 0，t 0＋Δt]内的平均速度是( ) A ．v 0 B.Δts(t 0＋Δt )－s(t 0)C.s(t 0＋Δt )－s(t 0)ΔtD.s(t)t[答案] C[解析] 由平均变化率的概念知C 正确，故应选C.10．已知曲线y ＝14x 2和这条曲线上的一点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，14，Q 是曲线上点P 附近的一点，则点Q 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋Δx，14(Δx )2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫Δx，14(Δx )2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋Δx，14(Δx＋1)2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫Δx，14(1＋Δx )2[答案] C[解析] 点Q 的横坐标应为1＋Δx，所以其纵坐标为f(1＋Δx)＝14(Δx＋1)2，故应选C. 二、填空题11．已知函数y ＝x 3－2，当x ＝2时，ΔyΔx ＝________.[答案] (Δx)2＋6Δx＋12[解析] Δy Δx ＝(2＋Δx )3－2－(23－2)Δx＝(Δx )3＋6(Δx )2＋12ΔxΔx＝(Δx)2＋6Δx＋12.12．在x ＝2附近，Δx＝14时，函数y ＝1x 的平均变化率为________．[答案] －29[解析] Δy Δx ＝12＋Δx －12Δx ＝－14＋2Δx ＝－29.13．函数y ＝x 在x ＝1附近，当Δx＝12时的平均变化率为________． [答案]6－2[解析] Δy Δx ＝1＋Δx－1Δx ＝11＋Δx＋1＝6－2.14．已知曲线y ＝x 2－1上两点A(2,3)，B(2＋Δx,3＋Δy)，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率是________；当Δx＝0.1时，割线AB 的斜率是________． [答案] 5 4.1[解析] 当Δx＝1时，割线AB 的斜率k 1＝Δy Δx ＝(2＋Δx )2－1－22＋1Δx ＝(2＋1)2－221＝5.当Δx＝0.1时，割线AB 的斜率 k 2＝Δy Δx ＝(2＋0.1)2－1－22＋10.1＝4.1.三、解答题15．已知函数f(x)＝2x ＋1，g(x)＝－2x ，分别计算在区间[－3，－1]，[0,5]上函数f(x)及g(x)的平均变化率． [解析] 函数f(x)在[－3，－1]上的平均变化率为 f(－1)－f(－3)－1－(－3)＝[2×(－1)＋1]－[2×(－3)＋1]2＝2.函数f(x)在[0,5]上的平均变化率为 f(5)－f(0)5－0＝2.函数g(x)在[－3，－1]上的平均变化率为 g(－1)－g(－3)－1－(－3)＝－2.函数g(x)在[0,5]上的平均变化率为 g(5)－g(0)5－0＝－2.16．过曲线f(x)＝2x 2的图象上两点A(1,2)，B(1＋Δx,2＋Δy)作曲线的割线AB ，求出当Δx＝14时割线的斜率．[解析] 割线AB 的斜率k ＝(2＋Δy )－2(1＋Δx )－1＝ΔyΔx＝2(1＋Δx )2－2Δx ＝－2(Δx＋2)(1＋Δx )2＝－7225.17．求函数y ＝x 2在x ＝1、2、3附近的平均变化率，判断哪一点附近平均变化率最大？[解析] 在x ＝2附近的平均变化率为k 1＝f(1＋Δx )－f(1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx ＝2＋Δx；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f(2＋Δx )－f(2)Δx ＝(2＋Δx )2－22Δx ＝4＋Δx；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f(3＋Δx )－f(3)Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx ＝6＋Δx.对任意Δx 有，k 1＜k 2＜k 3， ∴在x ＝3附近的平均变化率最大．18．路灯距地面8m ，一个身高为1.6m 的人以84m/min 的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C 处沿直线离开路灯． (1)求身影的长度y 与人距路灯的距离x 之间的关系式； (2)求人离开路灯的第一个10s 内身影的平均变化率． [解析] (1)如图所示，设人从C 点运动到B 处的路程为xm ，AB 为身影长度，AB 的长度为ym ，由于CD∥BE，则AB AC ＝BECD， 即y y ＋x ＝1.68，所以y ＝f(x)＝14x. (2)84m/min ＝1.4m/s ，在[0,10]内自变量的增量为x 2－x 1＝1.4×10－1.4×0＝14， f(x 2)－f(x 1)＝14×14－14×0＝72.所以f(x 2)－f(x 1)x 2－x 1＝7214＝14.即人离开路灯的第一个10s 内身影的平均变化率为14.练习二组 一、选择题1．函数在某一点的导数是( )A ．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比B ．一个函数C ．