第四章三角形
4.4用尺规作三角形教学设计
一、教学目标
1.在分别给出两边夹角，两角夹边和三边的条件下，能够用尺规作出三角形，进一步学习尺规作图的步骤；
2.会用尺规作出符合条件要求的三角形．
二、教学重点及难点
重点：用尺规作出满足两边夹角，两角夹边和三边条件的三角形．
难点：用尺规作图语言描述作图步骤．
三、教学准备
多媒体课件
四、相关资源
相关图片，动画
五、教学过程
【复习巩固】
1．复习用尺规作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角．
2．提出问题：边和角是三角形的基本元素，你能根据一些特殊的边角关系用尺规作出三角形吗？
设计意图：由于三角形是由边和角构成的，因此通过复习为用尺规作三角形扫清了障碍．
【探究新知】
探究一：已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形．
如何求作这个图形呢？需要先写出已知、求作，然后进行分析，最后画图形，并写出作法；具体过程如下：
已知：线段a、c，∠α．
求作：△ABC，使BC=a，AB=c，∠ABC=∠α．
分析：假设这个三角形已作出，如图．从图中可知，是两边夹角，所以可先作一条线段等于已知线段中的任一条，然后以所作的线段为角的一边，它的一端点为角的顶点，作角．使这个角等于已知角，再在角的另一边截取已知线段的另一条，最后连接，组成三角形．
作法：
（1）作一条线段BC=a，
（2）以B为顶点，BC为一边，作角∠DBC=∠a；
（3）在射线BD上截取线段BA=c；
（4）连接AC，ΔABC就是所求作的三角形．
设计意图：已知两边及其夹角作三角形的理论依据是判定三角形全等的“SAS”，作图时可先作一个角等于已知角，再在角的两边分别截取已知线段长即可；
探究二：已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形．
已知：∠α、∠β，线段c．
求作：△ABC，使∠A=∠α、∠B=∠β，BA=c．
作法：1．作∠DAF=∠α；
2．在射线AF上截取线段AB=c；
3．以B为顶点，以BA为一边，作∠ABE=∠β．BE交AD于点C．
则△ABC就是所求作的三角形，如图
设计意图：已知两角及其夹边作三角形的理论依据是判定三角形全等的“ASA”，作图时可先作一条边等于已知边，再在这条边的同侧，以边的两个端点为顶点作两个角分别等于已知角即可．
探究三：已知三角形的三边，求作这个三角形．
已知：线段a，b，c．
求作：ΔABC，使得AB=c，AC=b，BC=a．
作法：1．作线段BC＝a；
2．以点C为圆心，以b为半径画弧，再以B为圆心，以c为半径画弧，两弧相交于点A；
3．连接AC和AB，则△ABC即为所求作的三角形，如图所示．
c
b
a
A
在完成三个作图后，要鼓励学生比较各自所作的三角形，利用重合等直观的方法观察所作的三角形是否全等．在此基础上，引导学生利用已经获得的三角形全等的条件来说明大家所作的三角形一定是全等的，即说明作法的合理性．
方法总结：已知三角形三边的长，根据全等三角形的判定“SSS”，知三角形的形状和大小也就确定了．作三角形相当于确定三角形三个顶点的位置．因此可先确定三角形的一条边（即两个顶点），再分别以这条边的两个端点为圆心，以已知线段长为半径画弧，两弧的交点即为另一个顶点．
设计意图：在探究过程中教师要注意提醒学生在作图过程中，是以哪个点为圆心，什么长度为半径作图；要鼓励学生比较各自所作的三角形，利用重合等直观的方法观察所作的三角形是否全等．在此基础上，引导学生利用已经获得的三角形全等的条件来说明大家所作的三角形一定是全等的，即说明作法的合理性．
【典型例题】
例1.已知，三角形的两条边分别是3cm 和4cm ，且3cm 这条边所对的角是30°，求作这个三角形．
分析：先作一个30°角，再作出它的一个邻边，只要再把三角形30°角所对的边确定了，所作的三角形就确定了．
作法：（1）作30°角； （2）截4=AB cm ；
（3）以B 为圆心，以3cm 为半径画弧，交30°角的一边于C 、C '点； （4）连结BC 、C B '，得到的ABC △和A B C '''△都是符合要求的三角形．
设计意图：通过此例让学生知道，给出三角形的两边和一边的对角，作三角形，有时可以作出两个，这也是全等三角形，不存在“SSA ”判别方法的原因．
例2．已知：α∠和线段c ，
求作：ABC △，使得2.ααB A AB c ∠=∠∠=∠=，，
分析：本题是已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形．关键是A ∠的作法，α∠=∠2A ，可以先以AB 为一条边，作α∠=∠PAB ，再以P A 为一条边，作α∠=∠PAQ ，则α∠=∠2QAB ．
作法：（1）作线段c AB =；
（2）以B 为顶点，以BA 为一条边，作α∠=∠MBA ；
（3）在AB 的同侧，以A 为顶点，以AB 为一条边，作α∠=∠2QAB ，射线BM 、AQ 相交于点C ．则ABC ∆即为所求作的三角形．
例3．已知线段a 、b ，求作ABC ∆，使得90C BC a AC b ∠=︒==，，．
解：作法：（1）作︒=∠90PCQ ；
（2）在PC 、QC 上分别截取线段BC a AC b ==，； （3）连接AB ． 则ABC △即为所求作的三角形．
例4．已知，三角形的两个内角分别是50°和60°，其中60°角所对的边是3cm ，求作这个三角形．
解：作法：根据三角形内角和等于180°，可求得该三角形的另一个角是70°．
（1）作线段3=AB cm ．
（2）以AB 为边，分别以A 、B 为顶点作5070A B ∠=︒∠=︒，． （3）B A ∠∠、的另一边交于C 点，则ABC △就是所求作的三角形．
设计意图：通过练习，掌握全等三角形判定的证明格式，通过解题实践，锻炼学生分析问题，寻找判定三角形全等条件的能力．
【随堂练习】
1．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明∠A ′O ′B ′＝∠AOB 的依据是 ( )A
A ．SSS D ．SAS C ．ASA D ．AAS
2.已知：任画一条线段a ．
求作：等腰三角形(两腰长相等)，使底边长为2a ，腰长为3a ．
作法：如图所示．(1)作线段BC ＝2a ；(2)分别以B ，C 为圆心，3a 长为半径在BC 同侧画弧，两弧的一个交点为A ；(3)连接AC ，AB ．ΔABC 就是所求作的三角形．
设计意图：熟练尺规作图，注意综合知识的运用．
【课堂小结】
（一）明确尺规作图的三个基本类型： 1．已知两边及其夹角作三角形 2．已知两角及其夹边作三角形 3．已知三边作三角形
（二）熟练尺规作图的基本作法步骤．
设计意图：通过小结，使学生梳理本节所学内容，掌握尺规作图作三角形的基本类型与作法．
【板书设计】。