• 这样推导出来的对称型共有27个，见表4－2。
• 还有5个是B类（高次轴多于一个）对称型，不要求推导。
Ln
LnnL2
LnP(C)
LnnP
LnnL2 (n+1)P(C)
Lin
Lin nL2 nP Lin n/2L2 n/2P
L1 L2 L3 L4 3L2 L33L2 L44L2
L4PC L2PC L22P L33P L44P L44L2 5PC 3L2 3PC
4）对称轴Ln与包含它的对称面的组合（面式）： 根据组合规律Ln P∥→LnnP，可能的对称型为：（L1P=P） L22P；L33P；L44P；L66P。
（1）A类对称型的推导：
5 ）对称轴 L n 与垂直它的对称面，以及包含它的对称面的组合（轴面
式）：
垂直Ln的P与包含Ln的P的交线，必为垂直Ln的L2， 即Ln P⊥ P∥=Ln P⊥ P∥=LnnL2(n + 1)PC（偶数）
个偶次对称轴。 P C L2P C
该定理说明：
L2、P、C三者中任意两者可 产生第三者。
定理3 若有一对称面P包含对称轴Ln，则
①必有n个P包含Ln； ②相邻两个P的夹角半） （定理3与定理1对应） 例如：L6 P// L66P//
2、对称型的推导 依据：对称型中高次轴数量多少： A类对称型（高次轴不多于一个） B类对称型（高次轴多于一个） （1）A类对称型的推导
1）对称轴Ln单独存在（原始式）：
可能的对称型为L1；L2；L3；L4；L6 。
（1）A类对称型的推导： 2）对称轴与对称轴的组合（轴式）： 在这里我们只考虑 Ln与垂直它的L2的组合。根据上节所述对 称要素组合规律LnL2→LnnL2，可能的对称型为： （L1L2=L2）；L22L2=3L2；L33L2；L44L2；L66L2
如果有一个L2垂直于Ln，则
①必有n个L2垂直于Ln； ②任意相邻两个L2的夹角为Ln的基转角的一半。 LnL2LnnL2 L2与L2的夹角是Ln基转角的一半
逆定理
若两L2相交，在交点并垂直两L2必产生Ln，其基
转角是两L2夹角的两倍，并在垂直于Ln平面内导出n个L2。
思考: 两个L2相交30°, 交点处并垂直L2所在平面会产生什么对称轴?
第四节 对称型（点群）
1、对称型的概念 晶体形态中，全部对称要素的组合，称为该晶体形态的对称型
或点群。
一般来说，当强调对称要素时称对称型，强调对称操作时称点 群。 根据晶体中可能存在的对称要素及其组合规律，推导出晶体中 可能出现的对称型（点群）是非常有限的，仅有32个。那么，这 32个对称型怎么推导出来？
第三节 对称要素的组合定理
对称要素的组合问题提出
例如：立方体3L44L36L29PC
对称要素有时并不是孤立的，且对称要素(操作) 之组合也
可导出新的对称要素(操作) 。 对称要素组合（共存）是有规律的，其规律是： 必须遵循对称要素的组合定理； 不符合对称要素组合定理的共存形式不可能存在。
定理1
7）旋转反伸轴Lin与垂直它的L2（或包含它的P）的组合（反伸
面式）： 根据组合规律：当n为奇数时LinnL2nP，可能的对称型为： （Li1L2P=L2PC）；Li33L23P=L33L23PC； 当n为偶数时 Lin(n /2)L2(n /2)P，可能的对称型为： （Li2L2P=L22P）；Li42L22P；Li63L23P=L33L24P。
如果L2与Ln斜交有可能 出现多于一个的高次轴， 这时就不属于A类对称型了
（1）A类对称型的推导： 3）对称轴Ln与垂直它的对称面P的组合（中心式）： 根据组合规律Ln(偶次)P⊥→Ln(偶次)PC，则可能的对称型为： L2PC；（L3P=Li6）；L4PC；L6PC。
（1）A类对称型的推导：
Ln P⊥ P∥=Ln P⊥ P∥=LnnL2nP（奇数）
可能的对称型为：(L1L22P=L22P ）；L22L23PC=3L23PC； （L33L24P=Li63L23P）；L44L25PC；L66L27PC。
（1）A类对称型的推导：
6）旋转反伸轴单独存在（倒转式）：
可能的对称型为：Li1=C；Li2=P；Li3=L3C；Li4；Li6=L3P。
Lin = C Li2 = P Lin =L3
C L3 3L2 3PC
Li4
Li4 2L22P
L6
L66L2
L6PC
L66P
L66L2 7PC
Li6 =L3 P
Li6 3L2 3P= L3 3L2 4P
第五节 晶体的对称分类
晶体 高次轴的有 无及多少
低、中、高级晶族
7大晶系
属于同一对 称型的晶体
定理2
若一对称面P垂直于偶次轴Ln(偶)，其交点处必然存在
对称中心C。
Ln P LnP C (n为偶数)
石膏
逆定理
若有一偶次对称轴Ln(偶)与对称中心C共存，则过C且
垂直该对称轴必有一对称面P； Ln C LnP C (n为偶数)
或若有一对称面P与对称中心C共存，则过C且垂直于P必有一
32晶类
低级晶族
三斜晶系 单斜晶系 正交晶系 三方晶系
无L2或P L2＋P<3 L2+P3 1L3 1L4 1L6 4L3
晶 体
中级晶族
四方晶系 六方晶系 等轴晶系
高级晶族
晶体的对称分类
红锌矿
逆定理
若有两个对称面相交，则对称面的交线必为一对
称轴，其基转角为相邻两对称面夹角的两倍，并导出其他n个 包含Ln的P。 思考:两个对称面相交60°,交线处会产生什么对称轴?
定理4 若有一L2垂直于Lin，或有一P包含Lin
n为奇数时——必有n个L2垂直于Lin和n个P包含Lin；
n为偶数时——必有n／2个L2垂直于Lin和n／2个P包含Lin。 Lin P// =Lin L2 Linn/2 L2 n/2 P// （n为偶数） Linn L2 nP//（n为奇数）