一个常数，不是变数D ．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 [答案] C[解析] 由定义，f′(x 0)是当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近的常数，故应选C.2．如果质点A 按照规律s ＝3t 2运动，则在t 0＝3时的瞬时速度为( )A ．6B ．18C ．54D ．81 [答案] B[解析] ∵s(t)＝3t 2，t 0＝3，∴Δs ＝s(t 0＋Δt)－s(t 0)＝3(3＋Δt)2－3·32 ＝18Δt ＋3(Δt)2∴ΔsΔt＝18＋3Δt.当Δt→0时，ΔsΔt →18，故应选B.3．y ＝x 2在x ＝1处的导数为( ) A ．2x B ．2 C ．2＋Δx D ．1 [答案] B[解析] ∵f(x)＝x 2，x ＝1，∴Δy＝f(1＋Δx)2－f(1)＝(1＋Δx)2－1＝2·Δx＋(Δx)2 ∴ΔyΔx ＝2＋Δx 当Δx→0时，ΔyΔx →2∴f′(1)＝2，故应选B.4．一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为s(t)＝4t 2－3(s(t)的单位：m ，t 的单位：s)，则t ＝5时的瞬时速度为( ) A ．37 B ．38 C ．39 D ．40 [答案] D[解析] ∵Δs Δt ＝4(5＋Δt )2－3－4×52＋3Δt ＝40＋4Δt，∴s′(5)＝li m Δt→0 ΔsΔt ＝li m Δt→0 (40＋4Δt)＝40.故应选D.5．已知函数y ＝f(x)，那么下列说法错误的是( ) A ．Δy＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)叫做函数值的增量B.Δy Δx ＝f(x 0＋Δx )－f(x 0)Δx 叫做函数在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率C ．f(x)在x 0处的导数记为y′D ．f(x)在x 0处的导数记为f′(x 0) [答案] C[解析] 由导数的定义可知C 错误．故应选C.6．函数f(x)在x ＝x 0处的导数可表示为y′|x＝x 0，即( ) A ．f′(x 0)＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)B ．f′(x 0)＝li m Δx→0[f(x 0＋Δx)－f(x 0)]C ．f′(x 0)＝f(x 0＋Δx )－f(x 0)ΔxD ．f′(x 0)＝li m Δx→0 f(x 0＋Δx )－f(x 0)Δx[答案] D[解析] 由导数的定义知D 正确．故应选D.7．函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0，a ，b ，c 为常数)在x ＝2时的瞬时变化率等于( )A ．4aB ．2a ＋bC ．bD ．4a ＋b [答案] D[解析] ∵Δy Δx ＝a(2＋Δx )2＋b(2＋Δx )＋c －4a －2b －cΔx＝4a ＋b ＋aΔx，∴y′|x ＝2＝li m Δx→0 ΔyΔx ＝li m Δx→0 (4a ＋b ＋a·Δx)＝4a ＋b.故应选D.8．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是( )A ．圆B ．抛物线C ．椭圆D ．直线 [答案] D[解析] 当f(x)＝b 时，f′(x)＝0，所以f(x)的图象为一条直线，故应选D.9．一物体作直线运动，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度为( )A ．0B ．3C ．－2D ．3－2t [答案] B[解析] ∵Δs Δt ＝3(0＋Δt)－(0＋Δt)2Δt ＝3－Δt ，∴s′(0)＝li m Δt→0 ΔsΔt＝3.故应选B.10．设f(x)＝1x ，则li m x→a f(x)－f(a)x －a 等于( )A ．－1a B.2aC ．－1a 2 D.1a 2[答案] C[解析] li m x→a f(x)－f(a)x －a ＝li m x→a 1x －1a x －a＝li m x→a a －x (x －a)·xa ＝－li m x→a 1ax ＝－1a 2.二、填空题11．已知函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的导数为11，则 li m Δx→0f(x 0－Δx)－f(x 0)Δx ＝________；li m x→x 0 f(x)－f(x 0)2(x 0－x)＝________.[答案] －11，－112[解析] li m Δx→0f(x 0－Δx)－f(x 0)Δx＝－li m Δx→0 f(x 0－Δx)－f(x 0)－Δx ＝－f′(x 0)＝－11；li m x→x 0 f(x)－f(x 0)2(x 0－x)＝－12li m Δx→0 f(x 0＋Δx)－f(x 0)Δx＝－12f′(x 0)＝－112.12．函数y ＝x ＋1x 在x ＝1处的导数是________．[答案] 0[解析] ∵Δy＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋Δx＋11＋Δx －⎝⎛⎭⎪⎫1＋11 ＝Δx－1＋1Δx＋1＝(Δx )2Δx＋1，∴Δy Δx ＝Δx Δx＋1.