祖恒原理
将一个三棱柱按如图所示分解成三 个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积有 什么关系？它们与三棱柱的体积有什么 关系？
3 2
1 1
3 2
思考4:推广到一般的棱锥和圆锥，你猜 想锥体的体积公式是什么？
V 1 Sh 3
高h
底面积S
3、锥体的体积 定理：等底等高锥体的体积相等
等底等高的 棱柱和棱锥 体积的关系
柱体、锥体、台体的表面积
提出问题
在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你 知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？
几何体表面积
展开图
空间问题
平面图形面积 平面问题
引入新课
正方体、长方体是由多个平面围成的几何体，它 们的表面积就是各个面的面积的和．
因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面 图形求面积的方法，求立体图形的表面积．
直
侧面展开图
观
图
1
直观图2
引申2:已知正四棱台两底面的边长, 和棱台体积, 求棱 台的高.
h?
柱、锥、台体积的关系
s' s
s' 0
知识探究（一）:球的体积
思考1:从球的结构特征分析，球的大小 由哪个量所确定？
思考2:底面半径和高都为R的圆柱和圆锥 的体积分别是什么？
V柱 R3
V锥
1
3
典型例题
例1 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面 体S-ABC，求它的表面积 ．
分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形 组成．
S 解：先求ABC的面积，过点S作 SD BC，
交BC于点D．
A
因为BC=a，SD SB sin 60 3 a
2
BD
C
所以：SABC
1 2
BC
SD
1 2
a
3a 2
R3 [1 (i 1)2 ], n Vn n
i
1,2,
n
R3 n
[n
12
22
n2
(n
1)2
]
R3 [n 1 (n 1) n (2n 1)]
n
n2
6
R 3[1
1 n2
(n
1)(2n 6
1) ]
知识探究（二）:球的表面积
R3
思考3:如图，对一个半径为R的半球，其 体积与上述圆柱和圆锥的体积有何大小 关系？
思考4:根据上述圆柱、圆锥的体积，你
猜想半球的体积是什么？
V球
2
3
R3
思考5:由上述猜想可知，半径为R的球的
体积V 4 R3，这是一个正确的结论，你
3 能提出一些证明思路吗？
问题:已A知球的半径为R,用R表示球的A体积.
各面面积之和
作业布置
书本P28 A组1,2 附加题:圆锥的底面半径为2cm，高为4cm，
求圆锥的内接圆柱的侧面积的最大值.
柱体、锥体、台体的体积
１、长方体的体积
D1
C1
A1
d B1 c
D
S
A
C
Bb
a
d2 a2 b2 c2
等底等高柱体的体积相等吗？
2、柱体的体积 定理：等底等高柱体的体积相等
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何 体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？
棱柱的展开图
棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面 积？
h
正棱柱的侧面展开图
棱锥的展开图
棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表 面积？
正棱锥的侧面展开图
h/ h/
棱锥的展开图
棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面 积？
ri
Ci
Bi
O
O.
C2 O
B2
r1 R2 R,
r2
R2 (R)2 , n
r3
R2 (2R)2 , n
ri
R2 [ R (i 1)]2 , i 1,2, n n
问题:已知球的半径为R,用R表示球的Hale Waihona Puke 积.ri Vi V半球
R2 [ R (i
n
ri 2
R n
V1 V2
1)]2 ,i 1,2,, n
20cm
解：由圆台的表面积公式得
花盆的表面积：
15cm
S
15
2
15
15
20
15
1.5
2
15cm
2 2
2 2
999 (cm2 )
答：花盆的表面积约是999 cm2 ．
3
课堂练习
1、一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4， 侧棱与底面垂直，侧棱长10,求其表面积.
2、一个圆台，上、下底面半径分别为10、20， 母线与底面的夹角为60°，求圆台的表面积.
侧面展开
h'
正棱锥的侧面展开图
h'
棱锥的展开图
棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面 积？
侧面展开
h' h'
正棱台的侧面展开图
棱柱、棱锥、棱台的表面积
h'
h'
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何 体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面 积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和．
4、台体的体积
例3 有一堆规格相同的铁制六角螺帽 共重5.8kg（铁的密度是7.8g/cm3），已 知螺帽的底面是正六边形，边长为12mm， 内孔直径为10mm，，高为10mm，问这堆 螺帽大约有多少个？
求此棱柱挖去圆 柱后的体积和表 面积
引申:１.圆柱的侧面展开图如下左图所示，求此圆柱的 体积。
变式：求切割之前的圆锥的表面积
3、面积为2的菱形，绕其一边旋转一周所得 几何体的表面积是多少？
4、若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面 积为3，求这个圆锥的表面积
知识小结
柱体、锥体、台体的表面积 展开图
圆柱 S 2r(r l) r r
圆台S (r2 r 2 rl rl)
r 0 圆锥 S r(r l)
l rO
S柱 2r(r l) S台 (r2 r 2 rl rl ) S锥 r(r l)
典型例题
例2 如图，一个圆台形花盆盆口直径20 cm，盆
底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5 cm，盆壁长
15cm．那么花盆的表面积约是多少平方厘米（ 取
3.14，结果精确到1 cm2 ）？
3 a2 4
因此，四面体S-ABC 的表面积．
思考
求多面体的表面积可以通过求 各个平面多边形的面积和得到, 那么旋转体的面积该如何求呢?
圆柱的表面积
r O
l 2r
O
圆柱的侧面展开图是矩形
S圆柱表面积 2r 2 2rl 2r(r l)
圆锥的表面积
2r l
rO
圆锥的侧面展开图是扇形
S圆锥表面积 r2 rl r(r l)
圆台的表面积
参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧 面展开图是什么 ．
2r'
r 'O’
2r
l
rO
圆台的侧面展开图是扇环
S圆台表面积 (r2 r 2 rl rl )
三者之间关系
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关 系？
r O
r’＝r
l 上底扩大
O
r 'O’ rO
l r’＝0
上底缩小