习题参考答案第一章1）求基函数为一般平面波、哈密顿量为自由电子系统的哈密顿量时，矩阵元1ˆ1H和2ˆ1H 的值。

解：令rk i eV⋅=111，r k i e V⋅=212，222ˆ∇-=m H，有： m k r d e e mV k r d e Vm e V H r k i V r k i r k i V r k i 221)2(11ˆ121202122201111 =⋅=∇-=⋅⋅-⋅⋅-⎰⎰021)2(12ˆ121210222220=⋅=∇-=⋅⋅-⋅⋅-⎰⎰r d e e mV k r d e Vm e V H r k i V r k i r k i V r k i2）证明)2(πNal k =，)2(πNa l k '='，l '和l 均为整数。

证：由Bloch 定理可得：)()(r e R r nR ik n ψψ⋅=+考虑一维情况，由周期性边界条件，可得：ππψψψ221)()()(Nalk l Na k e r e r Na r Na ik Na ik =⇒=⋅⇒=⇒==+⇒⋅⋅ 同理可证)2(πNal k '='。

3）在近自由电子近似下，由022122ˆ11ˆ1=--E H HHE H推导出0)()(0021=--εεεεk n n k V V 。

解：令r k i e V⋅=111，r k i e V ⋅=212， V r V V m V V r V m r V m H -++∇-=-++∇-=+∇-=)(2)(2)(2ˆ222222V m Vk V V V m V k r d e V e Vr d e r V e V V m V k r d e VV r V V m e V H r k i V r k i r k i V r k i r k i Vr k i +=-++=-++=-++∇-=⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅-⎰⎰⎰2)2(1)(1)2(1])(2[11ˆ121221200212220111111令V mVk k +=221201ε，即有011ˆ1k H ε=。

同理有：022ˆ2k H ε=。

nr k i V r k i r k i Vr k i V r d e r V e V r d e Vr V m e V H =+=+∇-=⋅⋅-⋅⋅-⎰⎰2121)(101)](2[12ˆ10220其中r d er V eVV rk i Vrk i n⋅⋅-⎰=21)(10，是周期场V(x)的第n 个傅立叶系数。

同理，nV H =1ˆ2。

于是有：0)()(0021=--εεεεk n nk V V 。

4）证明当mR k i m e N a⋅=1时，)()(m n R m n R r a r m-=∑φψ具有bloch 波函数的形式。

证：将mR k i m eNa ⋅=1代入)()(m n R m n R r a r m-=∑φψ，有： )(1)(m n R R k i n R r e N r mm-=∑⋅φψ要证明)(r nψ具有bloch 波函数的形式，只要证明)()(r e R r n R k i n n nψψ⋅=+即可。

因为：)]([1)(1)()(n m n R R R k i R k i m n n R R k i n n R R r e N e R R r e N R r mnm n mm--=-+=+∑∑-⋅⋅⋅φφψ 令n m l R R R-=，即有：)(1)(l n R R R k i R k i n n R r eNeR r nl ln-=+∑+⋅⋅φψ，由于求和遍及所有格点，有：)(1)(1l n R R k i l n R R R k i R r e N R r e N llnl l-=-∑∑⋅+⋅φφ，于是有：)()(1)(r e R r e N e R r n R k i l n R R k i R k i n n n llnψφψ⋅⋅⋅=-=+∑，证毕。

5)写出用紧束缚近似LCAO 方法求解硅材料能带的思路，计算)(2k g。

解：取如右图的坐标系，坐标系原点位置原子的最近邻原子坐标为：考虑令⎰-=r d r H r r r H S j y j yS )()(4)(*ϕϕ，绕x 轴转π，31r r →，**y y ϕϕ-→；绕y 轴转π，41r r→，**y y ϕϕ→；绕z 轴转π，21r r→，**y y ϕϕ-→ 也即 )()()()(4321r H r H r H r H yS yS yS yS=-=-=，于是有{})()(}2cos 2sin 2cos 2sin 2cos 2sin ){()}(2sin 2cos 2)(2cos 2sin2{4)()}22sin(2)22sin(2{4)()]}(2exp[)](2exp[)](2exp[)](2{exp[4)(4)(21122221221114321k g r H k k k i k k k r H eek k i eek k i r H k k i ek k i er H k k k ik k k i k k k ik k k ir H eeeer H A H B yS z y x z y x yS k ik iy x k ik iy x yS y x k iy x k iyS z y x z y x z y x z y x yS r k i r k i r k i r k i yS S y zzzzzz=+-=++-=--+=-+-+---+---++=+--=---⋅⋅⋅⋅ππππππππππππππππππππππππzy x z y x k k k i k k k k g 2cos 2sin 2cos 2sin 2cos 2sin )(2ππππππ+-=其中),,(2z y x k k k ak π=)1,1,1(4 ),1,1,1(4),1,1,1(4 ),1,1,1(4 4321ar ar ar ar ==== 'τj r⎰⎰⎰⎰∑⎰-+-+-+-=-=⋅⋅⋅⋅=⋅rd r H r re r d r H r r e rd r H r re r d r H r r e rd r H r re A H B S y r k i S yr k i S y r k i S y r k i j S j y r k i Sy j)()()()()()()()()()(4*3*2*2*4,3,2,1*4321ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ6）写出p k⋅微扰方法的主要思路。