∴y′|x ＝1＝li m Δx→0 Δx Δx＋1＝0. 13．已知函数f(x)＝ax ＋4，若f′(2)＝2，则a 等于______． [答案] 2[解析] ∵Δy Δx ＝a(2＋Δx )＋4－2a －4Δx ＝a ，∴f′(1)＝li m Δx→0 ΔyΔx＝a.∴a＝2.14．已知f′(x 0)＝li m x→x 0 f(x)－f(x 0)x －x 0，f(3)＝2，f′(3)＝－2，则li m x→3 2x －3f(x)x －3的值是________．[答案] 8[解析] li m x→32x －3f(x)x －3＝li m x→3 2x －3f(x)＋3f(3)－3f(3)x －3＝lim x→32x －3f(3)x －3＋li m x→3 3(f(3)－f(x))x －3. 由于f(3)＝2，上式可化为li m x→3 2(x －3)x －3－3li m x→3 f(x)－f(3)x －3＝2－3×(－2)＝8.三、解答题15．设f(x)＝x 2，求f′(x 0)，f′(－1)，f′(2)． [解析] 由导数定义有f′(x 0) ＝li m Δx→0 f(x 0＋Δx )－f(x 0)Δx＝li m Δx→0 (x 0＋Δx )2－x 20Δx ＝li m Δx→0 Δx (2x 0＋Δx )Δx＝2x 0，16．枪弹在枪筒中运动可以看做匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105m/s 2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3s ，求枪弹射出枪口时的瞬时速度． [解析] 位移公式为s ＝12at 2∵Δs＝12a(t 0＋Δt)2－12at 20＝at 0Δt＋12a(Δt)2∴Δs Δt ＝at 0＋12aΔt， ∴li m Δt→0 Δs Δt ＝li m Δt→0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫at 0＋12aΔt ＝at 0，已知a ＝5.0×105m/s 2，t 0＝1.6×10－3s ，∴at 0＝800m/s.所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.17．在曲线y ＝f(x)＝x 2＋3的图象上取一点P(1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy)， 求(1)Δy Δx(2)f′(1)．[解析] (1)Δy Δx ＝f(1＋Δx )－f(1)Δx＝(1＋Δx )2＋3－12－3Δx ＝2＋Δx.(2)f′(1)＝lim Δx→0f(1＋Δx )－f(1)Δx ＝lim Δx→0(2＋Δx)＝2. 18．函数f(x)＝|x|(1＋x)在点x 0＝0处是否有导数？若有，求出来，若没有，说明理由．[解析] f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 2(x≥0)－x －x 2(x<0)Δy＝f(0＋Δx)－f(0)＝f(Δx)＝⎩⎪⎨⎪⎧Δx＋(Δx )2(Δx>0)－Δx－(Δx )2(Δx<0)∴lim x→0＋ Δy Δx ＝lim Δx→0＋ (1＋Δx)＝1， lim Δx→0－ ΔyΔx＝lim Δx→0－ (－1－Δx)＝－1， ∵lim Δx→0－ Δy Δx ≠lim Δx→0＋ Δy Δx ，∴Δx→0时，Δy Δx无极限．∴函数f(x)＝|x|(1＋x)在点x0＝0处没有导数，即不可导．(x→0＋表示x从大于0的一边无限趋近于0，即x＞0且x趋近于0)练习三组1．如果曲线y ＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( )A ．f′(x 0)＞0B ．f′(x 0)＜0C ．f′(x 0)＝0D ．f′(x 0)不存在 [答案] B[解析] 切线x ＋2y －3＝0的斜率k ＝－12，即f′(x 0)＝－12＜0.故应选B.2．曲线y ＝12x 2－2在点⎝⎛⎭⎪⎫1，－32处切线的倾斜角为( )A ．1 B.π4C.54π D ．－π4 [答案] B[解析] ∵y′＝li m Δx→0 [12(x ＋Δx )2－2]－(12x 2－2)Δx＝li m Δx→0 (x ＋12Δx)＝x∴切线的斜率k ＝y′|x ＝1＝1. ∴切线的倾斜角为π4，故应选B.3．在曲线y ＝x 2上切线的倾斜角为π4的点是( )A ．(0,0)B ．(2,4)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，116D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14 [答案] D[解析] 易求y′＝2x ，设在点P(x 0，x 20)处切线的倾斜角为π4，则2x 0＝1，∴x 0＝12，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.4．曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －4 B ．y ＝－3x ＋2 C ．y ＝－4x ＋3 D ．y ＝4x －5 [答案] B[解析] y′＝3x 2－6x ，∴y′|x ＝1＝－3. 由点斜式有y ＋1＝－3(x －1)．即y ＝－3x ＋2.5．设f(x)为可导函数，且满足lim x→0f(1)－f(1－2x)2x ＝－1，则过曲线y ＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( ) A ．2 B ．－1 C ．1 D ．－2 [答案] B[解析] lim x→0 f(1)－f(1－2x)2x ＝lim x→0f(1－2x)－f(1)－2x ＝－1，即y′|x ＝1＝－1，则y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为－1，故选B.6．设f′(x 0)＝0，则曲线y ＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴斜交 [答案] B[解析] 由导数的几何意义知B 正确，故应选B.7．已知曲线y ＝f(x)在x ＝5处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f(5)及f′(5)分别为( )A ．3,3B ．3，－1C ．－1,3D ．－1，－1 [答案] B[解析] 由题意易得：f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)＝－1，故应选B.8．曲线f(x)＝x 3＋x －2在P 点处的切线平行于直线y ＝4x －1，则P 点的坐标为( )A ．(1,0)或(－1，－4)B ．(0,1)C ．(－1,0)D ．(1,4) [答案] A[解析] ∵f(x)＝x 3＋x －2，设x P ＝x 0，∴Δy＝3x 20·Δx＋3x 0·(Δx)2＋(Δx)3＋Δx，∴Δy Δx ＝3x 20＋1＋3x 0(Δx)＋(Δx)2， ∴f′(x 0)＝3x 20＋1，又k ＝4，∴3x 20＋1＝4，x 20＝1.∴x 0＝±1，故P(1,0)或(－1，－4)，故应选A.9．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，P 点处的切线倾斜角为α，则α的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫23π，πB.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫56π，πC.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23π，πD.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，56π[答案] A[解析] 设P(x 0，y 0)，∵f′(x)＝li m Δx→0 (x ＋Δx )3－3(x ＋Δx )＋23－x 3＋3x －23Δx＝3x 2－3，∴切线的斜率k ＝3x 20－3， ∴tanα＝3x 20－3≥－ 3. ∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫23π，π.故应选A.10．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[0，π4]，则点P 横坐标的取值范围为( )A ．[－1，－12] B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[12，1][答案] A[解析] 考查导数的几何意义．∵y′＝2x ＋2，且切线倾斜角θ∈[0，π4]，∴切线的斜率k 满足0≤k≤1，即0≤2x＋2≤1， ∴－1≤x≤－12.11．已知函数f(x)＝x 2＋3，则f(x)在(2，f(2))处的切线方程为________．[答案] 4x －y －1＝0 [解析] ∵f(x)＝x 2＋3，x 0＝2∴f(2)＝7，Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝4·Δx＋(Δx)2∴Δy Δx ＝4＋Δx.∴li m Δx→0 Δy Δx＝4.即f′(2)＝4. 又切线过(2,7)点，所以f(x)在(2，f(2))处的切线方程为y －7＝4(x －2)即4x －y －1＝0.12．若函数f(x)＝x －1x ，则它与x 轴交点处的切线的方程为________．[答案] y ＝2(x －1)或y ＝2(x ＋1)[解析] 由f(x)＝x －1x ＝0得x ＝±1，即与x 轴交点坐标为(1,0)或(－1,0)．∵f′(x)＝li m Δx→0 (x ＋Δx )－1x ＋Δx －x ＋1xΔx＝li m Δx→0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1x(x ＋Δx )＝1＋1x 2.∴切线的斜率k ＝1＋11＝2.∴切线的方程为y ＝2(x －1)或y ＝2(x ＋1)．13．曲线C 在点P(x 0，y 0)处有切线l ，则直线l 与曲线C 的公共点有________个． [答案] 至少一[解析] 由切线的定义，直线l 与曲线在P(x 0，y 0)处相切，但也可能与曲线其他部分有公共点，故虽然相切，但直线与曲线公共点至少一个．14．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程为________．[答案] 3x －y －11＝0[解析] 设切点P(x 0，y 0)，则过P(x 0，y 0)的切线斜率为，它是x 0的函数，求出其最小值．设切点为P(x 0，y 0)，过点P 的切线斜率k ＝＝3x 20＋6x 0＋6＝3(x 0＋1)2＋3.