答：将已知 0k 处的)(0r u nk和)(0k E n 作为零级近似，求附近k k k ∆+=0处的)(r u nk 和)(k E n 值。

3,2,1)(0=n r u nk 形成一组正交、完备的基函数，p k ⋅∆作为微扰来处理。

通过k k k ∆+→0进一步扩展到整个布里渊区。

第二章1）请问分布函数),(t k f 的物理意义。

答：t 时刻，单位体积内运动状态为k 的电子数目。

2）请用文字说明：a ）如何得到玻尔兹曼方程；b ）通过该方程，如何得到材料的电导率计算公式。

答：电子系统的分布函数随时间的变化率可表示成漂移项、碰撞项与扩散项的总和。

当系统达到平衡态时，电子分布函数随时间的变化率为零。

恒温条件下，忽略电子密度在空间的不均匀性引起的扩散项，因此恒定电磁场引起的漂移项与散射引起的碰撞项的和为零，即为波尔兹曼方程。

在弛豫时间近似下，考虑均匀材料恒温零磁场、弱电场下的非简并电子气，将分布函数按电场强度的幂次展开。

考虑到分布函数变化的一级小量，根据电流密度⎰=-=E dn v e Jσ关系，可得电导率σ的计算公式，它取决于弛豫时间、能带结构和分布函数。

3）请问何为弛豫时间近似？为何要引入该近似？如何通过理论求弛豫时间？如何通过实验求弛豫时间？答：考虑到碰撞促使系统趋向平衡态这一基本特点，引入弛豫时间)(k τ使得碰撞⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=--t f k f f )(0τ，即碰撞引起的分布函数的变化率。

因为只有碰撞作用时，上式对t 积分得到的解是τ/00)(t e f f f f -∆=-=∆。

我们看到，弛豫时间大致度量了恢复平衡所用的时间。

从理论上定量的求出弛豫时间需要具体计算系统中各种散射机制，根据不同的散射机制，计算散射矩阵元和电子的跃迁几率，积分得到)(k τ，存在多种散射机制时∑=iiττ11。

实验上测定弛豫时间：利用)(k τ与散射截面c σ的关系，Nv k c στ=-1)(，实验上测定c σ来计算)(k τ。

4）若给出)422(233*422*3*2233*422*3*2-⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⋅⋅⋅+--=⋅⋅⋅+-+=z y z x y y z x z y x x B m ne B m ne m ne J B m ne B m ne m ne J τετετεττετ请你推导出Hall 系数nene R H 122≈=ττ和磁阻公式。

答：在一个长方形样品的Hall 系数测量中，假设外加电流方向为x 方向，磁场B 沿z 方向，由于载流子在磁场中运动发生偏转，我们在y 方向上可探测到电压。

由于在y 方向无电流，0=y J，积累的电场为 y ε 。

若仅考虑的一次方项，在稳态下)1(2*zx y B m e εττε=Hall 系数将（1）式代入（2-42）中x J表达式磁阻为磁场在x 方向引起的电流变化其中 22322ττττζ+-=，称为磁阻系数。

nene ne m ne m e j m e B j B m e B j R x xxxzx zx zx yH 1222*2*2*2*2≈======τττττετεττεττεττε⋅⋅⋅+-+=⋅⋅⋅+-+=233*422*22*3*2233*422*3*2z x z x x z x z y x x B mne B m e m ne m ne B m ne B m ne m ne J ετετττετετττ22*22322232*22222*2*2233*422*22*3*2*200z z zx z x z x x x x xBx m B me B me B me m ne B m ne B m e m ne m ne m ne J J J R τττττττττετετετττετετ+-=+-=+--=-=222232222222*2222232222*223222*)()(z H z H z z m H B B B m eB m e R m e μςμττττττττττττττττττμ=+-=+-=+-=∴=5）在霍尔效应中，ε和x J为什么不在同一方向上？两者夹角的大小和正负与什么因素有关?答：由于在y 方向存在电场，电流和电场并不在同一方向上，两者的夹角称为Hall 角。