当x 0＝－1时k 有最小值3，此时P 的坐标为(－1，－14)，其切线方程为3x －y －11＝0. 三、解答题15．求曲线y ＝1x －x 上一点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，－74处的切线方程．[解析] ∴y′＝lim Δx→0⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋Δx －1x －(x ＋Δx－x)Δx＝lim Δx→0－Δx x(x ＋Δx )－Δxx ＋Δx＋x Δx＝lim Δx→0 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1x(x ＋Δx )－1x ＋Δx＋x ＝－1x 2－12x . ∴y′|x ＝4＝－116－14＝－516，∴曲线在点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，－74处的切线方程为：y ＋74＝－516(x －4)． 即5x ＋16y ＋8＝0.16．已知函数f(x)＝x 3－3x 及y ＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P 作直线l.(1)求使直线l 和y ＝f(x)相切且以P 为切点的直线方程； (2)求使直线l 和y ＝f(x)相切且切点异于点P 的直线方程y ＝g(x)．[解析] (1)y′＝li m Δx→0 (x ＋Δx)3－3(x ＋Δx)－3x 3＋3xΔx ＝3x 2－3.则过点P 且以P(1，－2)为切点的直线的斜率 k 1＝f′(1)＝0，∴所求直线方程为y ＝－2. (2)设切点坐标为(x 0，x 30－3x 0)， 则直线l 的斜率k 2＝f′(x 0)＝3x 20－3，∴直线l 的方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0)又直线l 过点P(1，－2)，∴－2－(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(1－x 0)， ∴x 30－3x 0＋2＝(3x 20－3)(x 0－1)，解得x 0＝1(舍去)或x 0＝－12.故所求直线斜率k ＝3x 20－3＝－94，于是：y －(－2)＝－94(x －1)，即y ＝－94x ＋14.17．求证：函数y ＝x ＋1x 图象上的各点处的切线斜率小于1.[解析] y′＝li m Δx→0 f(x ＋Δx )－f(x)Δx＝li m Δx→0⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋Δx＋1x ＋Δx －⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x Δx＝li m Δx→0 x·Δx (x ＋Δx )－Δx(x ＋Δx )·x·Δx＝li m Δx→0(x ＋Δx )x －1(x ＋Δx )x＝x 2－1x 2＝1－1x2＜1，∴y＝x ＋1x图象上的各点处的切线斜率小于1.18．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2. (1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1、l 2和x 轴所围成的三角形的面积． [解析] (1)y′|x ＝1＝li m Δx→0 (1＋Δx )2＋(1＋Δx )－2－(12＋1－2)Δx ＝3，所以l 1的方程为：y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3. 设l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B(b ，b 2＋b －2)， y′|x ＝b ＝li m Δx→0 (b ＋Δx )2＋(b ＋Δx )－2－(b 2＋b －2)Δx＝2b ＋1，所以l 2的方程为：y －(b 2＋b －2)＝(2b ＋1)·(x－b)，即y ＝(2b ＋1)x －b 2－2.因为l 1⊥l 2，所以3×(2b＋1)＝－1，所以b ＝－23，所以l 2的方程为：y ＝－13x －229.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16，y ＝－52，即l 1与l 2的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫16，－52.又l 1，l 2与x 轴交点坐标分别为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，0.所以所求三角形面积S ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－52×⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋223＝12512.练习三组1．下列结论不正确的是( ) A ．若y ＝0，则y′＝0 B ．若y ＝5x ，则y′＝5 C ．若y ＝x －1，则y′＝－x －2[答案] D2.曲线y ＝13x 3－2在点⎝⎛⎭⎪⎫－1，－73处切线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．60° [答案] B[解析] y′|x ＝－1＝1，∴倾斜角为45°.3.函数y ＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] D[解析] y′＝[(x ＋1)2]′(x－1)＋(x ＋1)2(x －1)′ ＝2(x ＋1)·(x－1)＋(x ＋1)2＝3x 2＋2x －1， ∴y′|x ＝1＝4.4.设f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d(a>0)，则f(x)为R 上增函数的充要条件是( )A．b2－4ac>0 B．b>0，c>0C．b＝0，c>0 D．b2－3ac<0[答案] D[解析] ∵a>0，f(x)为增函数，∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c>0恒成立，∴Δ＝(2b)2－4×3a×c＝4b2－12ac<0，∴b2－3ac<0.5．已知函数f(x)在点x 0处连续，下列命题中，正确的是( ) A ．导数为零的点一定是极值点B ．如果在点x 0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x 0)是极小值C ．如果在点x 0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x 0)是极大值D ．如果在点x 0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x 0)是极大值 [答案] C[解析] 导数为0的点不一定是极值点，例如f(x)＝x 3，f′(x)＝3x 2，f′(0)＝0，但x ＝0不是f(x)的极值点，故A 错；由极值的定义可知C 正确，故应选C.6.函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上的最大值是M ，最小值是m ，若M ＝m ，则f′(x)( )A ．等于0B ．大于0C ．小于0D ．以上都有可能 [答案] A[解析] ∵M＝m ，∴y＝f(x)是常数函数 ∴f′(x)＝0，故应选A.7.内接于半径为R 的球且体积最大的圆锥的高为( ) A ．R B ．2R C.43R D.34R [答案] C[解析] 设圆锥高为h ，底面半径为r ，则R 2＝(R －h)2＋r 2，∴r 2＝2Rh －h 2∴V＝13πr 2h ＝π3h(2Rh －h 2)＝23πRh 2－π3h 3V′＝43πRh－πh 2.令V′＝0得h ＝43R.当0<h<43R 时，V′>0；当4R3<h<2R 时，V′<0.因此当h ＝43R 时，圆锥体积最大．故应选C.8.．和式∑i ＝15(y i ＋1)可表示为( )A ．(y 1＋1)＋(y 5＋1)B ．y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋1C ．y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋5D ．(y 1＋1)(y 2＋1)…(y 5＋1) [答案] C[解析]∑i ＝15(y i＋1)＝(y 1＋1)＋(y 2＋1)＋(y 3＋1)＋(y 4＋1)＋(y5＋1)＝y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋5，故选C.9．设f(x)是[a ，b]上的连续函数，则f(x)dx －f(t)dt 的值( ) A ．小于零 B ．等于零 C ．大于零 D ．不能确定 [答案] B[解析] f(x)dx 和f(t)dt 都表示曲线y ＝f(x)与x ＝a ，x ＝b 及y ＝0围成的曲边梯形面积，不因曲线中变量字母不同而改变曲线的形状和位置．所以其值为0.10.．设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 (0≤x<1)2－x (1≤x≤2)，则f(x)dx 等于( )A.34B.45 C.56 D ．不存在 [答案] C[解析] f(x)dx ＝x 2dx ＋(2－x)dx 取F 1(x)＝13x 3，F 2(x)＝2x －12x 2，则F′1(x)＝x 2，F′2(x)＝2－x ∴f(x)dx＝F 1(1)－F 1(0)＋F 2(2)－F 2(1)＝13－0＋2×2－12×22－⎝ ⎛⎭⎪⎫2×1－12×12＝56.故应选C.11.．如图所示，阴影部分的面积为( )A.f(x)dxB.g(x)dxC.[f(x)－g(x)]dxD.[g(x)－f(x)]dx [答案] C[解析] 由题图易知，当x∈[a，b]时，f(x)>g(x)，所以阴影部分的面积为[f(x)－g(x)]dx.12已知f(x)＝x 3的切线的斜率等于1，则其切线方程有( ) A ．1个B ．2个C ．多于两个D ．不能确定 [答案] B[解析] ∵f(x)＝x 3，∴f′(x)＝3x 2， 令3x 2＝1，得x ＝±33，即切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫33，39或⎝⎛⎭⎪⎪⎫－33，－39. 由点斜式可得切线方程为y －39＝x －33或y ＋39＝x ＋33，即y ＝x －239或y ＝x ＋239.故应选B. 13.若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b)处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1 [答案] A[解析] y′＝2x ＋a ，∴y′|x ＝0＝(2x ＋a)|x ＝0＝a ＝1， 将(0，b)代入切线方程得b ＝1.14.关于归纳推理，下列说法正确的是( ) A ．归纳推理是一般到一般的推理 B ．归纳推理是一般到个别的推理 C ．归纳推理的结论一定是正确的D．归纳推理的结论是或然性的[答案] D[解析] 归纳推理是由特殊到一般的推理，其结论的正确性不一定．故应选D.15.下列说法正确的是( )A．由合情推理得出的结论一定是正确的B．合情推理必须有前提有结论C．合情推理不能猜想D．合情推理得出的结论无法判定正误[答案] B[解析] 由合情推理得出的结论不一定正确，A不正确；B正确；合情推理的结论本身就是一个猜想，C不正确；合情推理结论可以通过证明来判定正误，D也不正确，故应选B.16.“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提是( )A．正方形都是对角线相等的四边形B．矩形都是对角线相等的四边形C．等腰梯形都是对角线相等的四边形D．矩形都是对边平行且相等的四边形[答案] B[解析] 由大前提、小前提、结论三者的关系，知大前提是：矩形是对角线相等的四边形．故应选B.17.证明命题“f(x)＝e x＋1e x在(0，＋∞)上是增函数”，一个同学给出的证法如下：∵f(x)＝e x＋1e x，∴f′(x)＝e x－1e x.∵x>0，∴e x>1,0<1e x<1∴e x－1e x>0，即f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，他使用的证明方法是( )A．综合法 B．分析法C．反证法D．以上都不是[答案] A[解析] 该证明方法符合综合法的定义，应为综合法．故应选A.18.否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( )A．有一个解B．有两个解C．至少有三个解D．至少有两个解[答案] C[解析] 在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n＋1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故应选C.19.用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n－1<n(n∈N*，n>1)时，第一步应验证不等式( )A．1＋12<2B．1＋12＋13＜2C．1＋12＋13＜3D ．1＋12＋13＋14＜3[答案] B[解析] ∵n∈N *，n ＞1，∴n 取第一个自然数为2，左端分母最大的项为122－1＝13，故选B.20.命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos2θ”的证明：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos2θ”的过程应用了( ) A ．分析法 B ．综合法C ．综合法、分析法综合使用D ．以上都不是 [答案] B[解析] 所用方法符合综合法的定义，故应选B. 21.．锐角三角形的面积等于底乘高的一半； 直角三角形的面积等于底乘高的一半； 钝角三角形的面积等于底乘高的一半； 所以，凡是三角形的面积都等于底乘高的一半． 以上推理运用的推理规则是( ) A ．三段论推理 B ．假言推理 C ．关系推理 D ．完全归纳推理 [答案] D[解析] 所有三角形按角分，只有锐角三角形、Rt 三角形和钝角三角形三种情形，上述推理穷尽了所有的可能情形，故为完全归纳推理．22.i 是虚数单位，计算i ＋i 2＋i 3＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i [答案] A[解析] i ＋i 2＋i 3＝i －1－i ＝－1.23.．如果复数a ＋bi(a ，b∈R)在复平面内的对应点在第二象限，则( )A ．a>0，b<0B ．a>0，b>0C ．a<0，b<0D ．a<0，b>0 [答案] D[解析] 复数z ＝a ＋bi 在复平面内的对应点坐标为(a ，b)，该点在第二象限，需a<0且b>0，故应选D. 24.i 是虚数单位，i3＋3i ＝( )A.14－312i B.14＋312i C.12＋36iD.12－36i [答案] B [解析]i 3＋3i ＝i(3－3i)(3＋3i)(3－3i)＝3＋3i 12＝14＋312i ，故选B.25.复数z 是实数的充分而不必要条件为( ) A ．|z|＝z B ．z ＝z C ．z 2是实数 D ．z ＋z 是实数[答案] A[解析] 由|z|＝z 可知z 必为实数，但由z 为实数不一定得出|z|＝z ，如z ＝－2，此时|z|≠z，故|z|＝z 是z 为实数的充分不必要条件，故选A.26.．复数i 3(1＋i)2＝( ) A ．2 B ．－2 C ．2i D ．－2i [答案] A[解析] 考查复数代数形式的运算． i 3(1＋i)2＝－i·(2i)＝2.27.复数⎝ ⎛⎭⎪⎫3－i 1＋i 2＝( ) A ．－3－4i B ．－3＋4i C ．3－4i D ．3＋4i [答案] A[解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－i 1＋i 2＝8－6i2i ＝－3－4i.。